四川省金堂县金龙中学2024届九上数学第一学月月考试卷(含解析)

这是一份四川省金堂县金龙中学2024届九上数学第一学月月考试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．在3，﹣7，0，四个数中，最大的数是（ ）
A．3B．﹣7C．0D．
2．党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五．将数据1040000000用科学记数法表示为（ ）
A．104×107B．10.4×108C．1.04×109D．0.104×1010
3．下列计算正确的是（ ）
A．a4+a4＝a8B．a4•a4＝a16C．（a4）4＝a16D．a8÷a4＝a2
4．如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC＝DEB．AE＝DBC．∠A＝∠DEFD．∠ABC＝∠D
6．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（ ）
A．OB＝CEB．△ACE是直角三角形
C．BC＝AED．BE＝CE
7．为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．​根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）
A．平均数为70分钟B．众数为67分钟
C．中位数为67分钟D．方差为0
8．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．因式分解：x2﹣4＝ ．
10．在平面直角坐标系xOy中，点P（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是 ．
11．分式方程+＝1的解为 ．
12．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则BC的长为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：． （2），
15．（8分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣3．
16．（8分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格，合格，良好，优秀(90由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．
（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．
（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？
（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？
17．（10分）如图，在中，，点、分别是线段、的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形为矩形．
18．（10分）如图所示，直线l1的解析式为y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0）、B（3，﹣1.5），直线l1、l2交于点C．
（1）求点D的坐标和直线l2的解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得S△ADP=2S△ADC，请直接写出点P的坐标．

B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．如果实数a，b满足a+b＝6，ab＝8，那么a2+b2＝_________．
20． 若一个几何体由若干大小相同的小立方体搭成，如图分别是从它的左视图与俯视图，该几何体所用小立方体的个数是，则的最小值是______．
21．如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF．若AE=5，AD=8，则EF的长度是______．
22．如图，直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，则Sn＝ ．
23．如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．
（1）求A，B两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+8分别交两轴于点A、B，点C为线段AB的中点，点D在线段OA上，且CD的长是方程的根．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，不必说明理由．
26．（12分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF=AE；（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB=2，CE=2，求线段AE的长．
四川省金堂县金龙中学2021届九上数学第一学月月考试卷（解析版）
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．在3，﹣7，0，四个数中，最大的数是（ ）
A．3B．﹣7C．0D．
【分析】运用有理数大小比较的知识进行求解．
【解答】解：∵﹣7＜0＜＜3，∴最大的数是3，故选：A．
【点评】此题考查了有理数大小比较的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2．党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五．将数据1040000000用科学记数法表示为（ ）
A．104×107B．10.4×108C．1.04×109D．0.104×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1040000000＝1.04×109． 故选：C．
【点评】此题考查科学记数法—表示较大的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a4+a4＝a8B．a4•a4＝a16C．（a4）4＝a16D．a8÷a4＝a2
【分析】直接利用合并同类项法则及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简，进而判断即可．
【解答】解：A．a4+a4＝2a4，故此选项不合题意；B．a4•a4＝a8，故此选项不合题意；
C．（a4）4＝a16，故此选项符合题意；D．a8÷a4＝a4，故此选项不合题意． 故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从上面看，底层的最右边是一个小正方形，上层是四个小正方形，右齐．故选：C．
5．如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC＝DEB．AE＝DBC．∠A＝∠DEFD．∠ABC＝∠D
【解答】解：∵AC∥DF，∴∠A＝∠D，∵AC＝DF，
∴当添加∠C＝∠F时，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF；
当添加∠ABC＝∠DEF时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；
当添加AB＝DE时，即AE＝BD，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF． 故选：B．
6．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（ ）
A．OB＝CEB．△ACE是直角三角形
C．BC＝AED．BE＝CE
