浙江省杭州市上城区杭师大东城中学2023—2024学年上学期期中考试八年级数学试卷

这是一份浙江省杭州市上城区杭师大东城中学2023—2024学年上学期期中考试八年级数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
2．（3分）如图，已知点、、在同一直线上，，，则
A．B．C．D．无法确定
3．（3分）若，则下列各式中一定成立的是
A．B．C．D．
4．（3分）把不等式组，的解集表示在数轴上，正确的是
A．B．
C．D．
5．（3分）在下列各原命题中，逆命题是真命题的是
A．直角三角形两个锐角互余B．对顶角相等
C．全等三角形对应角相等D．全等的两个三角形面积相等
6．（3分）的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是
A．B．
C．D．，，
7．（3分）下列选项中的尺规作图，能推出的是
A．B．
C．D．
8．（3分）某校网课学习的要求是每周听课时长至少达到480分钟算合格．张飞前3天平均每天听课时长为90分钟，问张飞后2天平均每天听课时长不得少于多少分钟才能合格？设张飞后2天平均听课时长为分钟，以下所列不等式正确的是
A．B．C．D．
9．（3分）如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为
A．B．C．D．
10．（3分）如图，等腰△中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②；③△△；④；⑤平分，其中正确结论有
A．5个B．4个C．3个D．2个
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）用不等式表示“与3的和小于”为 ．
12．（4分）等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为 ．
13．（4分）若不等式的解集为，则的取值范围是 ．
14．（4分）如图是某种落地灯的简易示意图，为立杆；为支杆，可绕点旋转；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．为了使落地灯更方便学习时的照明，小唯将该落地灯进行了调整，使悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长为，则此时，两点之间的距离为 ．
15．（4分）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将△折叠，使点与点重合，折痕为，则的长是 ．
16．（4分）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明也绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的大正方形的面积是5，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的大长方形．
（1）图中四个全等的直角三角形中较长直角边长为，较短直角边为，则 ．（直接填数字）
（2）图②中大长方形的周长是 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）解不等式组，并在数轴上表示出它的解．
18．（6分）如图，在中，，，平分，为边上的高，求的度数．
19．（6分）如图，在中，，是边上的中点，于点，于点．求证：点在的角平分线上．
20．（8分）已知：如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求的周长．
21．（8分）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．
（1）求需要绿化的空地的面积；
（2）为方便师生出入，设计了过点的小路，且于点，试求小路的长．
22．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
23．（12分）如图，在△中，，，为线段上一点，点，关于直线对称，于点，与交于点，连结，设，
（1）若，求的长，并用含的代数式表示的长；
（2）在（1）的条件下，若，求的值；
（3）连结，若，△与△的面积之比为，求的值．
2023-2024学年浙江省杭州师大东城中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：．原图不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．原图不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．原图不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．原图是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）如图，已知点、、在同一直线上，，，则
A．B．C．D．无法确定
【分析】根据三角形的外角性质和角的和差关系，即可解答．
【解答】解：是△的外角，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
3．（3分）若，则下列各式中一定成立的是
A．B．C．D．
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：、两边都乘以3，不等号的方向改变，故错误；
、两边都减3，不等号的方向不变，故正确；
、两边都加上3，不等号的方向不变，故错误；
、两边都乘以2，不等号的方向不变，故错误；
故选：．
【点评】主要考查了不等式的基本性质．要熟记不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（3分）把不等式组，的解集表示在数轴上，正确的是
A．B．
C．D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．（3分）在下列各原命题中，逆命题是真命题的是
A．直角三角形两个锐角互余B．对顶角相等
C．全等三角形对应角相等D．全等的两个三角形面积相等
【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．
【解答】解：、逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角三角形，是真命题，故此选项正确；
、逆命题是：相等的角是对顶角，是假命题，故此选项错误；
、逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，故此选项错误；
、逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题，故此选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了逆命题的真假性，是易错题．易错易混点：本题要求的是逆命题的真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真．
