河北省保定市第一中学2024−2025学年高一（第八届贯通班）上学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份河北省保定市第一中学2024−2025学年高一（第八届贯通班）上学期开学考试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题）
1．集合和关系的图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有（ ）

A．B．0C．1D．5
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．“不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荷子的《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的（ ）
A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知，，为线段上距较近的一个三等分点，为线段上距较近的一个三等分点，则在基下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，已知，则为（ ）

A．B．C．D．
7．如图，O是坐标原点，M,N是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，
则||的范围为（ ）
A．[0,2) B．[0,2) C．[1,2) D．[1,2)
8．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．在中，，则
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若acsA＝bcsB，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则必是等边三角形
10．定义域为R的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．
D．在0,+∞上单调递增
11．围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑子、白子、空三种情况，因此整个棋盘上有种不同的情况，下面对于数字的判断正确的是（ ）
（参考数据：）
A．的个位数是3B．的个位数是1
C．是173位数D．是172位数
三、填空题（本大题共3小题）
12．的周期为2，值域为，且为偶函数，则的解析式 .（写出一个即可）
13．用表示函数在闭区间I上的最大值．若正数a满足，则a的最大值为 ．
14．如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 米处观看?（精确到0.1米）.
四、解答题（本大题共5小题）
15．设，函数=（）．
（1）求函数的最小正周期及最大值；
（2）求的单调递增区间．
16．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求，的值；
(2)试判断函数的单调性，并证明你的结论；
(3)求使成立的实数的取值范围.
17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，D为AC边上的一点，，且______，求的面积．
①BD是的平分线；②D为线段AC的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）．
18．已知函数的某一周期内的对应值如下表：
(1)根据表格提供的数据求函数的解析式；
(2)根据（1）的结果，若函数，的最小正周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
19．如图，矩形中，，，点，分别在线段，(含端点)上，为的中点，，设.
（1）求角的取值范围；
（2）求出的周长关于角的函数解析式，并求的周长的最小值及此时的值.
参考答案
1．【答案】C
【分析】图中阴影部分对应的集合为，故可得正确的选项.
【详解】图中阴影部分表示的集合为，而，
对比各选项可得只有.
故选C.
2．【答案】D
【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题可得.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选D.
3．【答案】B
【分析】利用充分条件、必要条件的定义分析判断即得.
【详解】依题意，不积累一步半步的行程，就没有办法达到千里之远；
不积累细小的流水，就没有办法汇成江河大海，等价于“汇成江河大海，则积累细小的流水”，
所以“积小流”是“成江海”的的必要条件.
故选B.
4．【答案】A
【分析】利用图形的性质，结合向量线性运算的向量表示即可得解.
【详解】，
而，所以，
所以，
所以在基下的坐标为.
故选A.
5．【答案】A
【分析】利用二倍角公式结合角的余弦值确定角的范围计算即可.
【详解】因为，，所以，
则，
则.
故选A.
6．【答案】B
【分析】利用余弦定理求出，即而求出，结合两角和的正弦公式，即可求得答案.
【详解】在中，由余弦定理：，
所以为锐角，，
所以．
故选B.
7．【答案】A
【分析】设的夹角为θ，θ∈，则csθ∈[1,0），||2=+2=2+2csθ即可．
【详解】设的夹角为θ,θ∈，则cs θ∈[1,0)，
所以||2=+2=2+2cs θ∈[0,2)，故||的范围为[0,2).
故选A.
【思路导引】本题考查了向量模的取值范围的求解，转化为三角函数求最值，属于基础题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底．
8．【答案】C
【分析】利用已知条件得到为垂心，再根据四边形内角为及对顶角相等，得到，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到，进而求出的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案.
【详解】如图，因为，
所以，同理，，
所以为的垂心，因为四边形的对角互补，所以，
，
同理，所以，
，
所以．
所以，
所以．
又因为，
，
，
，
由奔驰定理得.
故选C．
【思路导引】本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变形运用.
9．【答案】ABD
【分析】A应用正弦定理及三角形中大边对大角即可判断正误；B由锐角三角形易得，根据锐角正弦函数的大小关系及诱导公式即可判断正误；C由正弦定理边角关系，结合三角形内角的性质判断内角A、B的数量关系；D利用余弦定理，结合已知得，进而判断的形状.
【详解】A：若，而，即，故，正确；
B：由锐角知：，即，则，正确；
C：由题设，可得，又，则或，故为等腰或直角三角形，错误；
D：由题设，，故，即，又，可知，故必是等边三角形，正确.
故选ABD.
10．【答案】BC
【分析】对于A项，赋值令，求解；对于B项，赋值令，得到关于对称，再结合函数图像平移变换得解；对于C项，赋值令，再令，再变形即可；对于D项，赋值令，结合时，，举反例可解.
