北京市十一学校2024--2025学年上学期九年级10月月考数学试卷

这是一份北京市十一学校2024--2025学年上学期九年级10月月考数学试卷，共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．C．D．
3．用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度，半径于，液面深度，则该管道的直径长为（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系中，点关于点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，，．以A为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（ ）

A．B．
C．D．
7．在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移个单位长度，向右平移个单位长度，得到抛物线（ ）
A．B．C．D．
8．线段，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系B．正比例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系D．二次函数关系，正比例函数关系
二、填空题
9．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为 ．
10．如图，、、是上的三点，则，则 度．
11．如图，抛物线的对称轴为，点，点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则不等式的解为 ．
12．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是
三、单选题
13．已知抛物线中的与满足下表：
则下列说法：
①图象经过原点；
②图象开口向上；
③图象的对称轴是轴；
④图象经过点．其中正确的是 （填写序号）．
四、填空题
14．如图，，，分别与相切于点、、三点，且，，，则的长为 ．
15．当时，不等式恒成立，则的取值范围为 ．
16．如图，在平行四边形中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为 ．
五、解答题
17．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
18．如图，是外一点，与相切，切点为．画出的另一条切线，切点为．小云的画法是：
①连接，过点画出的垂线交于点；
②画出直线．
直线即为所求．
(1)根据小云的画法，补全图形；
(2)完成下面的证明．
证明：连接，．
，，
垂直平分，．
① ．
② ．
．
是的切线，为切点，
．
．
．
于点．
是的半径，
是的切线（③ ）（填推理的依据）．
19．如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
20．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
(1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；
(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
(3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
21．关于的一元二次方程．
(1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围；
(2)若方程两实根 满足，求的值．
22．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O，B为格点（每个小正方形的顶点叫做格点），，，且，线段关于直线对称的线段为，将线段绕点逆时针旋得到线段；
(1)画出线段，；
(2)将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，求的度数．
23．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和．
(1)求二次函数的表达式；
(2)用五点法画出该二次函数的图象；
(3)结合图象直接写出时，自变量的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．
24．如图，是的直径，点，在上，平分．
(1)求证：；
(2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点．若，，求半径的长．
25．某实验室在温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围下的生长速度相同，现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，研究其对幼苗生长速度的影响．研究发现，使用一定量的营养素，会促进该种幼苗的生长速度，营养素超过一定量时，则会抑制幼苗的生长速度，并且在范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度相同．
经过进一步实验，获得了和温度下营养素用量与幼苗生长速度的部分数据如表所示：设营养素用量为毫克，温度下幼苗生长速度为毫米天，温度下幼苗生长速度为毫米天．
(1)在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度为__________毫米天；
(2)根据表中数据，发现，都可近似看作的函数．在平面直角坐标系中，补全表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点；
(3)结合函数图象，回答下列问题：
在温度下，使用约___________毫克的营养素时，该种幼苗生长速度最快；此时，温度下该种幼苗生长速度比温度下该种幼苗生长速度快__________毫米天（结果保留小数点后两位）；
当该种幼苗的生长速度在和温度下均不低于毫米天时，营养素用量的取值范围为__________（结果保留小数点后两位）．
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围．
27．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.

