北京市第四中学2024-—2025学年上学期10月月考九年级数学试题

这是一份北京市第四中学2024-—2025学年上学期10月月考九年级数学试题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．一元二次方程的解为（ ）
A．B．C．，D．，
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36B．C．9D．
4．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是（ ）

A．x＜3B．x＞﹣1C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1 或 x＞3
6．已知AB=10cm， 以AB为直径作圆，那么在此圆上到AB的距离等于5cm的点共有( ).
A．无数个
B．1个
C．2个
D．4个
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，下列结论正确的是（ ）
A．a＞0B．b＝2aC．b2＜4acD．8a+c＜0
8．若二次函数的图像与轴有两个交点，坐标分别为，，且，图像上有一点在轴下方，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则点的坐标为 ．
10．如图，已知的半径，弦的弦心距，那么 ．

11．若m是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式6m﹣3m2＋2的值是 ．
12．若抛物线y＝﹣2x+m与x轴的一个交点是（﹣2，0），则另一交点坐标是 ．
13．如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．

14．平面上一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为 ．
15．二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．

16．如图，一条抛物线与x轴相交于M，N点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段上移动，点A，B的坐标分别为，，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为 ．

三、解答题
17．用适当的方法解方程
(1)
(2)．
18．如图所示，在中，直径弦，为垂足，，，求的半径.
19．已知二次函数．
(1)填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(2)结合函数图象，直接写出方程的近似解（精确到0.1）．
20．已知关于的方程．
求证：无论取任何实数时，方程总有实数根；
当抛物线（为正整数）图象与轴两个交点的横坐标均为整数，求此抛物线的解析式；
(3)已知抛物线恒过定点，求出定点坐标．
21．已知：二次函数的图象与轴交于A，两点，其中A点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值；
(3)若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点坐标．
22．掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度(单位：m)与水平距离(单位：m)近似满足函数关系．某位同学进行了两次投掷．
(1)第一次投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
(2)第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离近似满足函数关系．记实心球第一次着地点到原点的距离为，第二次着地点到原点的距离为，则_____ (填“＞”“＝”或“＜”)．
23．阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如
∵，
∴，
因此，代数式有最小值
根据以上材料，解决下列问题：
(1)代数式的最小值为 ；
(2)试比较与的大小关系，并说明理由；
(3)已知：，求代数式的值．
24．在平面直角坐标系中，，和是抛物线上三个不同的点．
(1)当，时，求抛物线对称轴，以及，之间的等量关系；
(2)当时，若对于任意的，都有，求的取值范围．
25．如图，正方形中，点，分别在边，上，，，交于点．
(1)在线段上截取，连接，的角平分线交于点．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系，并证明；
(2)在（1）条件下，若正方形边长为1，求线段的最小值．
26．【阅读材料】
抛物线上的任意一点都具有如下性质：抛物线上任意一点到抛物线对称轴上一点的距离和到垂直于抛物线对称轴的一条直线的距离相等．
例如：已知抛物线，点，直线，抛物线上一点．
作于点，连结．
则，．
点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线．
抛物线上两点连成的线段叫做抛物线的弦，过焦点的弦叫做焦点弦．与抛物线对称轴垂直的焦点弦叫做通径．
【解决问题】
请你仿照中的方法，解决以下问题：
(1)已知抛物线，焦点，请计算出准线的解析式；
(2)已知抛物线，准线，请计算出焦点坐标；
(3)综合以上几问的结果，请直接写出抛物线的焦点坐标与准线解析式（用含的式子表示）
…
0
1
…
…
…
水平距离x/m
0
2
4
6
8
10
竖直距离y/m
参考答案：
1．D
【分析】根据因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
即，，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程．注意用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根.需通过移项，将方程右边化为0.
2．A
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．根据抛物线的顶点解析式写出顶点坐标即可．
【详解】解：顶点式顶点坐标是，
抛物线的顶点坐标是，
故选：A．
3．C
【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根
∴
解得
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与的关系，关键是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
4．C
【分析】本题考查二次函数值大小判断，根据轴对称将点转换到对称轴同一侧，结合二次函数的性质判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
抛物线的对称轴为，
∴关于的对称点为：，
∵，，
∴在对称轴右侧y随x增大而减小，
∴，
故选：A．
5．C
