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广东省深圳市宝安第一外国语学校 2024-2025学年九年级上学期第一次调研数学试题
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这是一份广东省深圳市宝安第一外国语学校 2024-2025学年九年级上学期第一次调研数学试题，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如果,那么等于 ( )
A．B．C．D．
2．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得到的四边形是矩形，则四边形ABCD一定满足（ ）
A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．对角线相等且互相平分
3．2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法可判断（）
A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误
5．已知等腰三角形中，的长是关于的方程的两个实数根， 则的值为（ ）
A．25B．14C．25 或 16D．25或14
6．下列说法中不正确的是（ ）
A．两个全等三角形的相似比为
B．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
C．有一个角等于100度的两个等腰三角形相似
D．对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
7．如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．已知，则的值为 ．
10．在一个不透明的袋子里装有若干个红球和12个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同， 每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的 频率稳定在，则袋中红球有 个 ．
11．如图，四边形是菱形，对角线与BD相交于，菱形的周长是，．则菱形的高DE的长为 ．
12．某网店销售医用外科口罩，每盒售价元，每星期可卖盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖盒．已知该款口罩每盒成本价为40元，若该网店某星期获得了元的利润，且尽快减少库存，那么该网店这星期销售该款口罩 盒．
13．如图，RtABC中，∠C＝90°，D是斜边AB的中点．E为BC边上一点，且满足∠CED＝∠A．已知CE＝13，BE＝5．则AB的长为 ．
三、解答题
14．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
15．在某次数学活动中，有两个如图所示的转盘、，转盘被分成四个相同的扇形，分别标有数字、、、，转盘被分成三个相同的扇形，分别标有数字、、，指针固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）．
(1)若单独自由转动盘，当它停止时，指针指向奇数区的概率是______；
(2)小滨自由转动盘，小河自由转动盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之和为的倍数的概率．
16．如图，小正方形的边长均为1，
(1)则下列选项中，网格中的三角形与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
(2)在网格内画一个（E、F均在格点上）使得与相似比为2：1
17．如图，有长为30米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度a=10米）．设花圃的一边AB长为x米，面积为y平方米．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）如果所围成的花圃的面积为63平方米，试求宽AB的长；
（3）按题目的设计要求， （填“能”或“不能”）围成面积为80平方米的花圃．
18．把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为．
(1)连接，求证：四边形是菱形．
(2)若，，求线段和的长．
19．【提出问题】在上次周测应用题中，出现了两个方程，很多同学解不出来
①②
【问题探究】李老师发现有这样一种解法，很适合解此类方程
如：解方程．
解：原方程可变形，得．，，．
直接开平方并整理，得，．
我们称这种解法为“平均数法”．
(1)下面是用“平均数法”解方程时写的解题过程
解：原方程可变形，得
．
，．
直接开平方并整理，得，．
上述过程中的“▱”，“○”，“☆”，“”表示的数分别为______，______，______，______．
(2)【牛刀小试】请用“平均数法”解方程：．
(3)【问题解决】请用“平均数法”解方程：
①
②
20．学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程．
【定义】四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形．
【初步思考】
（1）小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件．他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例______．所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究．
【深入探究】
（2）学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明．
已知：四边形和四边形中，，．
求证：四边形四边形．证明：
（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；
②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；
③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；
