浙江省杭州市上城区夏衍初级中学2023—2024学年上学期期中考试八年级数学试卷

这是一份浙江省杭州市上城区夏衍初级中学2023—2024学年上学期期中考试八年级数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
2．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是
A．1，2，3B．2，3，4C．2，2，5D．3，3，6
3．（3分）若，则
A．B．C．D．
4．（3分）如图，于点，已知是钝角，则
A．线段是的边上的高线
B．线段是的边上的高线
C．线段是的边上的高线
D．线段是的边上的高线
5．（3分）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是
A．①②B．①③C．②③D．①②③
6．（3分）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带 去．
A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块
7．（3分）将一副三角板按如图所示方式摆放，使得，则等于
A．B．C．D．
8．（3分）如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边上的点处，已知，，则折痕的长为
A．B．C．D．
9．（3分）关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论：其中正确的结论有 个．
①；
②；
③点到各边的距离相等；
④设，，则．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题有6小题。每小题4分。共24分.
11．（4分）若不等式组的解集是，则 ．
12．（4分）不等式的最小整数解为 ．
13．（4分）如图，在中，的垂直平分线分别与边，交于点和点，连接．若，，则 ．
14．（4分）等腰三角形中，，则 ．
15．（4分）如图，，内有一定点，且，在上有一点，上有一点，若周长最小，则最小周长是
16．（4分）如图，在中，，，，在中，，，连接，则 ， ．
三、解答题（共66分）
17．（6分）（1）解不等式：，并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：．
18．（6分）如图，，，求证：．
19．（6分）已知：如图，在中，是上的点，，、分别是、的中点，．求的长．
20．（8分）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦10米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长26米，云梯底部距地面米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？
21．（8分）已知：如图的角平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别为点，．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
22．（10分）广安某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
23．（10分）如图，已知△中，，，，、是△边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
（1）出发2秒后，求的长；
（2）从出发几秒钟后，△第一次能形成等腰三角形？
（3）当点在边上运动时，求能使△成为等腰三角形的运动时间．
24．（12分）已知，在中，，，点为的中点．
（1）如图①，若点、分别为、上的点，且．
①求证：；
②若，求；
（2）若点、分别为、延长线上的点，且．
①还成立吗？请利用图②说明理由；
②若，直接写出的长．
2023-2024学年浙江省杭州市上城区夏衍初级中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题有10小题，每小题3分，共30分.
1．（3分）下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．
【解答】解：、不是轴对称图形，本选项错误；
、不是轴对称图形，本选项错误；
、不是轴对称图形，本选项错误；
、是轴对称图形，本选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是
A．1，2，3B．2，3，4C．2，2，5D．3，3，6
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：、，长度是1、2、3的线段不能组成三角形，故不符合题意；
、，长度是2、3、4的线段能组成三角形，故符合题意；
、，长度是2、2、5的线段不能组成三角形，故不符合题意；
、，长度是3、3、6的线段不能组成三角形，故不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
3．（3分）若，则
A．B．C．D．
【分析】利用不等式的基本性质分别判断得出即可．
【解答】解：、若，则，故此选项错误；
、若，则，故此选项错误；
、若，则，故此选项错误；
、若，则，所以，此选项正确．
故选：．
【点评】此题主要考查了不等式的性质，能够正确运用不等式的基本性质是解题关键．
4．（3分）如图，于点，已知是钝角，则
A．线段是的边上的高线
B．线段是的边上的高线
C．线段是的边上的高线
D．线段是的边上的高线
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：、线段是的边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；
、线段是的边上的高线，本选项说法正确，符合题意；
、线段不是的边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
、线段不是的边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
5．（3分）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】根据作一个角的平分线，作一个角等于已知角，作线段的垂直平分线的方法一一判断即可．
【解答】解：由作图可知，作图正确的有①②，
故选：．
【点评】本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
6．（3分）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带 去．
A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块
【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
7．（3分）将一副三角板按如图所示方式摆放，使得，则等于
A．B．C．D．
【分析】依据，即可得，由，利用三角形外角性质，即可得到．
【解答】解：，，
．
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
8．（3分）如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边上的点处，已知，，则折痕的长为
A．B．C．D．
【分析】首先根据勾股定理求出的长度，进而求出的长度；再根据勾股定理求出的长度问题即可解决．
【解答】解：由题意得：
，（设为，
四边形为矩形，
，；；
由勾股定理得：
，
，；
在直角三角形中，
由勾股定理得：
，
解得：，
，
．
故选：．
【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
9．（3分）关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】先求出不等式组的解集，根据已知得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是，
关于的不等式组有四个整数解，是9、10、11、12，
，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于的不等式组是解此题的关键．
10．（3分）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论：其中正确的结论有 个．
①；
②；
③点到各边的距离相等；
④设，，则．
A．1B．2C．3D．4
【分析】①根据和的平分线相交于点可得出，，再由可知，，故可得出，，由此可得出结论；
②先根据角平分线的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出结论；
③根据三角形内心的性质即可得出结论；
④连接，由三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：①和的平分线相交于点，
，．
，
，，
，，
，，
，故①正确；
②和的平分线相交于点，
，
，故②错误；
③和的平分线相交于点，
点是的内心，
点到各边的距离相等，故③正确；
④连接，作于，如图所示：
点是的内心，，，
，故④错误．
故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解题的关键．
二、填空题：本题有6小题。每小题4分。共24分.
