河南省漯河市实验中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份河南省漯河市实验中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共23页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．B．C．D．0
2．用配方法解方程，方程可变形为（ ）
A．B．
C．D．
3．若关于x的方程无实根，则k可取的最小整数为（ ）
A．B．C．D．
4．电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．B．
C．D．
5．若是方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．B．C．D．
6．点在抛物线上，将抛物线进行平移得抛物线，的对应点为，则点移动的最短路程为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知的图象如图所示，则函数的图象一定经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
9．已知二次函数，已知函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，则的根的范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，抛物线与交于点，且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论：
①无论x取何值，总是非负数；
②可由向右平移个单位，再向下平移个单位得到；
③当时，随着的增大，的值先减小后增大；
④四边形一定为正方形．
其中正确的是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．若关于的一元二次方程有一个根为0，则方程的另一个根为 ．
12．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程 的根，则该三角形的周长为
13．已知一条抛物线与抛物线的形状相同，方向相反，且其顶点坐标是，此抛物线的解析式为 ．
14．若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，点在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，，则四边形周长的最小值为 ．
三、解答题
16．解下列方程
(1)
(2)
(3)
(4)
17．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若是此方程的一个根，求代数式的值．
18．如图，已知线段，点在线段上，分别以为边向下作正方形．
(1)当阴影部分的面积为时，请求出的长；
(2)阴影部分的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．
19．已知关于x的一元二次方程 。
(1)若方程有实数根，求实数 m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值．
20．二次函数的图像如图所示，根据图像解答下列问题：
(1)写出不等式的解集；
(2)当时，写出函数值y的取值范围．
(3)若方程有两个不相等的正实数根，写出k的取值范围．
21．小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式（，且x为整数）
(1)求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式；
(2)在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？注：销售利润售价成本．
22．如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱项部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．
23．如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标；
(3)若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且，特别要注意的条件 ．
本题根据一元二次方程的定义求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．根据配方法的步骤变形即可．
【详解】解：，
移项得：，
∴，
配方得：，即．
故选：D．
3．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求出k的范围即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的方程无实根，
∴关于x的方程无实根，
∴，
∴，
∴，
∴k可取的最小整数为，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，根据题意求出第二天和第三天的票房即可求解．
【详解】解：由题意得：第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元，
∴
故选：D．
5．C
【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系可知，，将代数式变形后得到，由此即可求解．本题主要考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
，
，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了二次函数的平移、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定了，先求出或，再根据平移规律得出的坐标为或−1,1，最后由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：点在抛物线上，
，
解得：或，
或，
将抛物线进行平移得抛物线，
平移方式为：向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，
的对应点为的坐标为或−1,1，
点移动的最短路程为，
故选：C．
7．B
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后通过增减性判断即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为，
∵，
∴是y随x的增大而增大，
是y随x的增大而减小，
又∵(﹣3，)比(1，)距离对称轴较近，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，找到对称轴，注意二次函数的增减性是解题的关键．
8．C
【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，先根据二次函数的图象，判断出的符号，再判断一次函数图象所经过的象限即可．
【详解】解：抛物线的开口向下
，
抛物线的对称轴在轴右侧，即，
，
图象经过第二、三、四象限．
故选C．
9．D
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等等，先根据二次函数的对称性求出二次函数与x轴相交于，再由二次函数的性质得到当时，，最后根据的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，
∴二次函数图象与x轴另一个交点为，
∵，
∴函数开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∴当时，
∵的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标，
∴，
故选：D．
10．B
【分析】①由非负数的性质，即可证得，可得无论x取何值，总是负数；
②由抛物线与交于点，可求得a的值，然后由抛物线的平移的性质，即可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；；
③由，可得随着x的增大，的值减小；
④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得，又由AC⊥DE，即可证得四边形为正方形．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
∴无论x取何值，总是负数；故①错误；
②∵抛物线与交于点，
∴当x=1时，，
即，
解得：a=-1；
∴，
∴可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；故②正确；
③∵，
∴随着x的增大，的值减小；故③错误；
④设与DE交于点，
∵当时，，
解得：或x=1，
∴点，
当时，，
解得：或x=1，
∴点，
∴，，
当x=0时，， ，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∵AC⊥DE，
