山东省枣庄市滕州市滕州育才中学2024-2025学年九年级上学期北师大版数学期中考试模拟卷

这是一份山东省枣庄市滕州市滕州育才中学2024-2025学年九年级上学期北师大版数学期中考试模拟卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.如图小陶家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形ABCD，测得BD=12cm，AC=16cm，则此菱形周长为( )
A. 28cm B. 40cmC. 56cm D. 80cm
2.菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，AC=16，BD=12，则菱形的面积为( )
A. 48 B. 96 C. 24 D. 6
3.在矩形ABCD中，AB=4，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥OB于点E，当E为OB中点时，则AC的长为( )
A. 2 3B. 4C. 4 3D. 8
4.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+ 3，其中正确的序号是( )
A. ①②③ B. ②③④
C. ①③④ D. ①②④
5.下列说法不正确的是( )
A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 有一组邻边相等且有个角是直角的平行四边形是正方形
D. 对角线相等的四边形是矩形
6.下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A. ax2+bx+c=0B. x2+ 2x-1=0
C. 1x2+x-1=0D. 2x2+y-2=0
7.“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次活动，群内所有人共收到156个红包，则该群一共有( )人．
A. 12B. 13C. 14D. 15
8.在一次同学聚会上，大家一见面就相互握手(每两人只握一次).大家共握了21次手.设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意，可列方程为( )
A. x(x+1)=21B. 12x(x+1)=21C. x(x-1)=21D. 12x(x-1)=21
9.在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共60个，这些小球除颜色外其他完全相同，一同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率稳定在30%和40%左右，则估计盒子中白色球的个数是( )
A. 24B. 18C. 16D. 6
10.如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m，镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆高度为( )
A. 6.4 mB. 8 mC. 9.6 mD. 12.5 m
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点M、N分别是边AD、CD的中点，连接MN、OM.若MN=3，S菱形ABCD=24，则OM的长为______．
12.如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC=6，BD=2 3，则∠DAB的度数是 ．
13.如图，已知点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45∘，且S▵AEF:S正方形ABCD=4:9，则AB:EF= ．
14.若(a+1)x|a-1|-4=0是关于x的一元二次方程，则a的值为______．
15.如图，小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时，测得标杆BE高为1.2m，又知AB︰BC=1︰8，则建筑物CD的高是 ．
16.如图，已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，E是AB的中点，F是AC边上一个动点．将△AEF沿EF折叠，使点A落在A'处，如果△AEF与原△ABC相似，那么EF的长为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)如图，在四边形ABCD中，AD/​/BC，∠B=90∘，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为ts.
(1)当t为多少时，四边形ABQP成为矩形？
(2)四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PBQD在某一时刻成为菱形，求点Q的速度．
18.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，AD//BC，AE/​/DC，EF⊥CD于点F.求证：四边形AECD是菱形．
19.(本小题8分)已知关于x的方程x2-4x+4-k2=0(k为常数)．
(1)求证：不论k取何值时，该方程总有实数根．
(2)方程的两个实数根可能都是负根吗？判断并说明理由．
20.(本小题8分)已知关于x的方程x2+ax+a-2=0，问：
(1)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个根为x1，x2，且满足x12+x22=4，求a的值．
21.(本小题8分)
如图1，已知AB+BC+CD=40．
(1)若AB=CD=10，则BC= ______，矩形ABCD的面积=AB⋅BC= ______× ______=200；
(2)若AB=CD=x，则BC= ______，矩形ABCD的面积=AB⋅BC= ______；
(3)如图2，现有长度100米的围栏，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，BC的长度不大于墙长.围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
22.(本小题8分)
某商店销售一种商品，平均每周可售出20件，每件利润60元.为了增加利润，商店准备适当降价，若此商品每降价1元，平均每周将多售出2件，考虑到运营过程中其它成本，此商品利润不得低于30元．
(1)若要使每周销售利润达到1650元，则此商品每件需要降价多少元？
(2)请问该商品每周的销售利润能达到2000元吗？请说明理由．
23.(本小题8分)