6．（3分）的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是
A．B．
C．D．，，
【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：、，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
、，，
，
此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
、设，则，，
，
，解得，
，
此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
、，
此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是勾股定理及三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
7．（3分）下列选项中的尺规作图，能推出的是
A．B．
C．D．
【分析】利用垂直平分线的性质和基本作图进行判断．
【解答】解：，
点为的垂直平分线上的点．
故选：．
【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
8．（3分）某校网课学习的要求是每周听课时长至少达到480分钟算合格．张飞前3天平均每天听课时长为90分钟，问张飞后2天平均每天听课时长不得少于多少分钟才能合格？设张飞后2天平均听课时长为分钟，以下所列不等式正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据前3天听课的总时间后2天听课的总时间可得不等式．
【解答】解：设张飞后2天平均听课时长为分钟，
根据题意，得：，
故选：．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
9．（3分）如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据三角形的内角和得到，根据线段的垂直平分线的性质得到，，由等腰三角形的性质得到，，由“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”得，，可得，，推出，从而由平角定义得到结论．
【解答】解：，
．
在的中垂线上，在的中垂线上，
，．
，．
，，
，．
．
．
故选：．
【点评】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键．
10．（3分）如图，等腰△中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②；③△△；④；⑤平分，其中正确结论有
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】①由等腰三角形的性质得，再根据三角形外角性质得．故①正确．
②计算出，则得到，可判断△为等腰三角形，故②正确．
③求出，，，证△△，故③正确．
④证明△△，得，由③知△△，得．故④正确．
⑤过作，．证明△△，得，故平分，故⑤正确．
【解答】解：等腰△中，，，
，
平分，
，
，
故①正确．
，
由①知，
，
，
故②正确；
，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
在△和△中，
，
△△，
故③正确；
在△和△中，
，
△△，
，
由③知△△，
．
故④正确．
过作，．
在△和△中，
，
△△，
，
平分，
故⑤正确．
故选：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，掌握全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）用不等式表示“与3的和小于”为 ．
【分析】首先表示与3的和为，再选出不等号，然后列出不等式即可．
【解答】解：由题意得：，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
12．（4分）等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为 ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰长是时，因为，不符合三角形的三边关系，应排除；
当腰长是时，因为，符合三角形三边关系，此时周长是；
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．（4分）若不等式的解集为，则的取值范围是 ．
【分析】由不等式性质“给不等式的两边同时除以一个小于0的数，不等号方向改变”可得，求解即可．
【解答】解：根据已知条件可得，
解得．
故答案为：．
【点评】此题考查的是解一元一次不等式，掌握解不等式的步骤和不等式的基本性质是解决此题的关键．
14．（4分）如图是某种落地灯的简易示意图，为立杆；为支杆，可绕点旋转；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．为了使落地灯更方便学习时的照明，小唯将该落地灯进行了调整，使悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长为，则此时，两点之间的距离为 50 ．
【分析】连接，根据平角的定义和等边三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接，
，
，
，
是等边三角形，
，
故此时，两点之间的距离为，
故答案为：50．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．
15．（4分）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将△折叠，使点与点重合，折痕为，则的长是 ．
【分析】在△中，可求出的长度，根据折叠的性质可得出 ，在△中，利用即可得出的长度．
【解答】解：，，
，，
由折叠的性质得，，，
，
．
．
．
故答案为：．
【点评】此题考查了翻折变换、勾股定理及锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握翻折变换前后对应边相等、对应角相等．
16．（4分）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明也绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的大正方形的面积是5，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的大长方形．
（1）图中四个全等的直角三角形中较长直角边长为，较短直角边为，则 2 ．（直接填数字）
（2）图②中大长方形的周长是 ．
【分析】（1）设直角三角形的较长直角边长度为，较短直角边长度为，则中间的小正方形长度为，矩形图可知小正方形的边长为，易得，于是得到结论；
（2）根据矩形的面积与大正方形的面积相等列方程求得，即可求得周长．
