北京交通大学附属中学2024_2025学年上学期九年级月考数学试卷（10月份）

这是一份北京交通大学附属中学2024_2025学年上学期九年级月考数学试卷（10月份），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，中心对称图形是（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移5个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x＋1）2＋5B．y＝2（x＋1）2－5
C．y＝2（x－1）2＋5D．y＝2（x－1）2－5
4．如图，将绕着点顺时针旋转后得到．若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系中，把点P（-3,2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P的坐标为（ ）
A．（3，-2）B．（2，-3）C．（-3，-2）D．（3,2）
6．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为
A．2B．4C．8D．16
8．如图，动点P在线段上（不与点A，B重合），分别以为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y，线段的长为x．当点P从点A移动到点B时，y随x的变化而变化，则表示y与x之间关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．请写出一个开口向上且顶点坐标为的抛物线的解析式 ．
10．二次函数的图像的顶点在轴上，写出一组满足条件的实数、的数值 ， ．
11．点，在抛物线上，则 ．（填“”，“”或“”）
12．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为1,0，与轴的交点为0,3，则方程的解为 ．
13．已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值是 ．
14．如图，二次函数与一次函数的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是 ．
15．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为 ．
16．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
下列结论：（1）ac＜0；
（2）抛物线顶点坐标为（1，5）；
（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的序号为 .
三、解答题
17．计算：．
18．解方程：
19．已知：如图，绕某点按一定方向旋转一定角度后得到，点A，B，C分别对应点，，．
(1)根据点和的位置确定旋转中心是点 ．
(2)请在图中画出．
20．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：△AEB ≌△ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
21．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根．
22．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表：
(1)求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标；
(2)求出该函数图象与轴的交点坐标，并画出此二次函数的图象．
(3)结合图象，当时，的取值范围是 ．
(4)结合图象，当时，的取值范围是 ．
23．如图，在中，D是AB上一点，，DE平分∠ADC交AC于点E，DF平分∠BDC交BC于点F，．
(1)求证：四边形CEDF是矩形；
(2)若，，连接BE，求BE的长．
24．2021年12月《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》正式发布，跳绳成为新增的体育中考选考项目．某校体育组为了解八年级学生跳绳的基本情况，从八年级男、女生中各随机抽取了20名学生1分钟跳绳次数，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．学生1分钟跳绳次数频数分布直方图如下（数据分成9组：，，…，）：
b．男生1分钟跳绳次数在这一组的是：140，141，142，143，144，145，145，147
c．1分钟跳绳次数的平均数、中位数、优秀率如下表：
注：《国家中学生体质健康标准》规定：八年级男生1分钟跳绳次数大于或等于135个，成绩为优秀；八年级女生1分钟跳绳次数大于或等于130个，成绩为优秀．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)将女生1分钟跳绳次数频数分布直方图补充完整；
(2)写出表中m，n的值；
(3)此次测试中，某学生的1分钟跳绳次数为140个，这名学生的成绩排名超过同组一半的学生，判断该生属于______（填“男生”或“女生”）组；
(4)如果全年级男生人数为100人，女生人数为120人，请估计该年级跳绳成绩优秀的总人数．
25．篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，从出手到球进篮筐的过程中，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．

(1)某球员一次投篮时，记录了篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
请你根据表格中数据，直接写出篮球飞行轨迹的最高点坐标__________，并求出满足的函数解析式．
(2)小明同学在此基础上想要研究自己的投篮情况，已经求得第一次的投篮轨迹近似满足函数关系式：，请回答下列问题：
①小明同学第一次投篮的出手点高度为__________；
②已知篮筐中心位置在水平距离，竖直高度处．当篮球的竖直高度为时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差以内，篮球可以进入篮筐．若小明第二次的投篮轨迹近似满足函数关系式：，已知两次投篮只有一次投中，则__________投中（填写“第一次”或“第二次”）．
26．已知抛物线经过点．
(1)用含的式子表示及抛物线的顶点坐标；
(2)若对于任意，都有，求的取值范围．
27．如图，中，，，于点，点在的延长线上，连接，点与点关于直线对称，连接．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：；
(3)当时，连接，，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P与图形W给出如下定义：如果存在以点P为端点的一条射线与图形W有且只有2个公共点，那么称点P是图形W的“相关点”．已知点，，．
(1)当时，
①在点，，，中，是折线的“相关点”的是______；
②点M是直线上一点，如果点M是折线的“相关点”，求点M的横坐标的取值范围；
(2)正方形DEFG的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N的坐标是．如果正方形的边长是2，正方形DEFG上的任意一点都是折线的“相关点”，请直接写出m的取值范围．
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
…
…
…
…
组别
平均数
中位数
优秀率
男生
139
m
65%
女生
135
138
n
水平距离
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
…
竖直高度
2
2.72
3.28
3.68
3.92
4
3.92
3.68
…
参考答案：
1．D
【分析】根据中心对称图形的定义∶把一个图形绕某个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，解答即可．
【详解】解：A．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误；
B．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误；
C．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误；
D．符合中心对称图形的定义，因此是中心对称图形，故正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称图形的概念是解题关键．
2．A
【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数为常数，，顶点坐标是，据此求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：A．
3．C
【详解】∵平移不改变抛物线的二次项系数，
∴将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移5个单位，
平移后的抛物线的解析式为y＝2（x－1）2＋5，
故选C.
