浙江省杭州市西湖区三墩中学2023—2024学年上学期期中考试八年级数学试卷

这是一份浙江省杭州市西湖区三墩中学2023—2024学年上学期期中考试八年级数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）第19届亚运会在浙江杭州成功举办．下列图形中是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
2．（3分）若，则下列式子正确的是
A．B．
C．D．
3．（3分）下列语句是命题的是
A．作直线的垂线B．同旁内角互补
C．在线段上取点D．垂线段最短吗？
4．（3分）根据下列已知条件，能唯一画出△的是
A．，，B．，，
C．，，D．，
5．（3分）如图，于点，于点，．要根据“”证明，则还需要添加的条件
A．B．C．D．
6．（3分）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，则线段的长为
A．9B．6C．5D．4
7．（3分）如图，中，，的中垂线交于，交于，若，，则的周长为
A．16B．14C．20D．18
8．（3分）如图，在中，，，是边上的一个动点（不与顶点重合），则的度数可能是
A．B．C．D．
9．（3分）如图，在中，，下列尺规作图，不能得到的是
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，中，，点，分别是，的中点，在上找一点，使最小，则这个最小值是 ．
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）根据“的4倍小于3”，列不等式： ．
12．（4分）命题“对顶角相等”的逆命题是 ，这个逆命题是 命题．
13．（4分）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中等于 ．
14．（4分）如图，、和、、分别在的两边上，且，若，则的度数是 ．
15．（4分）在△中，，其中一腰上的高为3，求底边 ．
16．（4分）如图，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，折痕为．
（1）已知，，则 度；
（2）如果，，则 ．
三、解答题（本题有8个小题，共66分）
17．（6分）在下面三个的方格中，各作出一个与图中三角形成轴对称的图形，且所画图形的顶点与方格中小正方形的顶点重合，并给所画图形涂上阴影（所画的三个图形不能重复）．
18．（6分）如图，点，在上，，，，与交于点．
（1）试说明：；
（2）试判断的形状，并说明理由．
19．（6分）如图，在△中，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于，交于；
（2）连结，求证：平分．
20．（6分）已知中，，，，．
（1）若，．求；
（2）若，．求．
21．（8分）如图，已知平分，于，于，且，
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22．（10分）△、△均为等腰直角三角形．
（1）连接，，如图，若当，，求 ； ．
（2）绕点旋转到一定角度后，如图．
①求证：△△；
②探究与的数量和位置关系．
23．（12分）勾股定理在几何问题中有着广泛地应用，大约公元222年，中国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中介绍了勾股定理的证明方法．具体用用四个完全一样直角三角形可以拼成图1的大正方形，采用面积法证明．
（1）类比证明：伽菲尔德年任美国第20届总统）于1876年4月1日《新英格兰教育日志》上证明勾股定理．在△和△中，，易证△△．
请你用两种不同的方法表示梯形的面积（图，并证明：．
（2）尝试画图：正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
①画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
②画一个三边长都为无理数的直角三角形；
③画一个钝角三角形，使它的面积为4．
（3）拓展应用：如图3，在直线上依次摆放五个正方形．已知斜放两个正方形的面积分别是2、3，正放三个正方形的面积依次是，，，则 （直接写出答案）．
24．（12分）如图，在△中，，，，在射线上有一动点．
（1）求长；
（2）当△为直角三角形时，求值；
（3）当△为等腰三角形时，求值．
2023-2024学年浙江省杭州市西湖区三墩中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）第19届亚运会在浙江杭州成功举办．下列图形中是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【解答】解：、图形不是轴对称图形，不符合题意；
、图形是轴对称图形，符合题意；
、图形不是轴对称图形，不符合题意；
、图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．（3分）若，则下列式子正确的是
A．B．
C．D．
【分析】直接利用不等式的基本性质分别判断得出答案．
【解答】解：、，
，故此选项错误，不符合题意；
、，
，故此选项错误，不符合题意；
、，
，故此选项错误，不符合题意；
、，
，故此选项正确，符合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质，正确把握不等式的基本性质是解题关键．
3．（3分）下列语句是命题的是
A．作直线的垂线B．同旁内角互补
C．在线段上取点D．垂线段最短吗？
【分析】根据命题的定义分别进行判断即可．
【解答】解：、作直线的垂线为描叙性语言，不是命题，所以选项错误；
、同旁内角互补为命题，所以选项正确；
、在线段上取点为描叙性语言，不是命题，所以选项错误；
、垂线段最短吗为疑问句，不是命题，所以选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
4．（3分）根据下列已知条件，能唯一画出△的是
A．，，B．，，
C．，，D．，
【分析】要满足唯一画出△，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有选项符合，是满足题目要求的，于是答案可得．
【解答】解：、因为，所以这三边不能构成三角形；
、因为不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度；
、已知两角可得到第三个角的度数，已知一边，则可以根据来画一个三角形；
、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形．