④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”．
其中真命题是______．（填写所有真命题的序号）
（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程．
参考答案：
1．C
【分析】根据等式的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．
【详解】由题意，得
b=．
，
故选C．
【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出b=是解题关键．
2．B
【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
【详解】解：已知：如下图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形，
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
3．B
【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛380场，可列出方程．
【详解】设参赛队伍有x支，根据题意得：
x（x﹣1）=380．
故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．
4．C
【详解】甲和乙的作法都正确：
理由是：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC．
∴∠DAC=∠ACN．
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO=CO．
在△AOM和△CON中，
∵∠MAO=∠NCO，AO=CO，∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴MO=NO．
∴四边形ANCM是平行四边形．
∵AC⊥MN，
∴四边形ANCM是菱形．
如图，
∵AD//BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠4．
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2=∠3，∠5=∠6．
∴∠1=∠3，∠5=∠4．
∴AB=AF，AB=BE．
∴AF=BE．
∵AF//BE，且AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形．
故选C．
5．C
【分析】根据等腰三角形的性质，分类讨论，根据一元二次方程根的定义，以及根的判别式分别计算即可求解．
【详解】解：当或的长为8时，，
∴；
当时，方程有两个相等的实数根，
则Δ=0，
即，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．
6．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的判定，两个全等三角形的对应边相等，则两个全等三角形的相似比为，据此可判断A；相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，据此可判断B；有一个角等于100度的等腰三角形，只能是顶角为100度，故有一个角等于100度的两个等腰三角形相似，据此可判断C；对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，据此可判断D．
【详解】解：A、两个全等三角形的相似比为，原说法正确，不符合题意；
B、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，原说法正确，不符合题意；
C、有一个角等于100度的两个等腰三角形相似，原说法正确，不符合题意；
D、对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，原说法错误，符合题意；
故选：D．
7．C
【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，
∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．
8．B
【分析】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理得到AF===，根据平行线分线段成比例定理得到，OH=AE=，由相似三角形的性质得到=，求得AM=AF=，根据相似三角形的性质得到=，求得AN=AF=，即可得到结论．
【详解】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2．
∵BF=2FC，BC=AD=3，
∴BF=AH=2，FC=HD=1，
∴AF===，
∵OH∥AE，
∴=，
∴OH=AE=，
∴OF=FH﹣OH=2﹣=，
∵AE∥FO，∴△AME∽△FMO，
∴=，∴AM=AF=，
∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，
∴=，
∴AN=AF=，
∴MN=AN﹣AM=﹣=，故选B．
【点睛】构造相似三角形是本题的关键，且求长度问题一般需用到勾股定理来解决，常作垂线
9．
【分析】本题考查了分式求值，熟练掌握“设法”是解题的关键，设比值为，用表示出然后代入分式即可得解．
【详解】解：设，
，
原式．
故答案为：．
10．4
【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是熟练掌握用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
设袋中红球有x个，根据题意用黄球数除以红球和黄球的总数等于黄球的频率列出等式即可求出答案．
【详解】解：设袋中红球有x个，根据题意，得：
，
解得：．
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
所以袋中红球有4个．
故答案为∶4．
11．
【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．