【分析】根据函数图象中的数据，可以得到该函数的对称轴和与x轴的一个交点，从而可以得到另一个交点坐标，然后再根据函数图象即可得到当y＞0时，x的取值范围．
【详解】解：由函数图象可知，
该函数的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（3，0）．
则该函数与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
故当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
6．C
【详解】试题分析：以AB为直径作圆的话，圆的半径是5cm,所以圆上到AB距离等于5cm的点有两个，就是垂直于AB的直径的两个端点.故选C.
7．D
【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0；利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a；利用抛物线与x轴有2个交点得到△＝b2﹣4ac＞0；利用x＝﹣2时4a﹣2b+c＜0，把b＝﹣2a代入得8a+c＜0，然后对各选项进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，所以A选项错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，所以B选项错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，所以C选项错误；
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，
把b＝﹣2a代入得8a+c＜0，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
8．D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线与x轴有两个不同的交点，分和两种情况讨论即可得到答案．
【详解】解：当时，
∵二次函数的图像与轴有两个交点，坐标分别为，，且，图像上有一点在轴下方，
∴，此时，，
当时，
∵二次函数的图像与轴有两个交点，坐标分别为，，且，图像上有一点在轴下方，
∴或，
此时，，
综上所述：恒成立，
故选：D．
9．
【分析】本题考查二次函数的图像与坐标轴的交点问题，根据轴上点代入求解即可得到答案；
【详解】解：当时，
，
∴，
故答案为：．
10．8
【分析】本题考查垂径定理，根据弦心距得到，即可得到，结合勾股定理求解即可得到答案；
【详解】解：∵弦的弦心距，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：8．
11．-1
【分析】把m代入方程，整体求值即可．
【详解】解：m是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的解，
则m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣2m＝1，
﹣3m2+6m＝-3，
6m﹣3m2＋2=-3+2=-1，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，解题关键是明确一元二次方程解的意义，树立整体思想，代入求值．
12．（4，0）
【分析】先求得对称轴为直线，设另一交点为，根据对称性，求出的值即可．
【详解】解：∵抛物线y＝﹣2x+m与x轴的一个交点是（﹣2，0），对称轴为直线，
设另一交点为，
∴，
解得，
∴另一交点坐标是（4，0）．
故答案为：（4，0）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求得对称轴是解题的关键．
13．
【分析】找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的x的值即可．
【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数与二次函数图象交点问题，利用交点求不等式的解集，解答本题的关键是熟练掌握图象在下方的部分对应的函数值较小．
14．4或2cm
【分析】当点在圆外时，最长距离-最短距离=直径，当点在圆内时，最长距离+最短距离=直径，即可求解..
【详解】解：(1)当点在圆外时，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则圆的直径为4cm，那么半径为2cm.
(2)当点在圆内时，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则圆的直径为8cm，那么半径为4cm.
故答案为4或2.
【点睛】本题考查点到圆的距离与直径的关系及直径的一半是半径.，熟悉掌握即可.
15．
【分析】根据题意可得，二次函数的图象与直线有交点，由图象求出的取值范围即可．
【详解】解：一元二次方程有实数根，则二次函数的图象与直线有交点，由图象得， ，
故答案为：．
【点睛】此题考查了抛物线与横线的交点，解题的关键是用函数图象来处理方程根的问题．
16．
【分析】根据顶点P在线段上移动，又知点A、B的坐标分别为，，分别求出对称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．
【详解】解：根据题意知，
点N的横坐标的最大值为4，此时对称轴过点B，点N的坐标为，此时的M点坐标为，
当对称轴过点A时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为，M点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）对左边进行因式分解，化为的形式，即可求解；
（2）对左边进行因式分解，化为的形式，即可求解；
能根据方程的不同形式选择恰当的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：，
或，
，；
（2）解：，
，
或，
，．
18．的半径为6.5.
【分析】连接OC，根据勾股定理即可求出OC的长．
【详解】连接OC，如图，
∵AB⊥CD，
∴△OCE是直角三角形，
设OC=x，则由勾股定理得，
整理得，8x=52，
解得x=6.5，
即⊙O的半径为6.5．
【点睛】本题考查了对垂径定理和勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．
19．(1)见详解；
(2)，；
【分析】（1）本题考查画二次函数图像，根据函数解析式求出点，描点连线即可得到答案；
（2）本体考查求一元二次方程的解，先解一元二次方程，再四舍五入求解即可得到答案；
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
描点得如图所示，
（2）解：解得，
，．
20．证明见解析 ；(3) 、
【分析】（1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式△≥0，方程总有实数根；