【分析】由菱形的性质可得AO＝CO＝，AC⊥BD，通过证明△AOB∽△ACE，可得∠AOB＝∠ACE＝90°，OB＝CE，AB＝AE，由直角三角形的性质可得BC＝AE，即可求解．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝，AC⊥BD，∵CE∥BD，
∴△AOB∽△ACE，∴∠AOB＝∠ACE＝90°，＝，
∴△ACE是直角三角形，OB＝CE，AB＝AE，∴BC＝AE， 故选：D．
7．为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．​根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）
A．平均数为70分钟B．众数为67分钟
C．中位数为67分钟D．方差为0
【分析】根据折线图分别求出平均数、众数、中位数和方差进行判断即可．
【解答】解：根据折线图小亮该周每天校外锻炼时间为：65、67、70、67、75、79、88，
A．平均数是＝73，故选项错误，不符合题意；
B．这组数的众数是67，故选项正确，符合题意；
C．将这组数由小到大排列为：65、67、67、70、75、79、88，中位数是70，故选项错误，不符合题意；
D．这组方差为：S2＝×[（65﹣73）2+（67﹣73）2+（70﹣73）2+（67﹣73）2+（75﹣73）2+（79﹣73）2+（88﹣73）2]＝30，故选项错误，不符合题意； 故选：B．
【点评】本题考查了折线图，平均数、众数、中位数和方差的计算，掌握折线图的特点，平均数、众数、中位数和方差的计算方法是关键．
8．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵共买了一千个苦果和甜果，∴x+y＝1000；
∵共买一千个苦果和甜果共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，
∴x+y＝999．∴可列方程组为． 故选：A．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．因式分解：x2﹣4＝ ．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）． 故答案为：（x+2）（x﹣2）．
10．在平面直角坐标系xOy中，点P（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是 ．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出答案．
【解答】解：∵关于y轴对称，∴横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴点P（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是（﹣5，﹣1）． 故答案为：（﹣5，﹣1）．
【点评】本题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
11．分式方程+＝1的解为 ．
【解答】解：去分母得：3﹣x﹣1＝x﹣4，解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解， 故答案为：x＝3
12．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 ．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，∴k﹣2＜0，解得k＜2， 故答案为：k＜2．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则BC的长为 ．
【解答】解：过点D作DH⊥AB，则DH＝1，
由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，
则CD＝DH＝1，∵△ABC为等腰直角三角形，故∠B＝45°，
则△DHB为等腰直角三角形，故BD＝HD＝，则BC＝CD+BD＝1+， 故答案为：1+．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：．
【解答】解：原式．
（2），
【解答】解：由①得，x≥2；
由②得，x＜4，
故此不等式组的解集为：2≤x＜4．
15．（8分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣3．
【解答】解：原式＝＝，
当a＝﹣3时，原式＝．
16．（8分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格，合格，良好，优秀(90由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．
（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．
（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？
（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？
【分析】（1）根据基本合格人数已经百分比求出总人数即可解决问题．
（2）根据圆心角百分比计算即可．
（3）根据中位数的定义判断即可．
（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）（人，（人，
直方图如图所示：
（2）“良好”所对应的扇形圆心角的度数．
（3）这次测试成绩的中位数是良好．
（4）（人，答：估计该校获得优秀的学生有300人．
【点评】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，扇形统计图，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．（10分）如图，在中，，点、分别是线段、的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形为矩形．
【解答】证明：（1），，是线段的中点，
，，；
（2），，是线段的中点，，
，，四边形是平行四边形，，
，，四边形为矩形．
18．（10分）如图所示，直线l1的解析式为y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0）、B（3，﹣1.5），直线l1、l2交于点C．
（1）求点D的坐标和直线l2的解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得S△ADP=2S△ADC，请直接写出点P的坐标．

【分析】（1）把y=0代入y=﹣3x+3解答即可得到点D的坐标；利用待定系数法解答即可得到直线l2的解析式；
（2）根据方程组解得点C的坐标，再根据三角形的面积公式，即可得到△ADC的面积；
（3）根据直线l1的解析式y=﹣3x+3求得D（1，0），解方程组得到C（2，﹣3），设P（m，m﹣6），根据S△ADP=2S△ACD列方程即可得到结论．
【解答】（1）把y=0代入y=﹣3x+3，可得：0=﹣3x+3，解得：x=1，
所以D点坐标为（1，0），
设直线l2的解析式为y=kx+b，把A（4，0）、B（3，﹣）代入得，
解得．所以直线l2的解析式为y=x﹣6；
（2）解方程组得，所以C点坐标为（2，﹣3），所以△ADC的面积=×（4﹣1）×3=4.5；
（3）设P（m，m﹣6），∵S△ADP=2S△ACD，∴×3×|m﹣6|=2×4.5，解得m=8或0，
∴点P的坐标（8，6）或（0，﹣6）．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．如果实数a，b满足a+b＝6，ab＝8，那么a2+b2＝_________．
【答案】20
【解析】∵∴ ∵ab=8，∴36-2ab=36-2×8=20.
