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河南省许昌市禹州市高级中学2024-2025学年高一上学期9月月考 数学试题（含解析）
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这是一份河南省许昌市禹州市高级中学2024-2025学年高一上学期9月月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了命题，对于集合，定义，，设，，则，已知，，若，则，集合，，若，则，给出下列关系式，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．命题：的否定是（ ）
A．B．
C．D．
2．若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．对于集合，定义，，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，，若，则（ ）
A．0B．1C．D．
5．集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．给出下列关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）．
A．B．C．D．
8．若，则，就称是和美集合，集合的所有非空子集中是和美集合的个数为（ ）
A．B．C．D．
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9．给出下列四个关系式，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．下列命题正确的是（ ）
A．““是“”的充分不必要条件
B．命题“”的否定是“”
C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设，则“”是“”的必要而不充分条件
11．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．设、是非空集合，定义且.已知，，则 .
13．已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a为实数)．若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是 ．
14．已知集合，则
四､解答题：本题共5小题，15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15．已知集合．
(1)若，求；
(2)若是成立的充分不必要条件，求的取值范围．
16．已知集合.
(1)当时，求；
(2)已知，求实数的取值范围.
17．已知集合，.
(1)若，试求；
(2)若, 求实数的取值范围.
18．设集合，．
在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答．
(1)求，．
(2)若______，求的取值范围．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
(1)若，试证明中还有另外两个元素；
(2)集合是否为双元素集合，并说明理由；
(3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.
1．C
【分析】利用全称量词命题的否定是存在题词命题，再直接写出命题的否定.
【详解】命题：是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题：的否定是：，
故选：C
2．D
【分析】求出不等式的解集，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得.
【详解】依题意，，解不等式，得，
由不等式成立的充分条件是，得，
于是，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
3．C
【分析】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果.
【详解】集合，，
则，，
由定义可得：且，
且，
所以，选项 ABD错误，选项C正确.
故选：C．
4．C
【分析】由两集合相等，元素完全一样，则可列出等式，结合集合中元素满足互异性即可解出答案.
【详解】因为，所以或，解得或或，
又集合中的元素需满足互异性，所以，
则．
故选：C.
5．D
【分析】由可得，从而可求出，然后解方程求出集合A，B，再求两集合的并集
【详解】因为，
所以，
所以，解得，
所以，，
所以 ，
故选：D
6．B
【分析】①空集中不含任何元素，由此可判断①；
②是整数，故可判断②正确；
③通过解方程，可得出，故可判断③；
④根据为正整数集可判断④；
⑤通过解方程，得，从而可判断⑤.
【详解】①，故①错误；
②是整数，所以，故②正确；
③由，得或，所以，所以正确；
④为正整数集，所以错误；
⑤由，得，所以，所以错误.
所以正确的个数有2个.
故选：B.
7．B
【分析】根据关于x的不等式的解集是，利用韦达定理可得，将不等式等价转化为，进而求解.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以的两根是或2，由韦达定理可得：，
所以可转化为，解得或.
所以原不等式的解集为，
故选：B.
8．D
【分析】写出集合的非空子集，根据和美集合的定义验证即可.
【详解】先考虑含一个元素的子集，并且其倒数是其本身，有
再考虑 含有两个元素的和美集合，有，
含有三个元素的子集且为和美集合的是
含有四个元素的子集且为和美集合的是.
【点睛】本题主要考查了集合的子集，考查了创设新情景下解决问题的能力，属于中档题.
9．BD
【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合间的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，因为是实数，所以，错误；
对于B，因为自然数是有理数的一部分，所以，正确；
对于C，因为空集无元素，所以，错误；
对于D，因为空集是任何集合的子集，所以，正确.
故选：BD.
10．ABD
【分析】对于A ，C ，D，根据充分条件、必要条件的概念逐项判断可得答案；对于B，根据全称命题的否定是特称命题可得B正确.
【详解】对于A，当时，，充分性成立；当时，有或，必要性不成立，
所以““是“”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，命题“”的否定是“”，故B正确；
对于C，，则“且时，，充分性成立；时，不能得出且，必要性不成立，
所以“且”是“”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，设，时，不能得出，充分性不成立；“”时，得出，必要性成立，
所以“”是“”的是必要不充分条件，故D正确．
故选：ABD．
11．AD
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论.
【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，
所以选项AD正确，选项CD不正确，
故选：AD.
12．或
【分析】先求出，再求出，从而可求 。
【详解】∵、是非空集合，且，
而，，∴，，
故或.
