北京市顺义区仁和中学2024-2025学年九年级 上学期月考数学试卷（10月份）+答案解析

这是一份北京市顺义区仁和中学2024-2025学年九年级 上学期月考数学试卷（10月份）+答案解析，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列长度的各组线段中，是成比例线段的是( )
A. 1cm，2cm，3cm，4cmB. 1cm，2cm，3cm，6cm
C. 2cm，4cm，8cm，8cmD. 3cm，4cm，5cm，10cm
3.如图，直线，直线，被直线，，所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF，若，，，则EF的长是( )
A.
B. 3
C.
D. 4
4.如图，在中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且，若，则的值为( )
A. B. C. D.
5.如图，点D是的边AB上的一点，连接DC，则下列条件中不能判定∽的是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：：2，连接AE交BD于点F，则与的面积之比为( )
A. 2：5B. 3：5C. 9：25D. 4：25
7.下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是( )
A. B. C. D.
8.大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是
A. B. 6C. D. 8
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.已知，那么______.
10.已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，求线段d的长为______.
11.已知点C是线段AB的黄金分割点，若线段AB的长10cm，则线段AC的长为______.
12.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条边，，测得边DF离地面的高度，，则树高AB为______.
13.如图，在中，，，点D为AC中点，点E在AB上，当AE为______时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似.
14.图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为______.
15.如图，小明借助太阳光线测量树高.在早上8时小明测得树的影长为2m，下午3时又测得该树的影长为8m，且这两次太阳光线刚好互相垂直，则树高为______
16.如图，AD是的中线，E是AD上一点，且，CE的延长线交AB于点F，若，则______.
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题5分
如图，AC，BD相交于的点O，且
求证：∽
18.本小题5分
线段a、b、c，且
求的值；
如果线段a、b、c满足，求的值．
19.本小题5分
如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中有和，求证：∽
20.本小题5分
如图，在中，D为AB上一点，，，求AB的长.
21.本小题5分
如图，在中，，CD是斜边AB上的高．
求证：∽；
若，，求CD的长．
22.本小题5分
为了测量水平地面上一栋建筑物AB的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：先在水平地面上放置一面平面镜，并在镜面上做标记点C，后退至点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜面上的标记点C重合，法线是FC，小军的眼睛与地面距离DE是，BC、CD的长分别为60m、3m，求建筑物AB的高度．
23.本小题6分
如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点
求证：∽；
若，，求AE的长.
24.本小题6分
如图，在平行四边形ABCD中，在BC的延长线上取一点B，使，连接AE，AE与CD交于点
求证：∽；
求DF的长.
25.本小题6分
如图，在中，，点D在AB上，，过点B作，交CD的延长线于点
求证：∽；
如果，，求AC的长．
26.本小题6分
如图，在平行四边形ABCD中，连接DB，F是边BC上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且
求证：∽；
如果，，求BF的值.
27.本小题7分
如图，在平面直角坐标系中，已知，点P从点B开始沿BA边向终点A以的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以的速度移动.有一点到达终点，另一点也停止运动.若P，Q同时出发，运动时间为
用含t的代数式分别表示线段AQ和AP的长；
当t为何值时，与相似？
28.本小题7分
如图，在等边中，作，边CD、BD交于点D，连接
请直接写出的度数；
求的度数；
用等式表示线段AD、BD、CD三者之间的数量关系，并证明.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意；
C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
故选：
根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、，四条线段不成比例；
B、，四条线段成比例；
C、，四条线段不成比例；
D、，四条线段不成比例；
故选：
根据比例线段的性质，让最小的数和最大的数相乘，另外两个数相乘，看它们的积是否相等即得答案．
本题考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是关键．
3.【答案】B
【解析】解：直线，
，
，，，
，
故选：
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：，，，
，，
，
故选：
根据平行线分线段成比例定理得出，即可得出答案．
本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．
5.【答案】C
【解析】解：，
当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断∽；
当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断∽
故选：
和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
6.【答案】C
【解析】解：四边形ABCD为平行四边形，
，
∽
：：2，
，
故选：
根据平行四边形的性质可得出，进而可得出∽，根据相似三角形的性质结合DE：：2，即可得出与的面积之比，此题得解．
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查两三角形相似的判定定理，相似三角形的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似，解答此题先根据勾股定理求出三角形的边长，然后看三边是否成比例即可.
【解答】
解：设单位正方形的边长为1，则给出的三角形三边长分别为，，
A.三角形三边分别是2，，，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；
B.三角形三边，，4，与给出的三角形的各边不成比例，故B选项错误；
C.三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；
D.三角形三边2，4，，与给出的三角形的各边成比例，故D选项正确．
8.【答案】C
【解析】解：如图：过点O作，垂足为E，延长EO交AB于点F，
由题意得：
，，，
，
，
，
，，
∽，
，
，
解得：，
蜡烛火焰的高度是，
故选：
过点O作，垂足为E，延长EO交AB于点F，根据题意可得：，，，，然后利用平行线的性质可得：，从而可得∽，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：
根据比例的性质进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
10.【答案】4cm
【解析】解：已知a，b，c，d是成比例线段，
根据比例线段的定义得：，
代入，，，
解得：，
则
故答案为：
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义，将a，b及c的值代入即可求得
本题考查了比例线段的定义：若四条线段a，b，c，d有a：：d，那么就说这四条线段成比例．
11.【答案】
【解析】解：点C是线段AB的黄金分割点，，
，
故答案为：
根据黄金分割的定义得，代入AB的长计算即可．
本题主要考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，，
∽，
，
，，，，
，
，
故答案为：
利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
13.【答案】3或
【解析】解：当时，
，
∽，
，
当时，
，
∽，
，
综上，或，
故答案为：3或
先得到，再分与两种情况讨论即可解答．
本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是分类讨论思想的运用及熟练掌握相似三角形的判定定理．
14.【答案】
【解析】解：在图2中，过点O作于点M，MN交CD于点N，则，，
，
∽，
，
即，
故答案为：
在图2中，过点O作于点M，MN交CD于点N，则，，由，可得出∽，再利用相似三角形的性质，即可求出x的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记“相似三角形的一切对应线段的比等于相似比”是解题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：根据题意作图，，，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：
先根据题意作出相应的图，然后可根据条件得到，最后利用相似比即可得解．
本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题关键．
16.【答案】6
【解析】解：
过D作交AB于M，
是的中线，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
过D作交AB于M，求出，根据平行线分线段成比例定理求出，即可得出，代入求出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定的应用，关键是求出
17.【答案】证明：，BD相交于的点O，
，
又，
∽
【解析】根据相似三角形的判定解答即可．
此题考查相似三角形的判定，关键是根据有两组角对应相等的两个三角形相似解答．
18.【答案】解：设
，，
设，
，，
，
，解得，