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，熟练进行完全平方公式的变形是解题的关键.
20． 若一个几何体由若干大小相同的小立方体搭成，如图分别是从它的左视图与俯视图，该几何体所用小立方体的个数是，则的最小值是______．
【答案】9
【解析】由左视图与俯视图，判断最少和最多的正方体的个数即可解决问题．
【详解】解：由左视图与俯视图可确定所需正方体个数最少和最多时俯视图为：
则组成这个几何体的小正方体最少有9个，最多有11个，则的最小值是9， 故答案为：9．
【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，根据主视图和左视图画出所需正方体个数最少和最多的俯视图是关键．
21．如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF．若AE=5，AD=8，则EF的长度是______．
【答案】6
【解析】假设AD与EF相交于点H，由题意易得∠BAD=∠CAD，∠AHE=∠AHF=90°，进而可证△AHE≌△AHF，则有EH=HF，然后由勾股定理可求解．
【详解】解：假设AD与EF相交于点H，如图所示：
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵EF垂直平分AD，∴AH=HD，∠AHE=∠AHF=90°，
∵AH=AH，∴△AHE≌△AHF（ASA），∴EH=FH，∵AE=5，AD=8，∴AH=4，
∴在Rt△AHE中，，∴EF=6； 故答案为6．
【点睛】本题主要考查勾股定理及垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及垂直平分线的性质定理是解题的关键．
22．如图，直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，则Sn＝ ．
【解答】解：直线l：y＝x+1，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣
∴A（﹣，0）A1（0，1）∴∠OAA1＝30°又∵A1B1⊥l，∴∠OA1B1＝30°，
在Rt△OA1B1中，OB1＝•OA1＝，∴S1＝；
同理可求出：A2B1＝，B1B2＝，
∴S2＝＝＝；
依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……
因此：Sn＝
故答案为：．
23．如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是 ．
【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，
∴CD的最大值为14，
故答案为14．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．
（1）求A，B两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程；
（2）设A种食材的单价为m元/千克，B种食材的单价为（36﹣m）元/千克，总费用为w元，由题意得：w＝38m+30（36﹣m）＝8m+1080，根据题意可以列出相应的不等式，求出m的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】（1）设A种食材的单价为x元/千克，B种食材的单价为y元/千克，由题意得：，
解得：，∴A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；
（2）设A种食材的单价为m元/千克，B种食材的单价为（36﹣m）元/千克，总费用为w元，由题意得：
w＝38m+30（36﹣m）＝8m+1080，∵m≥2（36﹣m），∴24≤m≤36，∵k＝8＞0，∴w随m的增大而增大，
∴当m＝24时，w有最小值为：8×24+1080＝1272（元），
∴A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元．
【点评】本题主要考查二元一次方程组、一次函数的性质、不等式在实际生活当中的运用，考查学生的理解能力与列式能力．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+8分别交两轴于点A、B，点C为线段AB的中点，点D在线段OA上，且CD的长是方程的根．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，不必说明理由．
【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+8分别交两轴于点A、B，∴点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（0，8），
