吉林省长春市东北师大附中新城校区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

这是一份吉林省长春市东北师大附中新城校区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．一元二次方程的较小的根是（ ）
A．B．
C．或D．或
2．一元二次方程根的判别式的值为（ ）
A．B．14C．13D．
3．下列式子中运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．计算的结果为（ ）
A．B．C．D．3
5．将抛物线向下平移1个单位后所得的对应抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ）
A．12B．18C．20D．50
7．如图，在4×4正方形网格中，点A、B、C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象的对称轴是直线，且经过点．则下列结论正确的为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
9．计算的结果是 ．
10．抛物线与轴的交点坐标为 ．
11．如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是 m．
12．如图，在中，，点是边上的一点，点是的中点，连结．若点在边的垂直平分线上，且，则的长为 ．
13．现要在一个长为35m，宽为22m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为625m²，设小道的宽为xm，则根据题意，可列方程为 ．
14．如图，在中，，，是边上的高，点在边上，连结，交于点，过点作于点，连结．给出下面四个结论：
①；
②；
③若是的中点，在不添加辅助线和其它字母的前提下，与相似的三角形共有6个；
④若，则．
上述结论中，正确结论的序号是 ．
三、解答题
15．计算：．
16．解方程x2﹣4x+1=0．
17．某商场购进一批台灯，9月销售400个，10月和11月这种台灯销售量持续增加，11月的销售量达到576个，设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率不变．求10月和11月这两个月的销售量月平均增长率．
18．如图，线段、分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，求乙建筑物的高．（结果精确到）
（参考数据：，，）
19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且．
(2)在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且．
(3)在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为．
20．如图，在中，，为边上的中线，于点．
(1)求证：．
(2)若，，求线段的长．
21．如图，抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，作直线，点是抛物线在直线上方的一点，过点作轴于点，交直线于点．设长为，点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求与之间的函数关系式．
(3)当时，直接写出的值．
22．如图，在中，，，．将一块直角三角板中角的顶点D放在AB边上移动，使角的两边分别与的边相交于点E、F，且使始终与垂直．
【感知】如图①，若点F与点C重合，则的长为__________；
【探究】如图②，若移动点D，使，求的长；
【拓展】如图③，延长交直角三角板的最短边所在的直线于点G，连接，若，则的最小值为__________．
23．如图，在中，，，．点在边上，过点作交折线于点．点为上一点，且，以为边向其右侧作正方形．
(1)当点与点重合时，的长为__________．
(2)当点在边上时，求正方形边长．
(3)当点是直角边的中点时，求的长．
(4)设正边形的边与边的交点为，当点将边分成两部分时，直接写出长的取值范围．
24．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线．点是此抛物线上的点，其横坐标为，连结，取的中点，过点作轴的平行线交此抛物线于点，连接、．
(1)求此抛物线对应的函数解析式．
(2)当抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象对应的函数值随的增大而增大时，求的取值范围．
(3)当点的纵坐标为1时，求点的坐标．
(4)当的边与轴平行时，直接写出此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点纵坐标的差．
参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握用因式分解法解一元二次方程，是解题的关键．
用因式分解法求出该方程的解，即得．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∴较小的根是．
故选：A．
2．C
【分析】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
直接利用一元二次方程根的判别式求出答案．
【详解】解：∵，
，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的加法运算，根据二次根式的性质，合并同类二次根式，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，原选项运算错误，不符合题意；
B、，原选项运算正确，符合题意；
C、，不能合并，原选项运算错误，不符合题意；
D、，原选项运算错误，不符合题意；
故选B．
4．D
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、乘方，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键；
根据特殊角三角函数值进行计算即可．
【详解】，
，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”，据此即可解答．
【详解】解：将抛物线向下平移1个单位后所得的对应抛物线的解析式为．
故选：A．
6．C
【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为：，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案．
【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．
7．D
【分析】连接AC后，利用勾股定理求出所需的线段长度即可．
【详解】解：如图，连接AC
在Rt△BEC中，BC=
