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上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期开学摸底检测 数学试题
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这是一份上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期开学摸底检测 数学试题，共5页。
（考试时间120分钟 满分150分）
考生注意：
1.带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦、计算器等参加考试，考试中途不得传借文具，计算器，草稿纸
2.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分。
3.请直接将答案写在原卷上，保持字迹清晰
一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1.已知集合，，若，a∈Z，则实数a的取值集合是 （选填“R”或“Q”或“N”或“Z”）
2.满足的集合共有 个.
3.若集合，且，则k的所有可能值的乘积为
4.某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购_________张车票
5.已知集合A⊆{x,y,z}，x,y,z均属于自然数集，x没有倒数，y既不是素数也不是合数，z是3的因数，若中至多有一个奇数，则这样的集合的个数共有 个
6. 已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}，若A是B的必要不充分条件，则m的取值范围为_____
7.设全集U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数的最大值与最小值的差为 .
8. 已知集合各元素之和等于4，则实数
9. 设集合，若集合的所有非空子集的元素之和是64，则 .
10. 若，则，就称A自倒集合，集合M={-2，-1，0，12，13，1，2，3，4 }的所有非空子集中，自倒集合的个数为_____________
11.以集合的子集中选出两个子集，需同时满足以下两个条件：（1）、都至少属于其中一个集合；（2）对选出的两个子集，其中一个集合为另一个的子集，那么共有 种不同的选法.
12.设集合S是正整数集的子集，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①T是正整数的子集，且T中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集，若集合，且，设P1=k，则集合S的“耦合集”T=________
二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）
13.对于集合，若不成立，则下列理解正确的是（ ）
14.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫给数学家欧拉的信中提出的猜想：“任意大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”，则哥德巴赫猜想的否定为（ ）
15.设分别为的三边的长，则（ ）
（1）关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0没有公共实根
（2）关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实根
A.BC=AB是（1）的充分非必要条件
B.∠A=90°是（2）的充分非必要条件
C.BC=AB是（1）的必要非充分条件
D. ∠A=90°是（2）的充要条件
16. 已知非空集合满足以下两个条件：
（ⅰ），；
（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，
则有序集合对的个数为
A．B．C．D．
三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）
17. 若集合A={x|a＜x＜2a-1}，B={x|1＜x＜m}，且，求：a的取值范围
18. 设集合．
（1）求证：所有奇数均属于集合A
（2）用反证法证明：10不是集合的元素．
19.一辆行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s（单位：m）与汽车的车速v（单位: km/h）满足下列关系: （n为常数，且n∈N），做了两次刹车实验，有关数据如图所示，其中.
（1）求n的值;
（2）要使刹车距离不超过12.6m，则行驶的最大速度是多少?
（3）若该型号的汽车在某一限速为80km/h的路段发生了交通事故，交警进行现场勘查，测得该车的刹车距离超过了25.65m，请问该车是否超速行驶? 说明理由.
20.利用反证法，是正面难以进行对真命题进行简单证明的迂回策略，请利用它证明我们初中所学的真命题
（1）求证：3是无理数
（2）①求证：三角形的内角和为180°
②求证：三角形至少有一个内角大于等于60°
21.已知集合A={a1,a2,……ak}（k≥2），其中ai∈Z（i=1,2,……k），由A中元素可构成两个点集P和Q：
P={（x,y）|x∈A且y∈A且x+y∈A} ， Q={（x,y）|x∈A且x∈A且x-y∈A}，其中P中有m个元素，Q中有n个元素
新定义1个性质G：若对任意的x∈A，必有-x∉A，则称集合A具有性质P
（1）已知集合J={0,1,2,3}与集合K={-1,2,3}和集合L={y|y=x2-2x+2}，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P,Q；若无，请说明理由
（2）若k=2024，求：集合A有几个元素？
（3）试判断：集合A具有性质P是m=n的什么条件并证明
参考答案及评分标准
填空题（1~12题）
1．N
2．4
3．0
4．a+b2−a
5．6
6．[13，﹢∞）
7．28
8．2或83
9．8
10．15
11．36
12．{k3,k4,k5,k6,k7}
选择题（13~16题）
13．D
14．D
15．D
16．A
解答题（17~21题）
17. 若m＞1，则a的取值范围为（-∞，m+12）（7分）
若m≤1，则a的取值范围为（-∞，1]（7分）
18．（1）若a=2为∅（2分）
若a＞2，（a+3a−2，﹢∞）（2分）
若a＜2，（-∞，a+3a−2）（2分）
（2）a∈（8分）
19．（1）6（5分）
（2）60km/h（5分）
（3）是已经超速（4分）
20．（1）假设根号3是有理数，先证明若n2为3倍数，n为3倍数（再次利用反证法），后推出矛盾证明出3是无理数（9分）
（2）过定点做平行线，利用平角与同位角（内错角亦可）（5分）
（3）利用反证法，推出三角形内角和小于180°的矛盾（4分）
21．（1）J,L不是，K是，S={（-1,3），（3，-1）}，T={（2,-1），（2,3）}（6分）
（2）2047276（6分）
（3）充分非必要（6分）
A．集合的任何一个元素都属于
B．集合的任何一个元素都不属于
C．集合中至少有一个元素属于
D．集合中至少有一个元素不属于
A．任意小于2的偶数都不可以表示成两个质数之和
B．任意大于2的偶数都不可以表示成两个质数之和
C．至少存在一个小于2的偶数不可以表示成两个质数之和
D．至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和
（考试时间120分钟 满分150分）
考生注意：
1.带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦、计算器等参加考试，考试中途不得传借文具，计算器，草稿纸
2.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分。
3.请直接将答案写在原卷上，保持字迹清晰
一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1.已知集合，，若，a∈Z，则实数a的取值集合是 （选填“R”或“Q”或“N”或“Z”）
2.满足的集合共有 个.