故答案为：或.
13．
【分析】由充分不必要条件的概念转化为集合真子集的关系求解参数的取值范围即可.
【详解】由已知得¬p：-3≤x≤1，¬q：x≤a．
设，
若¬p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，¬q⇒¬p，
所以集合是集合的真子集.
所以．
故答案为：.
14．
【分析】化简集合A，B，根据交集运算求解.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
15．(1)A∩B=x1≤x≤2
(2)
【分析】（1）求出和集合，进而求出；
（2）根据真子集，即可列不等式求解.
【详解】（1）由得，故，
由得，
因为，故B=x1−m≤x≤1+m，
若，则，所以A∩B=x1≤x≤2；
（2）若是成立的充分不必要条件，则，
则有解得，此时满足，
所以的取值范围是．
16．(1)
(2)
【分析】（1）计算，，再计算并集得到答案.
（2），故，考虑和两种情况，计算得到答案.
【详解】（1）当时，，
，故
（2），故，，
对应方程的根为和，
当时，，；
当时，且，解得.
综上所述：
17．(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合，进而根据并集的定义求解即可；
（2）分，，三种情况讨论求解即可.
【详解】（1）因为，
当时，，
所以.
（2）由，
因为方程的判别式，
所以当，即时，，符合题意；
当，即时，，不符合题意；
当，即时，有，则，无解，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
18．(1)，或
(2)答案见解析
【分析】(1)先化简集合，再根据补集的定义可求；
(2)选①：根据交集的意义可求；选②：根据包含关系的意义可求.
【详解】（1）由，得，由，得，
则
或
（2）选①：当时，，得；
当时，或，得．
故的取值范围为或．
选②：当时，，得；
当时，，得．
故的取值范围为．
19．(1)证明见解析；
(2)不是，理由见解析；
(3).
【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可；
（2）根据条件求出元素间的规律即可；
（3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可.
【详解】（1）由题意得若，则；
又因为，所以；
即集合中还有另外两个元素和.
（2）由题意，若（且），则，则，若则；
所以集合中应包含，故集合不是双元素集合.
（3）由（2）得集合中的元素个数应为3或6，
因为且中有一个元素的平方等于所有元素的积，
所以中应有6个元素，且其中一个元素为，
由结合条件可得，
又因为，所以剩余三个元素和为，即，
解得，
故.
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．命题：的否定是（ ）
A．B．
C．D．
2．若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．对于集合，定义，，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，，若，则（ ）
A．0B．1C．D．
5．集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．给出下列关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）．
A．B．C．D．
8．若，则，就称是和美集合，集合的所有非空子集中是和美集合的个数为（ ）
A．B．C．D．
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9．给出下列四个关系式，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．下列命题正确的是（ ）
A．““是“”的充分不必要条件
B．命题“”的否定是“”
C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设，则“”是“”的必要而不充分条件
11．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．设、是非空集合，定义且.已知，，则 .
13．已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a为实数)．若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是 ．
14．已知集合，则
四､解答题：本题共5小题，15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15．已知集合．
(1)若，求；
(2)若是成立的充分不必要条件，求的取值范围．
16．已知集合.
(1)当时，求；
(2)已知，求实数的取值范围.
17．已知集合，.
(1)若，试求；
(2)若, 求实数的取值范围.
18．设集合，．
在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答．
(1)求，．
(2)若______，求的取值范围．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
(1)若，试证明中还有另外两个元素；
(2)集合是否为双元素集合，并说明理由；
(3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.
1．C
【分析】利用全称量词命题的否定是存在题词命题，再直接写出命题的否定.
【详解】命题：是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题：的否定是：，
故选：C
2．D
【分析】求出不等式的解集，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得.
【详解】依题意，，解不等式，得，
由不等式成立的充分条件是，得，
于是，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
3．C
【分析】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果.
【详解】集合，，
则，，
由定义可得：且，
且，
所以，选项 ABD错误，选项C正确.
故选：C．
4．C
【分析】由两集合相等，元素完全一样，则可列出等式，结合集合中元素满足互异性即可解出答案.
【详解】因为，所以或，解得或或，
又集合中的元素需满足互异性，所以，
则．
故选：C.
5．D
【分析】由可得，从而可求出，然后解方程求出集合A，B，再求两集合的并集
【详解】因为，
所以，
所以，解得，
所以，，
所以 ，
故选：D
6．B
【分析】①空集中不含任何元素，由此可判断①；
②是整数，故可判断②正确；
③通过解方程，可得出，故可判断③；
④根据为正整数集可判断④；
⑤通过解方程，得，从而可判断⑤.