故选：．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定及三角形的作图方法等知识点；能画出唯一三角形的条件一定要满足三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的三角形不确定，当然不唯一．
5．（3分）如图，于点，于点，．要根据“”证明，则还需要添加的条件
A．B．C．D．
【分析】由斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即可得到答案．
【解答】解：于点，于点，．要根据“”证明，还需要添加的条件是．
故选：．
【点评】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法：．
6．（3分）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，则线段的长为
A．9B．6C．5D．4
【分析】根据中，和的平分线相交于点．求证，，再利用两直线平行内错角相等，求证出，，即，，然后利用等量代换即可求出线段的长．
【解答】解：和的平分线相交于点，
，，
，交于点，交于点，
，，
，，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了学生对等腰三角形的判定与性质和平行线段性质的理解和掌握，此题难度不大，是一道基础题．
7．（3分）如图，中，，的中垂线交于，交于，若，，则的周长为
A．16B．14C．20D．18
【分析】先根据勾股定理求出的长，再由线段垂直平分线的性质得出，即，再由即可求出答案．
【解答】解：中，，，，
，
是线段的垂直平分线，
，
，即，
的周长．
故选：．
【点评】本题考查的是勾股定理及线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线的性质求出是解答此题的关键．
8．（3分）如图，在中，，，是边上的一个动点（不与顶点重合），则的度数可能是
A．B．C．D．
【分析】只要证明即可解决问题．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．（3分）如图，在中，，下列尺规作图，不能得到的是
A．B．
C．D．
【分析】利用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质一一判断即可．
【解答】解：、由作图可知，，
，本选项不符合题意；
、由作图可知，，
，，
，本选项不符合题意；
、由作图可知，点在线段的垂直平分线上，
，
，
，本选项不符合题意．
、无法判断，．
故选：．
【点评】本题考查作图复杂作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
10．（3分）如图，中，，点，分别是，的中点，在上找一点，使最小，则这个最小值是 ．
【分析】要求的最小值，，不能直接求，可考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值．
【解答】解：如图，连接，，则，
，
当、、三点共线时，的值最小，
中，，点，分别是，的中点，
，
，
的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题时注意转化思想的运用．
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）根据“的4倍小于3”，列不等式： ．
【分析】根据题意和运算顺序列式即可．
【解答】解：由题意，不等式为：，
故答案为：．
【点评】本题考查列不等式，理解题意，以及运算顺序，掌握列不等式的方法是解题关键．
12．（4分）命题“对顶角相等”的逆命题是 相等的角是对顶角 ，这个逆命题是 命题．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，所以逆命题是：相等的角是对顶角，它是假命题．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13．（4分）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中等于 75 ．
【分析】在图中标记，，利用三角形的外角性质，可求出的度数，再结合，即可求出的度数．
【解答】解：在图中标记，，如图所示
，
，
又，
．
故答案为：75．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
14．（4分）如图，、和、、分别在的两边上，且，若，则的度数是 ．
【分析】由，根据等腰三角形的性质，即可得，，，，又由三角形外角的性质与，即可求得的度数．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与三角形外角的性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
15．（4分）在△中，，其中一腰上的高为3，求底边 或 ．
【分析】分两种情况：①当底边边上的高为3时；②当腰上的高时，且在三角形内部时；③当高在△的外部时；根据勾股定理先求得，根据线段的和差求得，根据勾股定理求得底边的长．
【解答】解：分两种情况：
①当腰上的高，且在三角形内部时，如图1所示：
则，
，
；
②当高在△的外部时，如图2所示：
在△中，，高，
，
，
；
综上所述：底边的长是或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质．注意熟练运用勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
16．（4分）如图，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，折痕为．
（1）已知，，则 90 度；
（2）如果，，则 ．
【分析】（1）由，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，可得，即得，而，故；
（2）根据，，得，设，则，在△中，可列方程，即可解得．
【解答】解：（1），
，
折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，
，
，
，即，
，
，
，
，
故答案为：90；
（2），，
，
设，则，
折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，
，
在△中，由勾股定理得，
解得，
．
故答案为：．