∵点C为线段AB的中点，∴点C的坐标是（4，4），由，解得x=5，∴CD=5，
设点D的坐标是（m，0）（m＞0），则，解得m=1或m=7，∴点D的坐标是（1，0）或（7，0）．
（2）①当点D的坐标是（1，0）时，设直线CD的解析式是y=ax+b，则解得∴直线CD的解析式是y=x﹣．
②当点D的坐标是（7，0）时，设直线CD的解析式是y=cx+d，
则解得
∴直线CD的解析式是y=﹣x．
（3）存在点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形．
①当直线CD的解析式是y=x﹣时，设AF所在的直线的解析式是y=+m，
∵点A的坐标是（8，0），
∴，解得m=﹣，∴AF所在的直线的解析式是y=﹣．
Ⅰ、如图1，设点F的坐标是（p，），
则DF的中点E的坐标是（），∵点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（4，4），
∴AC的中点E的坐标是（6，2），∴=6，解得p=11，∴点F的坐标是（11，4）．
Ⅱ、如图2，，
设点F的坐标是（p，），则CF的中点G的坐标是（），
∵点A的坐标是（8，0），点D的坐标是（1，0），∴AD的中点G的坐标是（4.5，0），
∴，解得p=5，∴点F的坐标是（5，﹣4）．
Ⅲ、如图3，当CF∥AD时，，设点F的坐标是（p，4），
则AF的中点E的坐标是（，2），
∵点D的坐标是（1，0），点C的坐标是（4，4），
∴CD的中点E的坐标是（2.5，2），∴=2.5，
解得p=﹣3，∴点F的坐标是（﹣3，4）．
②当直线CD的解析式是y=﹣x+时，设AF所在的直线的解析式是y=﹣+n，
∵点A的坐标是（8，0），∴，解得n=，
∴AF所在的直线的解析式是y=﹣+．
Ⅰ、如图4，，
设点F的坐标是（p，﹣），则DF的中点M的坐标是（），
∵点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（4，4），∴AC的中点M的坐标是（6，2），
∴=6，解得p=5，∴点F的坐标是（5，4）．
Ⅱ、如图5，，
设点F的坐标是（p，﹣），
则CF的中点N的坐标是（，），
∵点A的坐标是（8，0），点D的坐标是（7，0），
∴AD的中点N的坐标是（7.5，0），∴，解得p=11，
∴点F的坐标是（11，﹣4）．
Ⅲ、如图6，当CF∥AD时，，
设点F的坐标是（p，4），
则AF的中点E的坐标是（，2），
∵点D的坐标是（7，0），点C的坐标是（4，4），
∴CD的中点E的坐标是（5.5，2），∴=5.5，解得p=3，
∴点F的坐标是（3，4）．综上，可得点F的坐标是（11，4），（5，﹣4），（﹣3，4），（5，4），（11，﹣4）或（3，4）．
26．（12分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF=AE；（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB=2，CE=2，求线段AE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4.
【解析】解：（1）如图1．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF．∵AB=AC，∴AC=DF．∵DE=EC，∴AE=EF．∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接EF，DF交BC于K．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠DKE=∠ABC=45°，∴∠EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED．∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE．∵∠DKC=∠C，∴DK=DC．∵DF=AB=AC，∴KF=AD．在△EKF和△EDA中，，∴△EKF≌△EDA（SAS），∴EF=EA，∠KEF=∠AED，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE．
（3）如图3，当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，依据AD=AC，ED=EC，可得AE垂直平分CD，而CE=2，∴EH=DH=CH=，Rt△ACH中，AH==3，∴AE=AH+EH=4．
点睛：本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点．