11．（4分）若不等式组的解集是，则 ．
【分析】先解不等式组，用含的代数式表示解集，然后根据题意列方程即可求得值．
【解答】解：解不等式组得
．
故答案为：．
【点评】主要考查了不等式组的解的定义．此题型一般是把含有字母的不等式组用字母的代数式表示出其解集，然后对照其给出的实际解集列方程求解．
12．（4分）不等式的最小整数解为 ．
【分析】先求得不等式的解集，进而取其最小整数解即可．
【解答】解：去括号，得，
移项、合并同类项，得，
化系数为1，得，，
不等式的解集为，
不等式的最小整数解为．
故答案为：．
【点评】本题考查解不等式，熟练掌握不等式的解法步骤并正确求解是解答的关键．
13．（4分）如图，在中，的垂直平分线分别与边，交于点和点，连接．若，，则 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得，进而求得，再根据三角形的内角和定理求解即可．
【解答】解：垂直平分，
，
，又，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．
14．（4分）等腰三角形中，，则 或或 ．
【分析】分三种情形分别讨论，依据等腰三角形性质、三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：是等腰三角形，
当时，
，
．
当时，
，
．
当时，
，
综上所述，的值为或或，
故答案为：或或．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
15．（4分）如图，，内有一定点，且，在上有一点，上有一点，若周长最小，则最小周长是 12
【分析】先画出图形，作与相交于，并将延长一倍到，即．作与相交于，并将延长一倍到，即．连接与相交于，与相交于，再连接，，则即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出，再根据三角形各角之间的关系判断出的形状即可求解．
【解答】解：设，则，作与相交于，并将延长一倍到，即．
作与相交于，并将延长一倍到，即．
连接与相交于，与相交于，再连接，，则即为周长最短的三角形．
是的垂直平分线，
；
同理，是的垂直平分线，
，
的周长．
，且，
是正三角形，
，
即在保持的条件下的最小周长为12．
故答案为：12
【点评】本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．
16．（4分）如图，在中，，，，在中，，，连接，则 ， ．
【分析】作于，于，通过证明得到，则平分，所以，然后根据三角形内角和计算的度数；根据含直角三角形的性质求出，然后在等腰直角中利用勾股定理求出，再在中利用勾股定理求出，进而可得的长．
【解答】解：如图，作于，于，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，，，
，
在等腰直角中，，
，
，
在中，，
，
即，
，
，
故答案为：，．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，角平分线的判定定理，三角形内角和定理以及勾股定理等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
三、解答题（共66分）
17．（6分）（1）解不等式：，并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（2）解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（6分）如图，，，求证：．
【分析】连接，根据等边对等角可得，求出，根据等角对等边可得结论．
【解答】证明：连接，
，
，
，
，即，
．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边对等角及等角对等边是解题的关键．
19．（6分）已知：如图，在中，是上的点，，、分别是、的中点，．求的长．
【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，在中，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出．
【解答】解：连接．
，是的中点，
，
又是的中点，
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
，
．
故答案为：3．
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
20．（8分）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦10米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长26米，云梯底部距地面米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？
【分析】根据和的长度，构造直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边的长．
【解答】解：，
；
根据勾股定理，得
，
（米；
答：发生火灾的住户窗口距离地面25.5米．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
21．（8分）已知：如图的角平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别为点，．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
【分析】（1）连接、，由垂直平分线的性质得出，由角平分线的性质得出，由证得，即可得出结论；
（2）由证得，得出，则，推出，由，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接、，如图所示：
的垂直平分线过点，
，
点是的角平分线上的点，，，
，
在和中，，
，
；
（2）解：在和中，，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识；作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
22．（10分）广安某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
【分析】（1）根据计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；
（2）利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．
【解答】解：（1）设购进甲种水果千克，则购进乙种水果千克，根据题意可得：
，
解得：，
（千克），
答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；
（2）由图表可得：甲种水果每千克利润为：3元，乙种水果每千克利润为：4元，
设总利润为，由题意可得出：，
故随的增大而减小，则越小越大，
因为该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，
，
解得：，
当时，（元，
故．
答：当甲购进35千克，乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．
【点评】主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用等知识，利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．
23．（10分）如图，已知△中，，，，、是△边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
（1）出发2秒后，求的长；
（2）从出发几秒钟后，△第一次能形成等腰三角形？
（3）当点在边上运动时，求能使△成为等腰三角形的运动时间．
【分析】（1）根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可；
（2）设出发秒钟后，△第一次能形成等腰三角形，则，由，，列式求得即可；
（3）当点在边上运动时，能使△成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当时（图，则，可证明，则，则，从而求得；
②当时（如图，则，易求得；
③当时（如图，过点作于点，则求出，，即可得出．
【解答】解：（1），
，
，
；
（2） ，，
，
解得：；
（3）①当时（图，则，
，
，
，
，
，
，
，
秒．
②当时（如图，则
秒．
③当时（如图，过点作于点，
则，
所以，
故，
所以，
秒．
由上可知，当为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△为等腰三角形．
【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用．
24．（12分）已知，在中，，，点为的中点．
（1）如图①，若点、分别为、上的点，且．
①求证：；
②若，求；
（2）若点、分别为、延长线上的点，且．
①还成立吗？请利用图②说明理由；
②若，直接写出的长．
【分析】（1）①只要证明可得结论．
②求出，的面积即可解决问题．
（2）①结论成立，证明方法类似（1）．
②利用三角形的面积公式求出，再证明，求出，，利用勾股定理求出即可解决问题．
【解答】（1）①证明：如图①中，连接．
，，，
，，，
，
，
，
．
②解：，
，，
，
，
，
，
．
（2）①证明：结论成立．
理由：如图②中，
，，，
，，，
，
，
，
．
②解：如图②中，作于．
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
进价（元千克）
售价（元千克）
甲种
5
8
乙种
9
13
进价（元千克）
售价（元千克）
甲种
5
8
乙种
9
13