【点睛】本题考查了抛物线的平移变换．关键是将抛物线的平移转化为顶点的平移，平移的规律是左加右减，上加下减，根据规律结合顶点式即求平移后抛物线的解析式．
4．B
【分析】先利用旋转的性质得到，再利用三角形内角和计算出，然后计算即可．
【详解】解： 绕着点顺时针旋转后得到，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键：旋转图形对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
5．D
【详解】根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，
∵P点坐标为（-3，2），
∴点P′的坐标（3，-2）．
故选：D．
【点睛】考点：坐标与图形变化-旋转．
6．D
【详解】
故选：D．
7．B
【详解】解：过点C作CA⊥y轴于点A，
根据抛物线的对称性得：OBD的面积等于CAO的面积，
∴阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积．
∵，
∴顶点坐标为C（2，－2）．
∴对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4．
故选B．
8．C
【分析】假设，则，然后根据求出y关于x的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：假设，则，
∴

，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，正确求出y关于x的函数关系式是解题的关键．
9．（答案不唯一）
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．已知顶点坐标，可用抛物线的顶点式表示解析式，已知开口向上，只要二次项系数为正数即可．
【详解】解：由题意可设该抛物线解析式为．
∵开口向上，
∴即可．
令，则抛物线的解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
10． （答案不唯一）． （答案不唯一）．
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，求出顶点坐标是解答本题的关键．先化为顶点式，求出顶点坐标，再利用顶点纵坐标等于0列式求解即可．
【详解】解：，
∴该二次函数的顶点坐标为．
∵该二次函数的顶点在轴上，
∴，
∴．
当时，．
故答案为：，（答案不唯一）．
11．
【分析】将A，B两点代入抛物线，求出对应的y值即可．
【详解】当时，；
当时，；
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握知识点是解题关键．
12．，
【分析】本题考查二次函数图象的对称性，二次函数与相关一元二次方程的关系．掌握二次函数图象关于其对称轴对称，二次函数图象与x轴交点的横坐标即为其相关一元二次方程的解是解题关键．根据二次函数图象的对称性可求出另一交点坐标为，即得出其相关一元二次方程的的解为，．
【详解】解：∵该二次函数对称轴为直线，与轴的一个交点为，
∴该二次函数与轴的另一个交点为，
∴方程的解为，．
故答案为：，．
13．
【分析】把x=0代入方程进行计算，结合一元二次方程的二次项系数不为0，即可得到答案．
【详解】解：把代入方程，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：.
【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及方程的解，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，利用方程的解正确求出参数.
14．或
【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求解．根据抛物线与直线交点坐标，结合图象求解．
【详解】解：抛物线与直线交点坐标为，，
或时，抛物线在直线上方，
使成立的的取值范围是或．
故答案为：或
15．y＝（60﹣x）（300+20x）
【分析】根据题意可以列出相应的函数关系式，本题得以解决.
【详解】由题意可得，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式.
16．（1）、（3）、（4）
【分析】根据表格可得到函数的对称轴，再判断出函数的开口方向，与y轴的交点、顶点坐标，再根据函数的图像与性质即可一一判断.