2023年某市教育局在全市中小学开展了“情系疏勒·书香援疆”捐书活动，200多所学校的师生踊跃参与，向新疆疏勒县中小学共捐赠爱心图书28.5万余本.某学校学生社团对本校九年级学生所捐图书进行统计，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表.请你根据统计图表中所提供的信息解答下列问题：
(1)求该校九年级共捐书多少本；
(2)统计表中的a=______，b=______，c=______，d=______；
(3)若该校共捐书1500本，请估计“科普图书”和“小说”一共多少本；
(4)该社团3名成员各捐书1本，分别是1本“名人传记”，1本“科普图书”，1本“小说”，要从这3人中任选2人为受赠者写一份自己所捐图书的简介，请用列表法或树状图法求选出的2人恰好1人捐“名人传记”，1人捐“科普图书”的概率．
24.(本小题8分)如图，在▵ABC中，D，E分别是边AB，连接DE，且∠ADE=∠ACB．
(1)求证△ADE∽△ACB；
(2)如果E是AC的中点，AD=8,AB=10，求AE
25.(本小题8分)
已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
(1)求证：△BEC∽△BCH；
(2)如果BE2=AB·AE，求证：AG=DF．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，且BD=12cm，AC=16cm，
∴OB=OD=12BD=6cm，OA=OC=12AC=8cm，AC⊥BD，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB= OA2+OB2= 62+82=10(cm)，
∴此菱形周长为：4AB=40cm．
故选：B．
先根据菱形性质得OB=OD=6cm，OA=OC=8cm，AC⊥BD，然后在Rt△OAB中，由勾股定理求出AB=10cm，进而可得出此菱形周长．
此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，勾股定理是解决问题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，且AC=16，BD=12，
∴S菱ABCD=12×16×12=96．
故选：B．
根据菱形面积公式即可计算得出该菱形的面积．
此题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解决问题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE⊥OB，E为OB中点，
∴AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB=4，
∴BD=2OB=8=AC．
故选：D．
由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=4，得出BD=2OB=8，即可．
此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=DC，∠B=∠D=90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AE=AFAB=AD，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF，
∴CE=CF，故①正确，符合题意；
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠EAF=60°，∠BAD=90°，
∴∠BAE=15°，
∴∠AEB=75°，故②正确，符合题意；
连接AC交EF于点G，
∵AE=AF，CE=CF，
∴AC垂直平分EF，
∴EG=FG，
∵∠BAE=15°，∠EAG=30°，
∴△BAE和△GAE不全等，
∴BE和EG不相等，
∴BE+DF=EF，故③错误，不符合题意；
∵AE=EF=AF=2，
∴AG= AE2-EG2= 22-12= 3，CG=12EF=1，
∴AC=AG+CG= 3+1，
∴AC2=( 3+1)2=4+2 3，
∵AB2+BC2=AC2，AB=BC，
∴AB2=2+ 3，
∴S正方形ABCD=AB2=2+ 3，故④正确，符合题意；
故选：D．
根据正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，可以判断出各个小题中的结论是否正确，从而可以判断哪个选项正确．
本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5.【答案】D
【解析】解：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法正确；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，原说法正确；
有一组邻边相等且有个角是直角的平行四边形是正方形，原说法正确；
对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，原说法错误，
故选：D．
根据菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，逐一判断即可得出结论．
本题考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟记各判定定理是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A.当a=0时，该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B.该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C.该方程是分式方程，故本选项不合题意；
D、该方程是二元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
7.【答案】B
【解析】解：设该群一共有x人，
依题意得：x(x-1)=156，
解得：x=-12(舍去)或x=13，
即这个群一共有13人．
故选：B．
设该群一共有x人，则每个人要发其他(x-1)张红包，则共有x(x-1)张红包，等于156个，由此可列方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用．找到等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：设参加这次聚会的同学共有x人，
由题意得：12x(x-1)=21，
故选：D．