首先利用勾股定理求得菱形的对角线，然后由菱形的两个面积计算方法求得边上的高的长即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，菱形的周长是，，
∴，，，，
∴在中，，
∴
∴，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程．
根据每降价1元，每星期多卖盒，该网店想一星期获利元，列出一元二次方程，求解即可．
【详解】解：设该网店降价元，
则根据题意可得：，
整理得：，
解得：，
∵尽快减少库存，
∴当降价元时，这星期预期销售盒口罩，
故答案为．
13．
【分析】如图：连接CD、过点D作DF⊥BC，垂足为点F，先说明∠A=∠ACD，进一步得到△CDF∽△DEF，再根据∠C=∠DFE=90°可得DF//AC，即，可求得BF，然后求得EF；再根据△CDF∽△DEF可得，即可求得DF的长，然后再确定AC、BC的长，最后运用勾股定理解答即可．
【详解】解：连接CD，过点D作DF⊥BC，垂足为点F，
∴∠DFE=∠DFC=90°
∵∠C=90°，D是斜边AB的中点，
∴
∴∠A=∠ACD
又∵∠A=∠CED
∴∠ACD=∠CED
∵∠ACB=∠ACD+∠DCE=90°,
∴∠DCE+∠CED=90°
∴∠CDE=90°
∴△CDF∽△DEF
又∵∠C=∠DFE=90°，
∴DF//AC
∴
∴
∴EF=CE-CF=4
又∵△CDF∽△DEF
∴
∴
∴DF=6,
∴AC=2DF=12,
∵BC=CE+BE=13+5=18
∴AB=．
故填．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判断与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，作出辅助线说明△CDF∽△DEF成为解答本题的关键．
14．(1)，；
(2)方程没有实数根，
(3)，
【分析】本题主要考查解一元二次方程：
（1）把移项后两边同时加上1，即可赔偿完全平方式，方程运用配方法求解即可；
（2）方程运用公式法求解即可；
（3）方程移项后，提公因式后，即可运用因式分解法求解．
【详解】（1）解：
，
∴，
∴，；
（2）解：，
这里，，
，
∴方程没有实数根，
（3）解：，
，
，
∴，
15．(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法，
（1）根据概率公式列式计算即可得解；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解；
解题的关键是掌握：概率等于所求情况数与总情况数之比．
【详解】（1）解：∵指针指向、、、区是等可能情况，指针指向奇数区的概率是：，
故答案为：；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有种情况，两数之和为的倍数的情况有种，
∴（两数之和为的倍数），
答：所得两数之和为的倍数的概率为．
16．(1)A
(2)见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定．
（1）由相似三角形的判定，即可判断．
（2）利用同角或对顶角构造相似比为2：1的三角形即可．
【详解】（1）解：图中中，，又，，，因此．很明显，选项B，C，D中，三角形没有的内角，故选项不符合题意；选项A中，钝角等于，夹角的两边之比为，故A网格中的三角形与相似，选项A符合题意．
故选：A．
（2）如图，或为求，
17．（1）y=﹣3x2+30x；（2）AB的长为7米；（3）不能.
【分析】（1）设AB长为x米，则BC长为：（30﹣3x）米，该花圃的面积为：（30﹣3x）x；进而得出函数关系即可；
（2）将y=63代入（1）中所求的函数关系式，得出关于x的一元二次方程，解方程求出符合题意的x的值，即是所求AB的长；
（3）将y=80代入（1）中所求的函数关系式，得出关于x的一元二次方程，利用根的判别式进行判定即可．
【详解】（1）由题意得：
y=x（30﹣3x），即y=﹣3x2+30x；
（2）当y=63时，﹣3x2+30x=63，
解此方程得x1=7，x2=3．
当x=7时，30﹣3x=9＜10，符合题意；
当x=3时，30﹣3x=21＞10，不符合题意，舍去；
故所围成的花圃的面积为63平方米时，宽AB的长为7米；
（3）不能围成面积为80平方米的花圃．
理由：当y=80时，﹣3x2+30x=80，
整理得3x2﹣30x+80=0，
∵△=（﹣30）2﹣4×3×80=﹣60＜0，
∴这个方程无实数根，
∴不能围成面积为80平方米的花圃．
故答案为不能．
【点睛】考查了二次函数和一元二次方程的实际应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式是解题关键．
18．(1)证明过程见解析；
(2)，
【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理以及折叠的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系．
（1）根据是矩形，可得，由，可得，进而可知四边形是平行四边形，再根据折叠的性质得，继而可证得四边形是菱形；
（2）首先设，则，在中，利用勾股定理可求得的长，过点作，先求得的长，再在中，利用勾股定理，即可求得的长．
【详解】（1）证明：如图，由折叠可知，垂直并平分BD，设BD与交于点，
则：，，，
∵四边形是矩形，
∴
∴
在和中：
∴
∴
∴四边形是平行四边形
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）设，则，则
在中，由勾股定理得：
解得：，
∴，
如图，过点作于，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
在中，由勾股定理得：
19．(1)4，2.，-7
(2)，
(3)①，；②，．
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．
（1）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可；
（2）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可；
（3）①先把括号的多项式变号，得到，再利用平均数法结合直接开平方法解一元二次方程；
②先把括号的未知数系数化为相同，再模仿①即可解方程.