【详解】（1）函数的对称轴为：x＝（0＋3）＝，
对称轴左侧y随x的增大而增大，故a＜0，x＝0，y＝3＝c＞0，
故（1）正确，符合题意；
（2）函数的对称轴为x＝，故（2）错误，不符合题意；
（3）ax2＋（b−1）x＋c＝0，则ax2＋bx＋c＝x，
当x＝3时，ax2＋bx＋c＝3，故（3）正确，符合题意；
（4）由（3）知，3是方程ax2＋（b−1）x＋c＝0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为1，
故当−1＜x＜3时，ax2＋（b−1）x＋c＞0，故（4）正确，符合题意；
故答案为：（1）、（3）、（4）．
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．
17．
【分析】本题考查二次根式的混合运算，涉及零指数幂，化最简二次根式，化简绝对值，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．先计算零指数幂，化最简二次根式，化简绝对值，再进行加减运算即可．
【详解】解：
．
18．
【分析】先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程
【详解】解：，
，
，
即或，
解得．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
19．(1)
(2)见解析
【分析】（1）分别作、的中垂线m、n，两者的交点即为所求；
（2）作出点C绕点顺时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连接即可得；
【详解】（1）解：如图，根据点和的位置确定旋转中心是点，
（2）如图所示，即为所求．
【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
20．（1）见解析；（2）45°
【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得，，再由旋转的性质，可得，，从而得到，再证≌即可；
（2）根据题意可得为等边三角形．可得，根据三角形全等可得，然后利用两角之差即可求解．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，．
线段AD绕点A顺时针旋转，得到线段AE，，．
．
．
在△EAB和△DAC中，
，
≌．
解： ，，
为等边三角形．
，
≌．
．
∴∠BED=∠AEB-∠AED=105°-60°=45°，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
21．（1）且；（2），
【分析】（1）由Δ＞0，得到关于m的不等式，解之得到m的范围，根据一元二次方程的定义求得答案；
（2）由（1）知m＝0，可得方程，利用因式分解法求解可得．
【详解】．解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即．
又，
，即．
解得．
的取值范围是且．
（2）在且的范围内，最大整数为．
此时，方程化为．
方程的根为，．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．
22．(1)，顶点坐标
(2)与轴的交点坐标分别为，，画图象见解析
(3)或
(4)
【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，求二次函数与坐标轴的交点坐标．利用待定系数法求二次函数解析式并正确画出图象是解题关键．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，再将其改为顶点式即得出顶点坐标；
（2）令，求出x的值，即得出该函数图象与轴的交点坐标，再描点连线画出此二次函数的图象即可；
（3）求当时，的取值范围，即求函数图象在x轴上方时，的取值范围，结合图象可直接得出结果；
（4）结合图象可直接得出结果．
【详解】（1）解：将 ，，代入，
得：，解得：，
∴该二次函数的表达式为，
∴这个二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：对于，令，则，
解得：，，
∴该函数图象与轴的交点坐标分别为，1,0．
画出此二次函数的图象如下：
（3）解：由图可知，当时，的取值范围是或；
（4）解：由图可知，当时，的取值范围是．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证∠EDF=90°，∠CED=90°，再由∠DFC=90°，即可得出结论；
（2）证△ACD是等边三角形，得∠ACD=60°，AC=AD=2，则AE=CE=1，再由勾股定理得DE，然后由三角形中位线定理得BC=2DE=，由勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）解：证明：∵DE平分∠ADC，DF平分∠BDC，
∴∠ADE=∠CDE=∠ADC，∠CDF=∠BDC，
∴∠CDE+∠CDF=（∠ADC+∠BDC）=×180°=90°，
即∠EDF=90°，
∵AD=DC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴∠CED=∠AED=×180°=90°，
又∵∠DFC=90°，
∴四边形CEDF是矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形CEDF是矩形，
∴∠CED=∠ECF=90°，
∴∠A=90°-∠B=90°-30°=60°，DE⊥AC，
∵AD=DC，
∴CE=AE，△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，AC=AD=2，
∴AE=CE=1，
∴DE=，
∠DCB=∠ECF-∠ACD=90°-60°=30°，
∴∠DCB=∠B，