【详解】①，故①错误；
②是整数，所以，故②正确；
③由，得或，所以，所以正确；
④为正整数集，所以错误；
⑤由，得，所以，所以错误.
所以正确的个数有2个.
故选：B.
7．B
【分析】根据关于x的不等式的解集是，利用韦达定理可得，将不等式等价转化为，进而求解.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以的两根是或2，由韦达定理可得：，
所以可转化为，解得或.
所以原不等式的解集为，
故选：B.
8．D
【分析】写出集合的非空子集，根据和美集合的定义验证即可.
【详解】先考虑含一个元素的子集，并且其倒数是其本身，有
再考虑 含有两个元素的和美集合，有，
含有三个元素的子集且为和美集合的是
含有四个元素的子集且为和美集合的是.
【点睛】本题主要考查了集合的子集，考查了创设新情景下解决问题的能力，属于中档题.
9．BD
【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合间的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，因为是实数，所以，错误；
对于B，因为自然数是有理数的一部分，所以，正确；
对于C，因为空集无元素，所以，错误；
对于D，因为空集是任何集合的子集，所以，正确.
故选：BD.
10．ABD
【分析】对于A ，C ，D，根据充分条件、必要条件的概念逐项判断可得答案；对于B，根据全称命题的否定是特称命题可得B正确.
【详解】对于A，当时，，充分性成立；当时，有或，必要性不成立，
所以““是“”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，命题“”的否定是“”，故B正确；
对于C，，则“且时，，充分性成立；时，不能得出且，必要性不成立，
所以“且”是“”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，设，时，不能得出，充分性不成立；“”时，得出，必要性成立，
所以“”是“”的是必要不充分条件，故D正确．
故选：ABD．
11．AD
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论.
【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，
所以选项AD正确，选项CD不正确，
故选：AD.
12．或
【分析】先求出，再求出，从而可求 。
【详解】∵、是非空集合，且，
而，，∴，，
故或.
故答案为：或.
13．
【分析】由充分不必要条件的概念转化为集合真子集的关系求解参数的取值范围即可.
【详解】由已知得¬p：-3≤x≤1，¬q：x≤a．
设，
若¬p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，¬q⇒¬p，
所以集合是集合的真子集.
所以．
故答案为：.
14．
【分析】化简集合A，B，根据交集运算求解.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
15．(1)A∩B=x1≤x≤2
(2)
【分析】（1）求出和集合，进而求出；
（2）根据真子集，即可列不等式求解.
【详解】（1）由得，故，
由得，
因为，故B=x1−m≤x≤1+m，
若，则，所以A∩B=x1≤x≤2；
（2）若是成立的充分不必要条件，则，
则有解得，此时满足，
所以的取值范围是．
16．(1)
(2)
【分析】（1）计算，，再计算并集得到答案.
（2），故，考虑和两种情况，计算得到答案.
【详解】（1）当时，，
，故
（2），故，，
对应方程的根为和，
当时，，；
当时，且，解得.
综上所述：
17．(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合，进而根据并集的定义求解即可；
（2）分，，三种情况讨论求解即可.
【详解】（1）因为，
当时，，
所以.
（2）由，
因为方程的判别式，
所以当，即时，，符合题意；
当，即时，，不符合题意；
当，即时，有，则，无解，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
18．(1)，或
(2)答案见解析
【分析】(1)先化简集合，再根据补集的定义可求；
(2)选①：根据交集的意义可求；选②：根据包含关系的意义可求.
【详解】（1）由，得，由，得，
则
或
（2）选①：当时，，得；
当时，或，得．
故的取值范围为或．
选②：当时，，得；
当时，，得．
故的取值范围为．
19．(1)证明见解析；
(2)不是，理由见解析；
(3).
【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可；
（2）根据条件求出元素间的规律即可；
（3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可.
【详解】（1）由题意得若，则；
又因为，所以；
即集合中还有另外两个元素和.
（2）由题意，若（且），则，则，若则；
所以集合中应包含，故集合不是双元素集合.
（3）由（2）得集合中的元素个数应为3或6，
因为且中有一个元素的平方等于所有元素的积，
所以中应有6个元素，且其中一个元素为，
由结合条件可得，
又因为，所以剩余三个元素和为，即，
解得，
故.
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