【解析】本题考查了比例性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
设，则，，然后把它们代入中进行分式的运算即可；
设，则，，，则利用可求出t，然后利用求解．
19.【答案】解：根据网格可知：
三边的长分别为：，，，
三边的长分别为：，，，
，
∽
【解析】分别计算两个三角形三条边的长，再根据三边成比例的两三角形相似可得结论．
此题考查的是相似三角形的判定，掌握其判定方法是解决此题的关键．
20.【答案】解：，，
∽，
，
，，
，

【解析】根据，为公共角，可证∽，根据相似三角形的性质可得，，，代入即可求解．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握证明三角形的方法和相似三角形的性质是解题关键．
21.【答案】证明：，
，
，
，，
，
∽
解：∽，
，
，
，，
，
，

【解析】根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
利用相似三角形的性质证明，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
22.【答案】解：根据题意，易得，，
则∽，
所以，即，
解得：，
答：建筑物AB的高度为
【解析】此题考查相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．根据镜面反射的性质求出∽，再根据对应边的比相等求得答案．
23.【答案】证明：四边形ABCD是正方形，
，，，
，
又，
，
，
∽；
解：四边形ABCD是正方形，，，
，，
，
是AM的中点，
，
∽，
，
即，

【解析】由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论；
由勾股定理求出AM，可求出AF，由∽得出比例式，即可求出AE的长．
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键．
24.【答案】证明：四边形ABCD为平行四边形，
，即，
，，
∽；
解：四边形ABCD为平行四边形，
，，
，即
∽，
，即
，

【解析】由平行四边形的性质可得出，从而得出，，即证明∽；
由平行四边形的性质可得出，，即得出，再根据相似三角形的性质可得出，即，最后结合，即可求出DF的长．
本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理及其性质是解题关键．
25.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
∽
解：，，，
，
，
∽，
=，
=，
，
的长是.
【解析】由，，得，由，得，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明∽
先根据勾股定理求得，则，再根据相似三角形的对应边成比例列方程得=，即可求得.
此题重点考查相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，证明从而证明∽是解题的关键．
26.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
又，
∽；
解：∽，
，
，，

【解析】根据平行四边形对角相等可得，又，等量代换可得，再结合公共角，即可证明∽；
根据的结论，列出比例式代入数值计算可得
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
27.【答案】解：，，
，
点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒1个单位，
，；
①是直角时，∽，
，
即，
解得，舍去；
②是直角时，∽，
，
即，
解得，
综上所述，时，与相似．
【解析】利用勾股定理列式求出AB，再表示出AP；
分和是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
本题主要考查了相似三角形的判定，根据对应边成比例两相似三角形的判定分类讨论是解题的关键．
28.【答案】解：如图1，设AB交CD于点
，，
，
是等边三角形，
，
，，
∽，
，
，
，
∽，
即
结论：理由如下：
在DC上截取，连接BE，如图2，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
≌，
，

【解析】如图，设AB交CD于点利用“8字型”证明角相等即可；
由∽，推出，可得，，推出∽，即可解决问题；
结论：在DC上截取，连接利用全等三角形的性质即可证明；
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．