∵AD⊥BC，
∴×BC×AD=8，
即 ，
解得 ，
在Rt△ADB中， ，

故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数值的求解，能够构造直角三角形并用勾股定理求出线段长度是解题关键．
8．D
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式之间的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．根据二次函数开口向下，与轴交于正半轴，得到，，再由二次函数对称轴为直线，得到，由此即可判断选项A、B；当时，，由此即可判断选项C；求出二次函数与轴的另一个交点坐标为，即可判断选项D．
【详解】解：二次函数开口向上，与轴交于负半轴，
，，
二次函数对称轴为直线，
，
，
，故A、B结论错误，不符合题意；
当时，，
，故C结论错误，不符合题意；
二次函数经过点，对称轴为直线，
二次函数与轴的另一个交点坐标为，
当时，，
故D结论正确，符合题意
故选D．
9．
【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，熟知二次根式的除法运算法则是解答此题的关键．
利用二次根式的除法运算法则计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
10．
【分析】本题主要查了抛物线与轴的交点坐标．令，求出函数值即可解答．
【详解】解：当时，，
∴抛物线与轴的交点坐标为．
故答案为：
11．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
根据题意可得：，，，从而可得，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴路灯的高度是,
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，先根据线段垂直平分线的性质得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案
【详解】∵点在的垂直平分线上，
∴，
∵，点是的中点，
∴
故答案为：
13．
【分析】设小道的宽为x m，则种植花草的部分可合成长（35-2x）m，宽（22-x）m的矩形，根据种植花草的面积为625m2，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：设小道的宽为x m，则种植花草的部分可合成长（35-2x）m，宽（22-x）m的矩形，
依题意得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．
【分析】根据“两角相等的两个三角形相似”说明①；取的中点O，连接，由直角三角形的性质可知，可得点D，F在以为直径的圆上，然后根据同弧所对圆周角相等得出，即可判断②；先根据是的垂直平分线可得，进而得出，即可得出与相似的三角形，并判断③；根据，令，可得，再根据勾股定理求出，然后根据（1）知，即可求出，进而得出，再根据求出，接下来由勾股定理求出，，可说明④．
【详解】∵，
∴，
所以①正确；
取的中点O，连接，
在和中，
∴，可得点D，F在以为直径的圆上，
∵，是高线，
∴，
所以②正确；
∵点F是的中点，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴．
∵，
∴；
∵，
∴．
∵，
∴，；
∵，
∴．
∵，
∴．
所以与相似的三角形有4个，所以③不正确；
在中，，
令，
∵，
∴
根据勾股定理，得，
由上述可知，
令，
根据勾股定理，得，
即，
解得，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
根据勾股定理求出，，
∴，
∴．
所以④正确．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质，同弧所对的圆周角相等，正切，勾股定理，构造相似三角形是解题的关键．
15．
【分析】本题考查二次根式的加减运算，先根据二次根式的性质化简各数，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式．
16．x1=2+，x2=2-.
【分析】根据完全平方公式和配方法解出方程即可．
【详解】解：移项得，x2﹣4x=﹣1，
配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4，
∴（x﹣2）2=3，
∴x﹣2=±，
∴x1=2+，x2=2-.
17．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，记住增长率公式是解题的关键．
根据增长（降低）率公式，可列出式子．
【详解】解：设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为x，根据题意得：
，
解得：（舍去），
答：10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为．
18．乙建筑物的高为
【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形的实际应用：仰角俯角问题，解题的关键是掌握以上知识点．
根据四边形是矩形，由矩形的性质得，在中，由的正切函数可求出的长，进而根据即可算出答案．
【详解】解：过点A作，
由题意得：四边形是矩形，
，
，
在中，，
，
答：乙建筑物的高为．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查格点图中画相似三角形：
（1）取格点R，T，连接交于点D，取与网格线的交点E，连接，即可求解；
（2）取格点P，Q，连接交于点G，取与网格线的交点F，连接，即可求解；
（3）取格点L，K，连接交于点M，取与网格线的交点N，连接，即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，即为所求；
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据三线合一的性质，得出，再根据垂直的定义，得出，再根据等边对等角，得出，再根据相似三角形的判定定理，即可得出结论；
（2）根据中线的性质，得出，再根据相似三角形的性质，得出，然后代入数据计算，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵，为边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴；
（2）解： ∵为边上的中线，，
∵，
∵，，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查了三线合一的性质、垂直的定义、等边对等角、相似三角形的判定与性质，解题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
21．(1)；