(1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点；
(2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。
28．如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．
该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的，向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下：
根据以上信息，解决下列问题：
(1)完善表中的数据，并在直角坐标系中描出表中各组已知对应值为坐标的点；
(2)当__________时，杯中水位最高，是__________；
(3)在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为__________；
(4)求停止注水时的值；
(5)从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时__________．
…
0
1
2
…
…
0
…
时间（）
水位高度（）
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用配方法将抛物线的一般式化成顶点式是解题的关键．
利用配方法将抛物线解析式化成顶点式，即可求得其顶点坐标．
【详解】解：，
抛物线的顶点坐标是，
故选：．
2．C
【分析】根据中心对称图形的定义就可以选出答案．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形的定义：把一个图形绕某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
3．D
【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．
把方程左边配成完全平方式，右边化为常数，即可得出答案．
【详解】解：，
，
即：，
故选：．
4．D
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
连接，由，利用垂径定理可得为的中点，于是可求出的长，设圆的半径为，由可表示出，在中，利用勾股定理即可求出的值，进而可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
，
为的中点，
，
设圆的半径为，
在中，
，
根据勾股定理，得：
，
即：，
整理，得：，
解得：，
该管道的直径长为，
故选：．
5．A
【分析】本题考查了中心对称的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
设点关于点对称的点的坐标是，根据中心对称的性质即可求出和，于是得解．
【详解】解：设点关于点对称的点的坐标是，
根据中心对称的性质，可得：
，
，
点关于点对称的点的坐标是，
故选：．
6．D
【分析】本题主要考查了扇形的面积公式、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握扇形面积公式是解题的关键．
在中，根据直角三角形的性质可得、，再根据勾股定理可得，最后根据计算即可解答．
【详解】解：∵中，，，，
∴，，
∴,
．
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律进行求解即可．
【详解】解：抛物线向上平移个单位长度，得：
，
再向右平移个单位长度，得：
，
故选：．
8．C
【分析】本题主要考查了用关系式表示变量间的关系，二次函数的定义，一次函数的定义等知识点，熟练掌握二次函数的定义和一次函数的定义是解题的关键．
根据题意可得出与，与的函数关系式，然后根据二次函数的定义和一次函数的定义即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得：，
，
，属于二次函数关系，
，属于一次函数关系，
故选：．
9．
【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．将代入方程即可求解．
【详解】解：将代入方程得：，
解得：，
故答案为：
10．
【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
根据圆周角定理即可直接得出答案．
【详解】解：根据圆周角定理，可得：
，
故答案为：．
11．或
【分析】本题主要考查了求抛物线与轴的交点坐标，轴对称的性质，二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键．
首先根据轴对称的性质求出点的坐标，然后运用数形结合思想即可得出答案．
【详解】解：抛物线的对称轴为，
根据轴对称的性质，点的横坐标，
，
不等式的解为或，
故答案为：或．
12．
【分析】作轴于H，由题可得，即可求出和，由第二象限点的特征横坐标为负数纵坐标为正数即可
【详解】解：如图，作轴于H．
由题意：，
∴，
∴， ，
∴，
∴ ．
【点睛】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
13．①③④
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是二次函数性质的应用．根据表格中的数据可判断①；根据当和的函数值相同，可求出对称轴，即可判断③；根据当时的函数值小于的函数值，可得增减性，即可判断②；利用待定系数法求出函数解析式，进而求出时的函数值，即可判断④．
【详解】解：抛物线经过点，
该抛物线图象经过原点，故①正确；
当和的函数值相同，
对称轴为直线，即对称轴为轴，故③正确，
当时的函数值小于的函数值，
在对称轴左边，随增大而增大，
图象开口向下，故②错误；
设抛物线解析式为，
把，代入中得：，
，
抛物线解析式为，
当时，，
图象经过点，故④正确；
故答案为：①③④．
14．10
【分析】先根据切线长定理得到，，平分，平分，再证明，然后利用勾股定理计算出BC即可．
【详解】解：，，分别与相切于点、、三点，
，，平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查切线长定理，切线的性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键．
15．
【分析】本题主要考查了不等式的性质，配方法的应用，解一元一次方程等知识点，对原不等式进行适当变形并利用完全平方数的非负性是解题的关键．
利用已知条件将原不等式化为，于是可得，利用完全平方数的非负性可得，于是得解．
【详解】解：不等式可化为，
，
，
不等式可化为，
当时，不等式恒成立，
即：，
，
当且仅当，即时取等号，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】以为边向下作等边，连接，易证得，于是可得，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小，此时，利用勾股定理解直角三角形求出即可解决问题．
【详解】解：如图，以为边向下作等边，连接，
是等边三角形，
，，
由旋转的性质可知：，，
，
即：，
，
在和中，
，
，
，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小，
此时，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，平行四边形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，巧妙添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）将方程左边进行因式分解，即可解答；
（2）将方程左边利用平方差公式进行因式分解，即可解答．
【详解】（1）解：，
，
或，
解得，；
（2）解：，
，
，
，
或，
解得，；
18．(1)见解析
(2)①，②，③过半径的外端点并垂直于半径的直线是圆的切线
【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
（1）根据垂线的基本作图，作图即可．
（2）根据切线的判定证明即可．
【详解】（1）根据垂线的基本作图，作图如下：
直线即为所求．
（2）证明：连接，．
，，
垂直平分，．
．
．
．
是的切线，为切点，
．
．
．
于点．
是的半径，
是的切线（过半径的外端点并垂直于半径的直线是圆的切线）．
故答案为：①，②，③过半径的外端点并垂直于半径的直线是圆的切线．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得：，，从而得到，证明得出，从而得到；
（2）由（1）可知，，得到，由勾股定理可得，从而得出，最后由勾股定理进行计算即可．
【详解】（1）解：是等腰直角三角形，
，
由旋转的性质可得：，，
，即，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理．
20．(1)，
(2)每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元；
(3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见解析
【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件列出代数式即可解答；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答；
（3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再根据根与系数的关系即可解答．
【详解】（1）解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元．
故答案为：，．
（2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵需要让利于顾客，
∴．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．
（3）解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴此方程无解，即不可能每天盈利1800元．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系．
（1）当方程有两个不相等的实数根时，，列式计算出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入，再根据的取值确定m的值．
【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
则当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）∵
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵方程两实根 ，
∴，
∴，
∴．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了轴对称和旋转作图，以及勾股定理的逆定理，根据题意作出正确的图形是解题关键.
（1）根据要求即可完成作图；
（2）根据题意可推出是直角三角形，即可求解；
【详解】（1）解：如图所示：线段，即为所求
（2）
解：由题意得：，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
23．(1)
(2)见解析
(3)或；
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，解题的关键是画出函数图象，观察函数图象看出或的取值范围．
（1）把点与代入求解即可；
（2）利用描点法画出图象即可；
（3）由二次函数的图象结合二次函数的性质求发即可．
【详解】（1）解：把点与代入，
，
解得：，，
二次函数的解析式为．
（2）解：列表：
描点、连线：
（3）解：由图象可知，当时，的取值范围是或，
当时，．
所以当时，的取值范围是，
故答案为：或；．
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据角平分线的定义得到，根据弧与圆心角的关系可得，根据垂径定理可得，根据平行线的判定定理可得；
（2）易证得，根据相似三角形的性质得到，设，，根据三角形的中位线定理可求得，根据切线的性质得到，然后可证得，根据相似三角形的性质可得到关于的一元二次方程，解之，即可求出半径的长．
【详解】（1）证明：如图，连接交于，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
设，，
，且，
，
又，
，
是的切线，
，
，
又，
，
，
，
解得：或（不合题意，故舍去），
，
半径的长为．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，垂线的性质，角平分线的定义，弧与圆心角的关系，垂径定理，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，三线合一，三角形的中位线定理，切线的性质，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握垂径定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25．(1)
(2)图见解析
(3)，；
【分析】本题主要考查了观察表格从中获取信息，用描点法画函数图象，从函数图象中获取信息等知识点，弄懂题意，理解纵轴和横轴表示的意义，并能用数形结合的方法从中得到所需信息是解题的关键．
（1）不使用营养素，即时，的值；
（2）描点，连线即可；
（3）看的最高点对应的的值即为该种幼苗生长速度最快时所需要的营养素用量的毫克数，看此时的值即为温度下该种幼苗生长速度比温度下该种幼苗生长速度快多少毫米天；看、同时时，所对应的自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：由表格可知：
当不使用营养素，即时，对应的值为，
即此时该种幼苗的生长速度为毫米天，
故答案为：；
（2）解：描点，用平滑的曲线连接，得到的函数图象如下：
（3）解：在温度下，直线与的交点为的最高点，此时该种幼苗生长速度最快，其所对应的营养素用量约为毫克；此时，直线与的交点比直线与的交点高约，表明温度下该种幼苗生长速度比温度下该种幼苗生长速度快毫米天，
故答案为：，；
当该种幼苗的生长速度在和温度下均不低于毫米天时，图象为直线及直线以上的部分，此时对应的自变量的取值范围为，
故答案为：．
26．(1)直线
(2)或
【分析】（1）将抛物线化成顶点式即可求得其对称轴；
（2）分两种情况讨论：当时；当时；根据二次函数的增减性得到关于的不等式组，解之，即可求出的取值范围．
【详解】（1）解：，
抛物线的对称轴为直线；
（2）解：分两种情况：
当时，
如图，此时，抛物线开口向上，点在对称轴左侧，
设点的对称点的坐标为
由轴对称的性质可知，
，
，
，
，
，
或，
即：或，
解得：或（与相矛盾，故舍去）；
当时，
如图，此时，抛物线开口向下，
分两种情况：
（1）当点在对称轴左侧时，
设点的对称点的坐标为
由轴对称的性质可知，
，
，
，
，
，
，
即：，
解得：；
（2）当点在对称轴右侧时，
设点的对称点的坐标为
由轴对称的性质可知，
，
，
，
，
，
，
即：，
该不等式组无解；
综上所述，的取值范围为：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键．
27．(1)见详解
(2)，理由见详解
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点；
（2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出．
【详解】（1）证明：连接，