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
∴上述过程中的“▱”，“○”，“☆”，“”表示的数分别为4，2.，-7.
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
（3）解：①，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
②
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
20．（1）菱形和正方形；（2）见解析；（3）③；（4）见解析．
【分析】（1）利用正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似可以举出反例；
（2）先判断出△，得出，，，进而得出△，得出，，，即可得出结论；
（3）根据相似多边形的判定方法，一一判断即可；
（4）分两种情况考虑，两边是对边，两边是邻边，根据相似多边形的判定方法即可完成证明．
【详解】（1）解：正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似，
“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例菱形和正方形，
故答案为：菱形和正方形；
（2）证明：连接、，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
即，，
综上，四边形四边形．
（3）解：①如图，四边形四边形，以为圆心、为半径作圆交延长线于点，则，，，但四边形不与四边形相似．
②如图，四边形四边形，以为圆心、为半径作圆交过点且和平行的直线相交于点，过作交于点，则，四边形为平行四边形．则，即，，，
但四边形不与四边形相似．
③已知：如图，四边形和四边形中，，，．
求证：四边形四边形．
证明：连接，．
，且，
△，
，，，
，
，
，
，
△，
，，，
，，，，，
四边形与四边形相似；
④如图，四边形四边形，以为圆心，为半径作圆交于点，在左侧作，则，，，，，但四边形不与四边形相似．
故答案为：③，
（4）解：因为四边形内角和为360°，所以四边形只要三个角分别相等，第四个角就也相等，所以只需考虑成比例的两边是邻边还是对边．
若成比例的两边是对边，则有反例“矩形”．若成比例的两边是邻边，则相似，理由如下：
已知：四边形和四边形中，，，，．
求证：四边形四边形．
证明：∵，，，
∴．
连接、，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
综上，四边形四边形．
【点睛】此题是相似形综合题，考查了相似多边形的判定方法，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形问题转化为三角形问题，属于中考压轴题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
B
C
C
D
C
B
一、单选题
1．如果,那么等于 ( )
A．B．C．D．
2．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得到的四边形是矩形，则四边形ABCD一定满足（ ）
A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．对角线相等且互相平分
3．2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法可判断（）
A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误
5．已知等腰三角形中，的长是关于的方程的两个实数根， 则的值为（ ）
A．25B．14C．25 或 16D．25或14
6．下列说法中不正确的是（ ）
A．两个全等三角形的相似比为
B．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
C．有一个角等于100度的两个等腰三角形相似
D．对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
7．如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．已知，则的值为 ．
10．在一个不透明的袋子里装有若干个红球和12个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同， 每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的 频率稳定在，则袋中红球有 个 ．
11．如图，四边形是菱形，对角线与BD相交于，菱形的周长是，．则菱形的高DE的长为 ．
12．某网店销售医用外科口罩，每盒售价元，每星期可卖盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖盒．已知该款口罩每盒成本价为40元，若该网店某星期获得了元的利润，且尽快减少库存，那么该网店这星期销售该款口罩 盒．
13．如图，RtABC中，∠C＝90°，D是斜边AB的中点．E为BC边上一点，且满足∠CED＝∠A．已知CE＝13，BE＝5．则AB的长为 ．
三、解答题
14．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
15．在某次数学活动中，有两个如图所示的转盘、，转盘被分成四个相同的扇形，分别标有数字、、、，转盘被分成三个相同的扇形，分别标有数字、、，指针固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）．
(1)若单独自由转动盘，当它停止时，指针指向奇数区的概率是______；
(2)小滨自由转动盘，小河自由转动盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之和为的倍数的概率．
16．如图，小正方形的边长均为1，
(1)则下列选项中，网格中的三角形与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
(2)在网格内画一个（E、F均在格点上）使得与相似比为2：1