【详解】对于A项，令，得到，则，所以A错误；
对于B项，令，得到，
则，
则或,
由于当时，，则此时，
故时，，故时，，所以，
而，故对任意恒成立，则关于对称.
可由向左平移1个单位，再向下平移2个单位.
则的图象关于点对称，所以B正确；
对于C项，令，得到，
则.
令，得到
令，得到，
两式相减得，
变形，
即,
时，，两边除以，
即，所以C正确；
对于D项，令，则，
时，，则，
且，则，即，所以D错误.
故选BC.
【思路导引】解答此类有关函数性质的题目，难点在于要结合抽象函数性质，利用赋值法以及代换法，推出函数相应的性质.
11．【答案】AC
【详解】对于AB：由，
个位数分别为以4为周期循环往复，
因为的余数为1，
故的个位数与的个位数相同，
即的个位数为3，故A正确，B错误；
对于CD：因为，
所以，
因为，
所以为173位数，故C正确，D错误.
故选AC.
12．【答案】(答案不唯一）.
【分析】取，再验证周期，值域和奇偶性得到答案.
【详解】取，
则函数周期为，，，
，函数为偶函数，满足条件.
故答案为：.
13．【答案】.
【分析】分类讨论，根据正弦函数的图象与性质求出、，代入不等式求解a的取值范围即可.
【详解】①当时，，
若，则，此时不成立；
②当时，，
若，则，又，解得；
③当时，，
若，则，又，解得；
④当时，，，，不符合题意.
综上所述，，即a的最大值为.
故答案为：.
14．【答案】3.2
【分析】作于，设，根据两角差的正切公式，结合不等式求的最大值，并确定对应的即可.
【详解】如图：作于，设，
则，.
所以（当且仅当时取“”）
又，故（米）.
故答案为：3.2.
15．【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）.
【解析】（1）根据向量的数量积的运算和三角恒等变换的公式，求得函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解；
（2）由（1）中函数的解析式，结合正弦型函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，向量，
可得函数
，
所以函数的最小正周期为，
当时，即，函数取得最大值，最大值为.
（2）由（1）知，函数，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
【思路导引】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角恒等变换的化简运算，以及三角函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力.
16．【答案】(1)，；
(2)在上为增函数，证明见解析；
(3)；
【分析】（1）由奇函数的性质可得，结合，解方程可得，的值；
（2）在上为增函数，再由单调性的定义证明，注意运用因式分解和不等式的性质；
（3）由奇函数在上为增函数，可将不等式的两边的“”去掉，解不等式可得所求取值范围.
【详解】（1）由题意，，在中，函数是奇函数，
且，可得即，又因为，则，
所以，，经验证满足题意.
（2）由题意及（1）得， 在上为增函数，证明如下：
在中，
设，则，
因为，所以，，
所以，即，
所以在上为增函数；
（3）由题意，（1）及（2）得，，在中，为奇函数，
所以，所以，即，
所以，解得，
所以的取值范围是.
17．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理化简，再根据三角形中角的范围可求得；
（2）若选①：利用三角形面积关系和余弦定理求得，然后根据面积公式即可；若选②：根据中点的向量关系式并同时平方，结合余弦定理求得，然后根据面积公式即可.
【详解】（1）由正弦定理知：，
又因为，代入上式可得，
，则，所以有，因为又，则，
所以的大小为.
（2）若选①：
由BD平分得：,
则有，即,
在中，由余弦定理可得,
又因为，则有，
联立，
可得，解得（舍去），
所以.
若选②：
可得，，
，可得，
在中，由余弦定理可得，即，
联立，解得，
所以.
18．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据表格提供数据依次求得的值，从而求得解析式；
（2）先利用周期公式求n的值，利用换元法，结合三角函数的图象求得m的取值范围.
【详解】（1）设的最小正周期为T，则T＝2π，由得ω＝1，
又由，解得，
令，
即，解得，
因为，所以，所以.
（2），
因为函数的最小正周期为，且n>0，所以n＝3，
令，由得，
所以由恰有两个不同的解，得有两个交点，
如图所示，当时，且函数图象和有两个交点时，
，
解得.
19．【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意，当点位于点时，角取最大值，得到，当点位于点时，取得最大值，角取最小值，求得，即可求解.
（2）在直角中，求得，在直角中，求得，在中，由勾股定理求得，得到，利用换元法和三角函数的性质，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）由题意，当点位于点时，角取最大值，此时，
因为，所以，
当点位于点时，取得最大值，角取最小值，
由对称性知此时，所以，
所以角的取值范围是.
（2）在直角中，且，所以，
在直角中，且，所以，
在中，由勾股定理得，
因为，所以，所以，
所以，
令，
因为，可得，所以，
又由，可得，
因为函数在区间上单调递减，
当时，，此时，解得，
所以当时，的周长取得最小值，最小值为.
【方法总结】解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为 的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.x
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3
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