(2)；
(3)的值为．
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数求解析式和二次函数求解析式及二次函数图象和性质．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线的解析式，用m表示出，，利用求解即可；
（3）先求得，利用，列得一元二次方程，解之取其负值即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于，与轴交于点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点的横坐标为，
∴，，
∴；
（3）解：令，则，
解得或，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，
解得（舍去正值），
∴的值为．
22．【感知】；【探究】；【拓展】
【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、勾股定理、含的直角三角形的性质等知识．
（1）根据垂直的定义求出，根据直角三角形的性质得到，即可证明是等边三角形，根据含的直角三角形的性质求出，根据等边三角形的性质求出，从而得,进而根据勾股定理计算即可求解；
（2）根据平行线的性质得到，根据含的直角三角形的性质、等边三角形的性质计算，得到答案；
（3）先求出，由，得到，则，由得到当且仅当三点共线时，取得最小值，即为的长，进一步利用勾股定理和含的直角三角形的性质求出即可．
【详解】感知：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
在中，，
∴，，
∴，
∵，
∴设，则，
∴ ，解得：，
∴；
故答案为：
探究：∵，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵
∴，，，
∴．
拓展：∵，．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴当且仅当三点共线时，取得最小值，即为的长，
此时，
∵，
∴
∴，
即的最小值为．
故答案为：
23．(1)
(2)
(3)或
(4)或
【分析】（1）首先根据勾股定理解得，当点与点重合时，利用面积法解得的值，然后在中，利用勾股定理计算的值即可；
（2）过点作于点，交于点，易知四边形为正方形，设，则，证明，利用相似三角形的性质解得的值，即可获得答案；
（3）当点是直角边的中点时，易知，利用三角函数可解得的值；当点是直角边的中点时，则有，利用三角函数可解得的值，然后计算的值即可；
（4）分两种情况讨论：当点在上时，延长交于点，设与交于点，设，则，可推导此时仅有，利用三角形函数解得的值，即可求得的值；当点在上时，结合三角形函数可得，即当点在上时，点将边分成两部分，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
如下图，
当点与点重合时，
∵，
∴，即，
解得，
∴在中，可有．
故答案为：；
（2）如下图，过点作于点，交于点，
由（1）可知，，
∵四边形为正方形，
∴，，
设，则，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，即正方形边长为；
（3）当点是直角边的中点时，如下图，
则，
∵，
∴；
当点是直角边的中点时，如下图，
则，
∵，
∴，
∴．
综上所述，的长为或；
（4）当点在上时，如下图，延长交于点，设与交于点，
设，则，
此时，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
故此时可有，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，
∴；
当点在上时，如下图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即当点在上时，点将边分成两部分，
此时．
综上所述，长的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识，解题关键是结合题意作出图形，并灵活运用分类讨论的思想分析问题．
24．(1)
(2)
(3)或
(4)1或
【分析】（1）根据点及抛物线的对称轴可进行求解；
（2）由题意和抛物线的对称轴和增减性即可求解；
（3）根据点的纵坐标为1，算出横坐标，即可求解；
（4）由题意可分①当轴时，②当轴时，③当轴时，分别进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
∴该抛物线对应的函数关系式为；
（2）解：∵点的横坐标为为的中点，
∴点的横坐标为，
∵过点作轴的平行线交此抛物线于点，
∴点的横坐标为，
∴点、点都在对称轴的右侧时，即时，抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象对应的函数值随的增大而增大；
（3）解：当点的纵坐标为1时，
∵点的横坐标为为的中点，点的横坐标为，
∴，
解得：或，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
综上，或．
（4）解：根据题意可得抛物线的函数关系式为，
故顶点坐标为，
①当轴时，点关于对称轴直线对称，
此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点是两点，纵坐标是，
此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最低点是顶点，纵坐标是，
故此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为；
②当轴时，点关于对称轴直线对称，
∴点的坐标为，
此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点是点，纵坐标是，
此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最低点是，纵坐标是，
故此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为；
③当轴时，点关于对称轴直线对称，
点的坐标为，点的坐标为，
∴，
解得：或0（舍去），
∴点的坐标为，
此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点是点，纵坐标是，
此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最低点是，纵坐标是，
故此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为；
综上，此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为1或．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
A
C
B
D
A
C
D
D