【解答】解：（1）如图，设直角三角形的较长直角边长度为，较短直角边长度为，则中间的小正方形长度为，
由图②可得，小正方形的边长为，
，即，
；
故答案为：2；
（2）设直角三角形的较长直角边长度为，较短直角边长度为，则中间的小正方形长度为，
由图②可得，小正方形的边长为，
，
围成的矩形长为：，
围成的矩形面积为：，
矩形的面积与大正方形的面积相等，
，
解得：（舍去负值），
矩形的周长为：，
故答案为：12．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，赵爽弦图，注意利用图形之间的关系进行求解．
三、解答题：本大题有8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）解不等式组，并在数轴上表示出它的解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为．
在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（6分）如图，在中，，，平分，为边上的高，求的度数．
【分析】由图知，又由角平分线定义得，然后利用内角和定理，分别求出即可．
【解答】解：，平分，
．
，
．
，
，
．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
19．（6分）如图，在中，，是边上的中点，于点，于点．求证：点在的角平分线上．
【分析】连接，是的中点，那么就是等腰底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道也是的角平分线．
【解答】证明：如图，连接．
，点是边上的中点，
是等腰底边上的中线，
平分，
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
20．（8分）已知：如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求的周长．
【分析】（1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得；
（2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可．
【解答】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
是等腰三角形；
（2），
，
平分，
，
，
，
，，
的周长为：
．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
21．（8分）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．
（1）求需要绿化的空地的面积；
（2）为方便师生出入，设计了过点的小路，且于点，试求小路的长．
【分析】（1）由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证出△是直角三角形，，然后由三角形面积公式求解即可；
（2）由三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1），
，
，
，，
，
△是直角三角形，，
需要绿化的空地的面积；
（2），，
，
，
解得：，
即小路的长为．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积等知识，熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出是解题的关键．
22．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
【分析】任务1：过点作于点，可证得，据此即可判定；
任务2：设，可得，的高为1.2米，列不等式，即可求解．
【解答】解：任务1：他的说法对，理由如下：
如图：过点作于点，
，
四边形是长方形，
，
，
在与中，
，
，
，
最高点到地面的距离就是线段长；
任务该指示牌是轴对称图形，四边形是长方形，
设，则，的高为（米，
长方形的面积为：（平方米），
三角形的面积为：（平方米），
当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时，
根据题意得：，
解得，
故长度的最大值为0.25米．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用，理解题意，灵活运用全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用是解决本题的关键．
23．（12分）如图，在△中，，，为线段上一点，点，关于直线对称，于点，与交于点，连结，设，
（1）若，求的长，并用含的代数式表示的长；
（2）在（1）的条件下，若，求的值；
（3）连结，若，△与△的面积之比为，求的值．
【分析】（1）利用勾股定理求出，再根据对称性，可得结论；
（2）证明，构建方程求出即可；
（3）证明，设，根据，构建方程求出，再求出，，可得结论．
【解答】解：（1）在△中，，，，
，
，关于对称，
，
；
（2）当时，，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3），
，
，
，，
，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
如何确定箭头形指示牌
素材1
某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图．该指示牌是轴对称图形，由长方形和三角形组成，且点，，，四点共线小聪测量了点到的距离为2.7米，米，米．



素材2
因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元．



问题解决
任务1
推理最大高度
小聪说：“如果我设计的方案中长与，两点间的距离相等，那么最高点到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
任务2
确定箭头形指示牌
小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过180元，请你确定长度的最大值．
如何确定箭头形指示牌
素材1
某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图．该指示牌是轴对称图形，由长方形和三角形组成，且点，，，四点共线小聪测量了点到的距离为2.7米，米，米．



素材2
因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元．



问题解决
任务1
推理最大高度
小聪说：“如果我设计的方案中长与，两点间的距离相等，那么最高点到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
任务2
确定箭头形指示牌
小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过180元，请你确定长度的最大值．