17．如图，有长为30米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度a=10米）．设花圃的一边AB长为x米，面积为y平方米．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）如果所围成的花圃的面积为63平方米，试求宽AB的长；
（3）按题目的设计要求， （填“能”或“不能”）围成面积为80平方米的花圃．
18．把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为．
(1)连接，求证：四边形是菱形．
(2)若，，求线段和的长．
19．【提出问题】在上次周测应用题中，出现了两个方程，很多同学解不出来
①②
【问题探究】李老师发现有这样一种解法，很适合解此类方程
如：解方程．
解：原方程可变形，得．，，．
直接开平方并整理，得，．
我们称这种解法为“平均数法”．
(1)下面是用“平均数法”解方程时写的解题过程
解：原方程可变形，得
．
，．
直接开平方并整理，得，．
上述过程中的“▱”，“○”，“☆”，“”表示的数分别为______，______，______，______．
(2)【牛刀小试】请用“平均数法”解方程：．
(3)【问题解决】请用“平均数法”解方程：
①
②
20．学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程．
【定义】四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形．
【初步思考】
（1）小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件．他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例______．所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究．
【深入探究】
（2）学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明．
已知：四边形和四边形中，，．
求证：四边形四边形．证明：
（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；
②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；
③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；
④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”．
其中真命题是______．（填写所有真命题的序号）
（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程．
参考答案：
1．C
【分析】根据等式的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．
【详解】由题意，得
b=．
，
故选C．
【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出b=是解题关键．
2．B
【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
【详解】解：已知：如下图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形，
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
3．B
【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛380场，可列出方程．
【详解】设参赛队伍有x支，根据题意得：
x（x﹣1）=380．
故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．
4．C
【详解】甲和乙的作法都正确：
理由是：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC．
∴∠DAC=∠ACN．
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO=CO．
在△AOM和△CON中，
∵∠MAO=∠NCO，AO=CO，∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴MO=NO．
∴四边形ANCM是平行四边形．
∵AC⊥MN，
∴四边形ANCM是菱形．
如图，
∵AD//BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠4．
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2=∠3，∠5=∠6．
∴∠1=∠3，∠5=∠4．
∴AB=AF，AB=BE．
∴AF=BE．
∵AF//BE，且AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形．
故选C．
5．C
【分析】根据等腰三角形的性质，分类讨论，根据一元二次方程根的定义，以及根的判别式分别计算即可求解．
【详解】解：当或的长为8时，，
∴；
当时，方程有两个相等的实数根，
则Δ=0，
即，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．
6．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的判定，两个全等三角形的对应边相等，则两个全等三角形的相似比为，据此可判断A；相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，据此可判断B；有一个角等于100度的等腰三角形，只能是顶角为100度，故有一个角等于100度的两个等腰三角形相似，据此可判断C；对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，据此可判断D．