【点评】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及勾股定理、三角形内角和等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题．
三、解答题（本题有8个小题，共66分）
17．（6分）在下面三个的方格中，各作出一个与图中三角形成轴对称的图形，且所画图形的顶点与方格中小正方形的顶点重合，并给所画图形涂上阴影（所画的三个图形不能重复）．
【分析】根据轴对称图形的性质判断即可．
【解答】解：如图，三角形即为所求作．
【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（6分）如图，点，在上，，，，与交于点．
（1）试说明：；
（2）试判断的形状，并说明理由．
【分析】（1）利用等式的性质可以证得，则依据即可证得三角形全等；
（2）依据全等三角形的性质，即可证得，然后依据等角对等边从而证得．
【解答】解：（1），
，
在和中，
，
；
（2），
，
，即是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定于性质，以及等腰三角形的判定定理：等角对等边，正确证明两个三角形全等是关键．
19．（6分）如图，在△中，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于，交于；
（2）连结，求证：平分．
【分析】（1）直接作出的垂直平分线得出即可；
（2）利用等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质得出即可．
【解答】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：，，
，
垂直平分，
，
，
平分．
【点评】此题主要考查了作图基本作图，线段垂直平分线的作法以及其性质，等腰三角形的性质，根据已知得出是解题关键．
20．（6分）已知中，，，，．
（1）若，．求；
（2）若，．求．
【分析】（1）根据勾股定理，可以计算出的值；
（2）根据勾股定理，可以计算出的值．
【解答】解：（1），，，，，，
，
即的值是；
（2），，，，，，
，
即的值是8．
【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．
21．（8分）如图，已知平分，于，于，且，
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）根据已知条件可得和，和都是直角三角形，然后利用即可证明；
（2）先证明，可得．进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：平分，于点，于点，
，，
和，和都是直角三角形．
在和中，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
．
由（1）知，，
．
，，
，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是得到．
22．（10分）△、△均为等腰直角三角形．
（1）连接，，如图，若当，，求 2 ； ．
（2）绕点旋转到一定角度后，如图．
①求证：△△；
②探究与的数量和位置关系．
【分析】（1）证明△△，得出，，再利用直角三角形性质求出长即可解决问题；
（2）①先证明，即可证出全等；②根据全等三角形性质得出与的数量和位置关系．
【解答】解：（1）△、△均为等腰直角三角形，
，，，
，
△△，
在△中，，，
，
，，
，
故答案为：2，；
（2）①△、△均为等腰直角三角形，
，，，
，即，
△△；
②，，理由如下：
△△，
，，
，，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形判定与性质及直角三角形性质，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23．（12分）勾股定理在几何问题中有着广泛地应用，大约公元222年，中国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中介绍了勾股定理的证明方法．具体用用四个完全一样直角三角形可以拼成图1的大正方形，采用面积法证明．
（1）类比证明：伽菲尔德年任美国第20届总统）于1876年4月1日《新英格兰教育日志》上证明勾股定理．在△和△中，，易证△△．
请你用两种不同的方法表示梯形的面积（图，并证明：．
（2）尝试画图：正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
①画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
②画一个三边长都为无理数的直角三角形；
③画一个钝角三角形，使它的面积为4．
（3）拓展应用：如图3，在直线上依次摆放五个正方形．已知斜放两个正方形的面积分别是2、3，正放三个正方形的面积依次是，，，则 5 （直接写出答案）．
【分析】（1）见解析；（2）图见解析；（3）5
【分析】（1）先证△△，用两种方法表示梯形面积，得出等式整理得到结论；
（2）①画三边分别为3，4，5的三角形即可；②画三边长为的三角形；③根据面积画钝角三角形即可；
（3）先证，同理，整体代入计算即可．
【解答】解：（1）在△和△中，，
，
，
，，
△△，
，，，
，
，
整理，得：；
（2）如图：①，，，△即为所求；
②，△即为所求；
③，△即为所求；
（3）解：，理由如下：
如图，
图中的四边形均为正方形，
，，，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
，
，
同理，，
．
故答案为：5．
【点评】本题考查了全等三角形判定与性质、勾股定理的证明及勾股定理与无理数，熟练勾股定理及证明是解题关键．
24．（12分）如图，在△中，，，，在射线上有一动点．
（1）求长；
（2）当△为直角三角形时，求值；
（3）当△为等腰三角形时，求值．
【分析】（1）直接根据勾股定理求出的长度；
（2）当△为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出即可；
（3）当△为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度．
【解答】解：（1）在△中，，
；
（2）①当为直角时，点与点重合，如图1，；
②当为直角时，如图2，，
在△中，，
在△中，，
即：，
解得：，
故当△为直角三角形时，或；
（3）①当时，如图3，；
②当时，如图4，；
③当时，如图5，，，
在△中，，
所以，
解得：，
综上所述：当△为等腰三角形时，或或．
【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．