∴DB=DC=AD，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE=，
即BE的长为．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)，
(3)“女生”
(4)149人
【分析】（1）利用抽取女生的总人数和女生跳绳次数频数分布直方图中的数据，求出成绩在之间的人数即可；
（2）利用中位数的定义求m，利用八年级女生1分钟跳绳次数大于或等于130个的人数除以女生总人数求n；
（3）将这名学生的成绩与男生、女生成绩的中位数比较即可；
（4）利用样本估计总体的方法解决．
【详解】（1）解：女生成绩在之间的人数为：，
补全后的频数分布直方图如下图所示：
（2）解：由男生1分钟跳绳次数频数分布直方图和这一组的数据可知，20名男生中，成绩从低到高排序，第10位和第11位的成绩分别是141，142，
因此男生组的中位数：；
女生1分钟跳绳次数大于或等于130个的人数为：，
因此女生组的优秀率：，
故，；
（3）解：这名学生的成绩140小于男生组的中位数141.5，大于女生组的中位数138，
因此该生属于“女生”，
故答案为：“女生”；
（4）解：由已知和（2）的结论知男生组的优秀率为65%，女生组的优秀率为70%，
（人），
因此估计该年级跳绳成绩优秀的总人数为149人．
【点睛】本题考查统计相关知识，掌握频数分布直方图、中位数的定义和应用，以及利用样本估计总体的方法是解题的关键．
25．(1)，
(2)①2.1；②第一次
【分析】（1）由表格中的数据可得篮球飞行轨迹的最高点坐标为，设此函数满足的函数解析式为：，将代入函数解析式，求出的值即可得到答案；
（2）①令，求出的值即可得到答案；②分别令，计算出的值，进行估算，并进行比较即可得到答案．
【详解】（1）解：由表格中的数据可得：
篮球飞行轨迹的最高点坐标为，
设此函数满足的函数解析式为：，
将代入函数解析式得：，
解得：，
篮球飞行轨迹满足的函数解析式为：；
（2）解：①根据题意得：
当时，，
小明同学第一次投篮的出手点高度为，
故答案为：2.1；
②在中，令，则，
解得：，，
在中，令，则，
解得：，，
，，且当篮球的竖直高度为时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差以内，篮球可以进入篮筐，篮筐中心位置在水平距离，
第一次投中，
故答案为：第一次．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
26．(1)，抛物线的顶点坐标为；
(2)或．
【分析】（1）把点代入计算可求得含的式子表示的代数式，配方成顶点式，即可求解；
（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，则当时，代入计算，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
又∵抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，且，
∴当时，，
即，
∴，
∴或，
解得或．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，函数的增减性，在本题的解答中，除了必要的理论依据外，还需要学生具有比较强的解不等式的能力．
27．(1)补图见解析
(2)证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
（1）根据题意画图即可；
（2）设与交于点，分别证明、为、中点，利用中位线可证；
（3）过点作交于点，连接，设与交于点，与交于点，与交于点，先证，得，推出，再证，推出，推出，再证，最后在中，利用求证．
【详解】（1）解：补全图形如图：
（2）解：如图，设与交于点，
∵点与点关于直线对称，
∴，，
∵，，
∴，
∴M，D分别为的中点
∴，
即：；
（3）解：，证明如下：
如图，过点作交于点，连接，设与交于点，与交于点，与交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，于点，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
即：，
即：．
28．(1)①；②
(2)或
【分析】（1）①根据所给坐标画出图像，根据定义进行判断即可求解；
②根据题意画出，结合定义可知当与点重合时取得最小值，与直线相交时，取得最大值，进而即可求解；
（2）根据题意求得直线的解析式为，直线的解析式为，正方形上的任意一点都不在所围成的锐角之内以及边上（除线段AB,AC外），当正方形有一点在或上时，根据点的坐标以及正方形的性质求得点的坐标，分别代入直线的解析式即可求得点的坐标，结合函数图像即可求解．
【详解】（1）当时，，
①如图，在平面直角坐标系中描出点，，，，连接，
由图像可知，为折线的“相关点”；
②如图，
点M是直线上一点，
根据定义可知：点为折线的“相关点”
当与点重合时，此时取得最小值，为，
当在直线上时，取得最大值，
设直线解析式为
则
解得
直线解析式为
联立
解得
即的最大值为
（2）点，，．
设直线的解析式为，解析式为,
则，，
解得，
直线的解析式为，直线的解析式为，
当正方形上的任意一点都是折线的“相关点”；
正方形上的任意一点都不在所围成的锐角之内以及边上（除线段AB,AC外），
当正方形有一点在或上时，如图，
当点在上时，，正方形的边长为2，
则，
代入直线解析式，可得，
解得；
当点在上时，，正方形的边长为2，
则，
代入直线解析式，可得，
解得，
结合图像可知，当正方形DEFG上的任意一点都是折线的“相关点”，或．
【点睛】本题考查了新定义问题，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，坐标与图形，两直线交点问题，理解新定义是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
A
C
B
D
D
B
C