【详解】解：A、两个全等三角形的相似比为，原说法正确，不符合题意；
B、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，原说法正确，不符合题意；
C、有一个角等于100度的两个等腰三角形相似，原说法正确，不符合题意；
D、对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，原说法错误，符合题意；
故选：D．
7．C
【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，
∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．
8．B
【分析】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理得到AF===，根据平行线分线段成比例定理得到，OH=AE=，由相似三角形的性质得到=，求得AM=AF=，根据相似三角形的性质得到=，求得AN=AF=，即可得到结论．
【详解】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2．
∵BF=2FC，BC=AD=3，
∴BF=AH=2，FC=HD=1，
∴AF===，
∵OH∥AE，
∴=，
∴OH=AE=，
∴OF=FH﹣OH=2﹣=，
∵AE∥FO，∴△AME∽△FMO，
∴=，∴AM=AF=，
∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，
∴=，
∴AN=AF=，
∴MN=AN﹣AM=﹣=，故选B．
【点睛】构造相似三角形是本题的关键，且求长度问题一般需用到勾股定理来解决，常作垂线
9．
【分析】本题考查了分式求值，熟练掌握“设法”是解题的关键，设比值为，用表示出然后代入分式即可得解．
【详解】解：设，
，
原式．
故答案为：．
10．4
【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是熟练掌握用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
设袋中红球有x个，根据题意用黄球数除以红球和黄球的总数等于黄球的频率列出等式即可求出答案．
【详解】解：设袋中红球有x个，根据题意，得：
，
解得：．
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
所以袋中红球有4个．
故答案为∶4．
11．
【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．
首先利用勾股定理求得菱形的对角线，然后由菱形的两个面积计算方法求得边上的高的长即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，菱形的周长是，，
∴，，，，
∴在中，，
∴
∴，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程．
根据每降价1元，每星期多卖盒，该网店想一星期获利元，列出一元二次方程，求解即可．
【详解】解：设该网店降价元，
则根据题意可得：，
整理得：，
解得：，
∵尽快减少库存，
∴当降价元时，这星期预期销售盒口罩，
故答案为．
13．
【分析】如图：连接CD、过点D作DF⊥BC，垂足为点F，先说明∠A=∠ACD，进一步得到△CDF∽△DEF，再根据∠C=∠DFE=90°可得DF//AC，即，可求得BF，然后求得EF；再根据△CDF∽△DEF可得，即可求得DF的长，然后再确定AC、BC的长，最后运用勾股定理解答即可．
【详解】解：连接CD，过点D作DF⊥BC，垂足为点F，
∴∠DFE=∠DFC=90°
∵∠C=90°，D是斜边AB的中点，
∴
∴∠A=∠ACD
又∵∠A=∠CED
∴∠ACD=∠CED
∵∠ACB=∠ACD+∠DCE=90°,
∴∠DCE+∠CED=90°
∴∠CDE=90°
∴△CDF∽△DEF
又∵∠C=∠DFE=90°，
∴DF//AC
∴
∴
∴EF=CE-CF=4
又∵△CDF∽△DEF
∴
∴
∴DF=6,
∴AC=2DF=12,
∵BC=CE+BE=13+5=18
∴AB=．
故填．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判断与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，作出辅助线说明△CDF∽△DEF成为解答本题的关键．
14．(1)，；
(2)方程没有实数根，
(3)，
【分析】本题主要考查解一元二次方程：
（1）把移项后两边同时加上1，即可赔偿完全平方式，方程运用配方法求解即可；
（2）方程运用公式法求解即可；
（3）方程移项后，提公因式后，即可运用因式分解法求解．
【详解】（1）解：
，
∴，
∴，；
（2）解：，
这里，，
，
∴方程没有实数根，
（3）解：，
，
，
∴，
15．(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法，
（1）根据概率公式列式计算即可得解；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解；
解题的关键是掌握：概率等于所求情况数与总情况数之比．
【详解】（1）解：∵指针指向、、、区是等可能情况，指针指向奇数区的概率是：，
故答案为：；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有种情况，两数之和为的倍数的情况有种，
∴（两数之和为的倍数），
答：所得两数之和为的倍数的概率为．
16．(1)A
(2)见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定．
（1）由相似三角形的判定，即可判断．
（2）利用同角或对顶角构造相似比为2：1的三角形即可．
【详解】（1）解：图中中，，又，，，因此．很明显，选项B，C，D中，三角形没有的内角，故选项不符合题意；选项A中，钝角等于，夹角的两边之比为，故A网格中的三角形与相似，选项A符合题意．
故选：A．
（2）如图，或为求，
17．（1）y=﹣3x2+30x；（2）AB的长为7米；（3）不能.