（2）通过解kx2+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到该抛物线解析式为y=x2+3x+2，结合图象回答问题．
（3）根据题意得到kx2+（2k+1）x+2-y=0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．
【详解】证明：①当时，方程为，所以，方程有实数根，
②当时，∵，即，
∴无论取任何实数时，方程总有实数根；
解：令，则，
解关于的一元二次方程，得，，
∵二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为整数，且为正整数，
∴k=1．
∴该抛物线解析式为；
(3)依题意得恒成立，即恒成立，
则，
解得或．
所以该抛物线恒过定点、．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征，解答（1）题时要注意分类讨论．
21．(1)；
(2)的最小值为：；
(3)，；
【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数对称性最短距离和问题及三角形面积问题，解题的关键是先求出解析式，熟练掌握轴对称最短距离和问题．
（1）将点，点代入求解即可得到答案；
（2）根据对称性得到点A关于对称轴的对称点B的坐标，连接交对称轴即为点，此时距离和最小，根据两点间距离公式求解即可得到答案；
（3）设点，根据面积列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：将点，点代入得，
，解得：，
∴；
（2）解：当时，，
解得：，，
∴，
由抛物线的对称性得，连接交对称轴即为点，此时距离和最小，
∵A，B关于对称轴对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为：；
（3）解：设点，
∵三角形的面积为，
∴，
解得：，，
∴，；
22．(1)，
(2)＞
【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值，并利用待定系数法得到抛物线解析式；
（2）设着陆点的纵坐标为0，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标即为 和，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为，
所以实心球竖直高度的最大值为，
设抛物线的解析式为：，
将点代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：第一次抛物线解析式为，
令，得到，（负值舍去），
第二次抛物线的解析式为，
令，得到，（负值舍去）
，
，
故答案为：>
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
23．(1)1
(2)，见解析
(3)2
【分析】（1）将代数式配方可得最值；
（2）作差并配方，可进行大小比较；
（3）变形后得：代入中，再利用配方法即可解决问题．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
即代数式的最小值为1；
故答案为：1；
（2），理由如下：
，
∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用配方法可以确定最值问题，属于中考常考题型．
24．(1)对称轴为直线，
(2)或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解一元一次不等式，熟练掌握二次函数的对称性，增减性是解题的关键．
（1）根据二次函数的对称轴公式即可得对称轴，再利用对称性求解即可；
（2）利用抛物线开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，得出，则要使恒成立，则只需且即可，再利用开口向上，到对称轴距离越近函数值越小，即可列式求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，
∵，，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，
∴，且到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，
∵对于任意的，都有，
利用开口向上，到对称轴距离越近函数值越小，
得，
解得：或．
25．(1)①见解析；②．证明见解析；
(2)．
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②过点A作，交延长线于点H，连接，证明，则，得到，则，再证明，得到，证明，即可得到；
（2）连接，可得，作的外接圆，记为，连接，则，在中，求得，，过点作的垂线，交延长线于点，则为等腰直角三角形，同上可得：，在中，由勾股定理得：，由，知当点三点共线时，取得最小值为，即．
【详解】（1）解：①根据题意补全图形如图所示：
②．
证明：过点A作，交延长线于点H，连接，
∵四边形为正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解： 连接，
由（1）知，，
∴，
∴，
作的外接圆，记为，连接，
∴，
在中，由，
得，
∴，
过点作的垂线，交延长线于点，
∵，，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴同上可得：，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴当点三点共线时，取得最小值为，
∴．
【点睛】此题考查了圆周角定理，正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
26．(1)准线的解析式；
(2)焦点坐标；
(3)抛物线的焦点坐标与准线解析式．
【分析】（）根据题意，结合抛物线的性质，两点间的距离，完全平方公式即可求解；
（）根据题意，结合抛物线的性质，两点间的距离，完全平方公式即可求解；
（）根据题意（）（）进行归纳即可；
本题考查了二次函数的图象与性质，两点间的距离，完全平方公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，设，准线的解析式，
作于点，连接，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴准线的解析式；
（2）解：设，焦点坐标，
∵准线的解析式，
如图，
作于点，连接，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴焦点坐标；
（3）综合以上几问的结果，
∵抛物线，焦点，准线的解析式；
抛物线，焦点，准线的解析式；
∴抛物线的焦点坐标与准线解析式．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
A
C
C
C
C
D
D


…
0
1
…
…
2
3
2
…