每个人都要和他自己以外的人握手一次，但两个人之间只握手一次，所以等量关系为：12×聚会人数×(聚会人数-1)=总握手次数，把相关数值代入即可．
此题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
9.【答案】B
【解析】估计盒子中白色球有60×(1-30%-40%)=60×30%=18(个)，故选B．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的应用．证明三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．证明△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】
解：如图：
∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
∵∠ACB=∠DCE，
∴△ABC∽△EDC，
∴ABDE=BCCD，
即1.6DE=210，
∴DE=8m，
则旗杆高度为8m．
11.【答案】2.5
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，
∴∠AOD=90°，
∵MN=3，点M、N分别是边AD、CD的中点，
∴AC=2MN=6，
∴AO=CO=3，
∵S菱形ABCD=12AC⋅BD=24，
∴BD=8，
∴DO=BO=4，
∴AD= AO2+DO2= 32+42=5，
∴OM=12AD=2.5，
故答案为：2.5．
根据菱形的性质可得AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，∠AOD=90°，根据中位线定理可得AC，由菱形的面积可得BD，进而利用勾股定理可求出AD，再根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半即可求出OM的长．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线性质，直角三角形的性质、勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
12.【答案】60°
【解析】略
13.【答案】9:8
【解析】将▵ABE绕点A逆时针旋转90∘得▵ADE'，根据旋转的性质，判定▵AEF≌▵AE'FSAS，得出EF=E'F，分别求得三角形与正方形的面积，利用S▵AEF:S正方形ABCD=4:9，即可解决问题．
【详解】解：将▵ABE绕点A逆时针旋转90∘得▵ADE'，
则AE=AE'，∠BAE=∠DAE'，∠ADE'=90∘=∠ADF，
∴E'，D，F在同一直线上，
∵正方形ABCD中，∠EAF=45∘，
∴∠BAE+∠DAF=45∘=∠DAE'+∠DAF=∠E'AF，
∴∠EAF=∠E'AF，
又∵AF=AF，
∴▵AEF≌▵AE'FSAS，
∴EF=E'F，
∴S▵AEF=S▵AFE'=12EF⋅AD，
∵S▵AEF:S正方形ABCD=4:9，S正方形ABCD=AD2，
∴12EF⋅AD：AD2=4:9，
EF:AD=8:9，
∵AD=AB，
∴AB:EF=9:8．
故答案为：9:8
14.【答案】3
【解析】解：∵(a+1)x|a-1|-4=0是关于x的一元二次方程，
∴|a-1|=2，
∴a-1=±2，
∴a=3或a=-1，
∵a+1≠0，
∴a≠-1，
∴a=3，
故答案为：3．
形如ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的方程叫做一元二次方程，由此解答即可．
本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，熟知一元二次方程的定义是解题的关键．
15.【答案】10.8m
【解析】略
16.【答案】72或143
【解析】①当△AEF∽△ABC时，AEAB=EFBC，∵E为AB中点，∴AE=EB=4，∴EFBC=12，∴EF=12BC=72； ②当△AEF∽△ACB时，AEAC=EFBC，∴46=EF7，∴EF=143.综上，EF的长为72或143．
17.【答案】解：(1)∵∠B=90°，AP//BQ，
∴AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形，
此时当有t=22-3t，
解得t=5.5，
∴当t=5.5时，四边形ABQP成为矩形；
(2)四边形PBQD不能成为菱形．理由如下：
∵PD//BQ，
∴当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形．
由PD=BQ，得16-t=22-3t，
解得t=3，
当t=3时，PD=BQ=13，AP=AD-PD=16-13=3，BP= AB2+AP2= 82+32= 73≠13，
∴四边形PBQD不能成为菱形；
如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，
由题意，得16-t=22-vt16-t= 82+t2,
解得t=6v=2,
故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在某一时刻为菱形．
【解析】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定．
(1)根据矩形的判定定理，当AP=BQ时，四边形ABQP为矩形，则t=22-3t，即可求出t；
(2)若当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形．则由PD=BQ，得16-t=22-3t，解得t=3，当t=3时，PD=BQ=13，AP=AD-PD=16-13=3，再求出BP，即可判定四边形PBQD不能成为菱形；设Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，则16-t=22-vt16-t= 82+t2，解之即可求出v的值，从而得出答案．
18.【答案】证明：∵AE/​/DC，AD//BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵E是BC的中点，∠BAC=90°，
∴AE=12BC=CE，
∴四边形AECD是菱形．
【解析】先证明四边形AECD是平行四边形，结合∠BAC=90°，E是BC的中点，得出AE=12BC=CE，即可作答．
本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】【小题1】
证明：∵Δ=(-4)2-4(4-k2)=4k2≥0，
∴方程总有实数根；
【小题2】
解：不可能．
理由：∵两根之和=4>0，
∴两个根不可能都是负数．

【解析】1.
证明判别式大于等于0即可；
2.