∴四边形为正方形．故④正确．
综上所述：正确的是②④．共2个；
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、非负数的性质、二次函数的平移以及正方形的判定，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
11．/
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
根据一元二次方程的解的定义．把代入，再解关于的方程，然后利用一元二次方程的定义确定的值．再根据根与系数关系即可求出方程的另一个根．
【详解】解：把代入得，
解得：，
而．
所以．
令方程的另一个根为，则，
∴，
故答案为：．
12．10
【分析】本题考查了解一元二次方程、三角形三边的关系、等腰三角形的定义等知识．
先利用因式分解法解得到，然后分类讨论：①当三角形的腰为4，底为2时，易得三角形的周长；②当三角形的腰为2，底为4时不符合三角形三边的关系，舍去．
【详解】解：，
，
或，
所以．
①当三角形的腰为4，底为2时，三角形的周长为；
②当三角形的腰为2，底为4时不符合三角形三边的关系，舍去．
所以三角形的周长为10．
故答案为：10．
13．
【分析】设顶点坐标为的抛物线解析式为，根据形状相同，方向相反的抛物线的二次项系数互为相反数求出a的值即可得到答案．
【详解】解：设顶点坐标为的抛物线解析式为，
∵抛物线与抛物线的形状相同，方向相反，
∴，
∴顶点坐标为的抛物线解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知形状相同，方向相反的抛物线的二次项系数互为相反数是解题的关键．
14．
【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．由题意可知，根据m的范围即可确定n的范围．
【详解】解：∵，
∴二次函数的图象开口向上，顶点为，对称轴是直线，
∵到y轴的距离小于2，
∴，
而，
当，
当时，，
∴n的取值范围是，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得点的坐标和再证明四边形是平行四边形，得出，结合两点之间线段最短，故四边形的周长是，运用两点距离公式列式计算，得出，代入计算即可作答．
【详解】解：∵抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，
∴当时，
∴点的坐标是，
当时，则，
∴，
设抛物线与轴的另外一个交点为M，
∴
∴对称轴；
则
过点M作轴，且，
∵轴，线段CD在对称轴上，
∴
∵
∴四边形是平行四边形
∴
连接与对称轴相交于一点，即为点D的位置，再连接
∵对称轴，线段CD在对称轴上，
∴
∴
此时四边形周长有最小值
即
∵
∴
则
则
∴四边形周长的最小值为
故答案为：
16．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）根据直接开平方法求解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法求解一元二次方程即可；
（3）将原方程变形得，再根据因式分解法求解一元二次方程即可；
（4）利用公式法可求解一元二次方程．
【详解】（1）解：，
∴，
∴或，
∴；
（2）解：，
，
∴，
∴或，
∴；
（3）解：，
，
，
，
∴或，
∴；
（4）解：，
，
，
∴，
．
17．(1)见解析
(2)2023
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解．
（1）求证这个方程都有两个不相等的实数根，只要证明，即可得出方程有两不相等的实数根；
（2）把代入方程得出，再整体代入求解即可．
【详解】（1）证明：∵关于的一元二次方程．
∴，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵是此方程的一个根，
∴把代入方程中得到，
∴，
∴，
∴．
18．(1)的长为或
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）根据图形及题中条件，由面积关系建立等量关系列方程求解即可得到答案；
（2）同（1）可得，根据即可确定阴影部分的面积不能为60．
【详解】（1）解：设，
，
，
阴影部分的面积为，
，即，
，解得或，
故的长为或；
（2）解：不能．
理由如下：设，
，
，
若阴影部分的面积为，
，即，
，
一元二次方程无解，
故阴影部分的面积不能为．
【点睛】本题考查一元二次方程解决图形面积问题，涉及一元二次方程解法及根的情况判定，数形结合，找到等量关系列方程求解是解决问题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，解不等式即可得到的范围；
（）根据一元二次方程 的根与系数的关系得到， ，则，即 ，利用因式分解法解得，，然后由（）中的的取值范围即可得到的值；
此题考查了一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记，一元二次方程的两个根为，，则，，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
【详解】（1）解：，
，
若方程有实数根，则，
解得；
（2）解：∵方程两实数根分别为，
∴， ，
∵，
∴，
∴
整理得：，
解得，，
∵，
∴．
20．(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数图像中的数据可以得到的范围；
（2）根据图像中的数据可以得到当时，函数值y的取值范围；
（3）根据图像中的数据可以得到方程有两个不相等的正实数根时，k的取值范围．
【详解】（1）由图像可得，
当或时，；
（2）由图像可知，
当时，函数值 y的取值范围；
（3）由图像可知，
函数的最小值是，
当 时，，
故方程有两个不相等的正实数根， k 的取值范围是．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
21．(1)p=−2x+80
(2)第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元
【分析】（1）设日销售量（盒与时间（天之间的函数关系式为，把，代入求出即可；
（2）设日销售利润为元，根据销售利润售价成本列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
【详解】（1）解：设日销售量（盏与时间（天之间的函数关系式为，
把，代入得：，
解得：，
即日销售量（盏与时间（天之间的函数关系式为；
（2）解：设日销售利润为元，
；
，，且为整数，
当时，取得最大值，最大值是450；
在这20天中，第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元；
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，根据数量关系列出函数解析式是关键．
22．（1）6m；（2）①；②2m
【分析】（1）设，由题意得，求出抛物线图像解析式，求当x=12或x=-12时y1的值即可；
（2）①由题意得右边的抛物线顶点为，设，将点H代入求值即可；
②设彩带长度为h，则，代入求值即可．
【详解】解（1）设，由题意得，
，
，
，
当时，，
桥拱顶部离水面高度为6m．
（2）①由题意得右边的抛物线顶点为，
设，
，
，
，
，
(左边抛物线表达式：)
②设彩带长度为h，
则，
当时，，
答：彩带长度的最小值是2m ．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值得求解方法，结合题意根据数形结合的思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键．
23．(1)
(2)四边形面积有最大值32，此时
(3)存在，M点坐标为或
【分析】本题考查二次函数的几何综合，二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点P作轴交于点Q，设，则，所以四边形面积，可得当时，四边形面积有最大值32，此时；
（3）先求出，设，分别求出，再由勾股定理分类讨论求出M点坐标即可．
【详解】（1）解：将点、代入，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线的解析式为，
把B4,0代入，
，
解得，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交于点Q，
设，则，
，
，
，
∴四边形面积，
∵点P在直线上方，
，
∴当时，四边形面积有最大值32，此时；
（3）存在点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
当时，，
，
设，
，
①当为斜边时，，
解得，
（舍）；
②当为斜边时，，
解得，
；
③当为斜边时，，
解得或，
或（舍）；
综上所述：M点坐标为或．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
D
C
C
B
C
D
B