【分析】（1）设AB长为x米，则BC长为：（30﹣3x）米，该花圃的面积为：（30﹣3x）x；进而得出函数关系即可；
（2）将y=63代入（1）中所求的函数关系式，得出关于x的一元二次方程，解方程求出符合题意的x的值，即是所求AB的长；
（3）将y=80代入（1）中所求的函数关系式，得出关于x的一元二次方程，利用根的判别式进行判定即可．
【详解】（1）由题意得：
y=x（30﹣3x），即y=﹣3x2+30x；
（2）当y=63时，﹣3x2+30x=63，
解此方程得x1=7，x2=3．
当x=7时，30﹣3x=9＜10，符合题意；
当x=3时，30﹣3x=21＞10，不符合题意，舍去；
故所围成的花圃的面积为63平方米时，宽AB的长为7米；
（3）不能围成面积为80平方米的花圃．
理由：当y=80时，﹣3x2+30x=80，
整理得3x2﹣30x+80=0，
∵△=（﹣30）2﹣4×3×80=﹣60＜0，
∴这个方程无实数根，
∴不能围成面积为80平方米的花圃．
故答案为不能．
【点睛】考查了二次函数和一元二次方程的实际应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式是解题关键．
18．(1)证明过程见解析；
(2)，
【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理以及折叠的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系．
（1）根据是矩形，可得，由，可得，进而可知四边形是平行四边形，再根据折叠的性质得，继而可证得四边形是菱形；
（2）首先设，则，在中，利用勾股定理可求得的长，过点作，先求得的长，再在中，利用勾股定理，即可求得的长．
【详解】（1）证明：如图，由折叠可知，垂直并平分BD，设BD与交于点，
则：，，，
∵四边形是矩形，
∴
∴
在和中：
∴
∴
∴四边形是平行四边形
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）设，则，则
在中，由勾股定理得：
解得：，
∴，
如图，过点作于，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
在中，由勾股定理得：
19．(1)4，2.，-7
(2)，
(3)①，；②，．
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．
（1）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可；
（2）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可；
（3）①先把括号的多项式变号，得到，再利用平均数法结合直接开平方法解一元二次方程；
②先把括号的未知数系数化为相同，再模仿①即可解方程.
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
∴上述过程中的“▱”，“○”，“☆”，“”表示的数分别为4，2.，-7.
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
（3）解：①，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
②
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
20．（1）菱形和正方形；（2）见解析；（3）③；（4）见解析．
【分析】（1）利用正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似可以举出反例；
（2）先判断出△，得出，，，进而得出△，得出，，，即可得出结论；
（3）根据相似多边形的判定方法，一一判断即可；
（4）分两种情况考虑，两边是对边，两边是邻边，根据相似多边形的判定方法即可完成证明．
【详解】（1）解：正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似，
“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例菱形和正方形，
故答案为：菱形和正方形；
（2）证明：连接、，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
即，，
综上，四边形四边形．
（3）解：①如图，四边形四边形，以为圆心、为半径作圆交延长线于点，则，，，但四边形不与四边形相似．
②如图，四边形四边形，以为圆心、为半径作圆交过点且和平行的直线相交于点，过作交于点，则，四边形为平行四边形．则，即，，，
但四边形不与四边形相似．
③已知：如图，四边形和四边形中，，，．
求证：四边形四边形．
证明：连接，．
，且，
△，
，，，
，
，
，
，
△，
，，，
，，，，，
四边形与四边形相似；
④如图，四边形四边形，以为圆心，为半径作圆交于点，在左侧作，则，，，，，但四边形不与四边形相似．
故答案为：③，
（4）解：因为四边形内角和为360°，所以四边形只要三个角分别相等，第四个角就也相等，所以只需考虑成比例的两边是邻边还是对边．
若成比例的两边是对边，则有反例“矩形”．若成比例的两边是邻边，则相似，理由如下：
已知：四边形和四边形中，，，，．
求证：四边形四边形．
证明：∵，，，
∴．
连接、，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
综上，四边形四边形．
【点睛】此题是相似形综合题，考查了相似多边形的判定方法，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形问题转化为三角形问题，属于中考压轴题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
B
C
C
D
C
B
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