根据两根之和是正数，判断即可．
20.【答案】(1)证明：关于x的方程x2+ax+a-2=0，
∴Δ=a2-4×1×(a-2)=a2-4a+8=(a-2)2+4，
∵(a-2)2≥0，
∴(a-2)2+4>0，即Δ>0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
(2)∵方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=-a，x1⋅x2=a-2，
∵x12+x22=4，
∴(x1+x2)2-2x1x2=4，
即(-a)2-2(a-2)=4，
整理得：a2-2a=0，
解得a=0或a=2．
【解析】(1)先计算出一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号即可判断；
(2)由根与系数的关系得：x1+x2=-a，x1⋅x2=a-2，把x12+x22=4变形为(x1+x2)2-2x1x2=4，然后整体代入得到关于a的方程，即可求解．
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握这两个知识点是关键．
21.【答案】20 10 20 40-2x x(40-2x)
【解析】解：(1)∵AB+BC+CD=40，AB=CD=10，
∴BC=AB+BC+CD-AB-CD=20，
∴矩形ABCD的面积=10×20=200，
故答案为：20，10，20；
(2)由(1)的计算方法可得，BC=AB+BC+CD-AB-CD=40-2x，
∴矩形ABCD的面积=AB⋅BC=x(40-2x)，
故答案为：40-2x，x(40-2x)；
(3)设AB的长度为x，则BC的长度为(100-4x)米，
则(100-4x)x=400，
解得x=20或x=5，
则100-4x=20，100-4x=80，
答：羊圈的边长AB是20米，BC为20米．
(1)根据线段和差计算方法BC=AB+BC+CD-AB-CD即可求解；
(2)同(1)的计算；
(3)设AB的长度为x，则BC的长度为(100-4x)米，根据图形面积的计算方法列式求解即可．
本题主要考查用代数式表示数量关系，一元二次方程的运用，解题的关键是结合图形表示出相应线段的长度．
22.【答案】解：(1)设此商品每件需要降价x元，则每周销售(20+2x)件，
由题意得：(60-x)(20+2x)=1650，
解得：x1=5，x2=45(不符合题意，舍去)，
答：此商品每件需要降价5元；
(2)该商品每周的销售利润能达到2000元，理由如下：
设此商品每件需要降价y元，则每周销售(20+2y)件，
由题意得：(60-y)(20+2y)=2000时，
整理得：y2-50y+400=0，
解得：y1=10，y2=40(不合题意，舍去)，
∴当每件需要降价10元时，该商品每周的销售利润能达到2000元．
【解析】(1)设此商品每件需要降价x元，则每周销售(20+2x)件，根据使每周销售利润达到1650元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
(2)设此商品每件需要降价y元，则每周销售(20+2y)件，根据该商品每周的销售利润达到2000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)该校九年级共捐书：175÷126360=500(本)．
答：该校九年级共捐书500本；
(2)0.35、150、0.22、0.13；
(3)估计“科普图书”和“小说”一共1500×(0.3+0.22)=780(本)；
(4)分别用“1、2、3”代表“名人传记”、“科普图书”、“小说”三本书，可用列表法表示如下：
则所有等可能的情况有6种，其中2人恰好1人捐“名人传记”，1人捐“科普图书”的情况有2种，所以所求的概率：26=13．
【解析】【分析】
本题考查了列表法求概率，扇形统计图，正确的识图是解题的关键．
(1)根据名人传记的圆心角求得其人数所占百分比，再用名人传记的人数除以所得百分比可得总人数；
(2)根据频率=频数÷总数分别求解可得；
(3)用总人数乘以样本中科普图书和小说的频率之和可得；
(4)列表得出所有等可能结果，从中找到恰好1人捐“名人传记”，1人捐“科普图书”的结果数，利用概率公式求解可得
【解答】
解：(1)、(3)、(4)见答案；
(2)a=175÷500=0.35、b=500×0.3=150、c=110÷500=0.22、d=65÷500=0.13，
故答案为0.35、150、0.22、0.13．
24.【答案】【小题1】
证明：在▵ADE和△ACB中，∠ADE=∠ACB∠A=∠A,
∴▵ADE∽▵ACB．
【小题2】
解：∵E是AC的中点，
∴AC=2AE，
由(1)已证：▵ADE∽▵ACB，
∴ADAC=AEAB，
∵AD=8,AB=10，
∴82AE=AE10，
解得AE=2 10或AE=-2 10