3.若集合，且，则k的所有可能值的乘积为
4.某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购_________张车票
5.已知集合A⊆{x,y,z}，x,y,z均属于自然数集，x没有倒数，y既不是素数也不是合数，z是3的因数，若中至多有一个奇数，则这样的集合的个数共有 个
6. 已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}，若A是B的必要不充分条件，则m的取值范围为_____
7.设全集U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数的最大值与最小值的差为 .
8. 已知集合各元素之和等于4，则实数
9. 设集合，若集合的所有非空子集的元素之和是64，则 .
10. 若，则，就称A自倒集合，集合M={-2，-1，0，12，13，1，2，3，4 }的所有非空子集中，自倒集合的个数为_____________
11.以集合的子集中选出两个子集，需同时满足以下两个条件：（1）、都至少属于其中一个集合；（2）对选出的两个子集，其中一个集合为另一个的子集，那么共有 种不同的选法.
12.设集合S是正整数集的子集，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①T是正整数的子集，且T中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集，若集合，且，设P1=k，则集合S的“耦合集”T=________
二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）
13.对于集合，若不成立，则下列理解正确的是（ ）
14.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫给数学家欧拉的信中提出的猜想：“任意大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”，则哥德巴赫猜想的否定为（ ）
15.设分别为的三边的长，则（ ）
（1）关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0没有公共实根
（2）关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实根
A.BC=AB是（1）的充分非必要条件
B.∠A=90°是（2）的充分非必要条件
C.BC=AB是（1）的必要非充分条件
D. ∠A=90°是（2）的充要条件
16. 已知非空集合满足以下两个条件：
（ⅰ），；
（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，
则有序集合对的个数为
A．B．C．D．
三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）
17. 若集合A={x|a＜x＜2a-1}，B={x|1＜x＜m}，且，求：a的取值范围
18. 设集合．
（1）求证：所有奇数均属于集合A
（2）用反证法证明：10不是集合的元素．
19.一辆行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s（单位：m）与汽车的车速v（单位: km/h）满足下列关系: （n为常数，且n∈N），做了两次刹车实验，有关数据如图所示，其中.
（1）求n的值;
（2）要使刹车距离不超过12.6m，则行驶的最大速度是多少?
（3）若该型号的汽车在某一限速为80km/h的路段发生了交通事故，交警进行现场勘查，测得该车的刹车距离超过了25.65m，请问该车是否超速行驶? 说明理由.
20.利用反证法，是正面难以进行对真命题进行简单证明的迂回策略，请利用它证明我们初中所学的真命题
（1）求证：3是无理数
（2）①求证：三角形的内角和为180°
②求证：三角形至少有一个内角大于等于60°
21.已知集合A={a1,a2,……ak}（k≥2），其中ai∈Z（i=1,2,……k），由A中元素可构成两个点集P和Q：
P={（x,y）|x∈A且y∈A且x+y∈A} ， Q={（x,y）|x∈A且x∈A且x-y∈A}，其中P中有m个元素，Q中有n个元素
新定义1个性质G：若对任意的x∈A，必有-x∉A，则称集合A具有性质P
（1）已知集合J={0,1,2,3}与集合K={-1,2,3}和集合L={y|y=x2-2x+2}，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P,Q；若无，请说明理由
（2）若k=2024，求：集合A有几个元素？
（3）试判断：集合A具有性质P是m=n的什么条件并证明
参考答案及评分标准
填空题（1~12题）
1．N
2．4
3．0
4．a+b2−a
5．6
6．[13，﹢∞）
7．28
8．2或83
9．8
10．15
11．36
12．{k3,k4,k5,k6,k7}
选择题（13~16题）
13．D
14．D
15．D
16．A
解答题（17~21题）
17. 若m＞1，则a的取值范围为（-∞，m+12）（7分）
若m≤1，则a的取值范围为（-∞，1]（7分）
18．（1）若a=2为∅（2分）
若a＞2，（a+3a−2，﹢∞）（2分）
若a＜2，（-∞，a+3a−2）（2分）
（2）a∈（8分）
19．（1）6（5分）
（2）60km/h（5分）
（3）是已经超速（4分）
20．（1）假设根号3是有理数，先证明若n2为3倍数，n为3倍数（再次利用反证法），后推出矛盾证明出3是无理数（9分）
（2）过定点做平行线，利用平角与同位角（内错角亦可）（5分）
（3）利用反证法，推出三角形内角和小于180°的矛盾（4分）
21．（1）J,L不是，K是，S={（-1,3），（3，-1）}，T={（2,-1），（2,3）}（6分）
（2）2047276（6分）
（3）充分非必要（6分）
A．集合的任何一个元素都属于
B．集合的任何一个元素都不属于
C．集合中至少有一个元素属于
D．集合中至少有一个元素不属于
A．任意小于2的偶数都不可以表示成两个质数之和
B．任意大于2的偶数都不可以表示成两个质数之和
C．至少存在一个小于2的偶数不可以表示成两个质数之和
D．至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和
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