由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点；
（2）解：，
在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，

∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
28．(1)图见解析
(2)，
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）将表中数据完善后，描点即可；
（2）由表格即可求解；
（3）由表格即可求解；
（4）先求出从开始向外排水到停止注水时关于的函数表达式，再求出排水的速度，利用时的水位高度和排水速度即可求出时的水位高度，进而可求出停止注水后关于的函数表达式，将二者联立，可得二元一次方程组，解之，即可求得停止注水时的值；
（5）先求出水位高度为时排完水所需要的时间，进而得出答案．
【详解】（1）解：完善数据后，在直角坐标系中描出表中各组已知对应值为坐标的点如下：
（2）解：由表格可知：
当时，杯中水位最高，最高水位为，
故答案为：，；
（3）解：由表格可知：
自动排水前，每经过秒钟，水位上升，
即杯中水位上升的速度为，
故答案为：；
（4）解：设从开始向外排水到停止注水，关于的函数表达式为，
把，代入，得：
，
解得：，
，
由表格可知：排水的速度为：
（），
当时，，
当时，，
设停止注水后，关于的函数表达式为，
把，代入，得：
，
解得：，
，
可得方程组
，
解得：，
时，停止注水；
（5）解：由（4）可知，时停止注水，此时的水位高度为，
从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时：
（），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，坐标系中描点，观察表格从中获取信息，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，有理数四则混合运算等知识点，观察表格并从中获取正确信息是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
13

答案
D
C
D
D
A
D
C
C
①③④

0
1
2
3
4
3
0
0