湖北省孝感市第一高级中学2024−2025学年高一上学期入学摸底考试 数学试卷（含解析）

这是一份湖北省孝感市第一高级中学2024−2025学年高一上学期入学摸底考试 数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题）
1．一次函数与的图象交点组成的集合是（ ）
A．B．C．D．
2．把分解因式的结果是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A．B．C．D．
4．已集合，若，则实数a的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
5．设三角形的三边,,满足，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．无法确定
6．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知菱形的边长为5，两条对角线交于点，且、的长分别是关于的方程的根，则等于（ ）
A．-3B．5C．5或-3D．-5或3
8．若二次函数的解析式为，且函数图象过点和点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知集合，，下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（ ）
A．10月测试成绩为“优秀”的学生有40人
B．9月体育测试中学生的及格率为
C．从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D．12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多
11．下列选项正确的有（ ）
A．已知，则代数式.
B．已知，则.
C．若，，，则.
D．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是9.
三、填空题（本大题共3小题）
12．若关于的分式方程的解为整数，则整数 ．
13．定义运算，若集合，则 .
14．抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点，下列四个结论：
①一元二次方程的根为；
②若点，在该抛物线上，则；
③对于任意实数t，总有；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论是 （填写序号）．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知集合，其中.
（1）1是中的一个元素，用列举法表示；
（2）若中有且仅有一个元素，求实数的组成的集合；
（3）若中至多有一个元素，试求的取值范围.
16．已知集合，．
(1)当时，求集合；
(2)若，求实数的取值范围．
17．（1）求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的的值；
（2）已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值.
18．已知关于的一元二次方程.
(1)判断方程根的情况；
(2)若方程的两根、满足，求值；
(3)若的两边、的长是方程的两根，第三边的长为5，
①则为何值时，是以为斜边的直角三角形？
②为何值时，是等腰三角形，并求出的周长.
19．定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点，作该函数图象中点及点右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点及点右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为.
(1)函数关于直线的“迭代函数”的解析式为______．
(2)若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则______．
(3)已知正方形的顶点分别为：，，，，其中．
①若函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，求a的值；
②若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【分析】联立两函数方程求出交点，用点的集合表示即可.
【详解】因为，解得，
所以两函数图象交点组成的集合为.
故选C.
2．【答案】D
【分析】观察发现：代数式的第一、三、四项作为一组，符合完全平方公式，然后运用平方差公式继续分解．
【详解】．
故选D．
3．【答案】A
【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可．
【详解】由已知得，由图象可知阴影部分对应的集合为，．
故选A.
4．【答案】C
【分析】利用子集的定义即可求解.
【详解】，
∴当时，，满足；
当时，若，则时，时，．
的取值集合是．
故选C．
5．【答案】A
【分析】根据完全平方公式可得，即可求解.
【详解】由可得，
进而可得，
故三角形为直角三角形，
故选A.
6．【答案】B
【分析】将集合中的式子通分成分母为3的式子，然后可判断出答案.
【详解】由题意得，，
而表示整数，表示被3除余2的整数，
故，则，
故选B．
7．【答案】A
【分析】由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AO2+BO2＝25，再根据根与系数的关系可得：AO+BO＝-2m+1，AO•BO＝m2+3；代入AO2+BO2中，得到关于m的方程后，求得m的值．
【详解】由直角三角形的三边关系可得：AO2+BO2＝25，又有根与系数的关系可得：AO+BO＝﹣2m+1，AO•BO＝m2+3，∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO•BO＝（-2m+1）2-2（m2+3）＝25，整理得：m2﹣2m﹣15＝0，解得：m＝﹣3或5．
又∵△＞0，∴（2m﹣1）2﹣4（m2+3）＞0，解得m，∴m＝﹣3，
故选A．
【关键点拨】将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
8．【答案】A
【分析】由二次函数解析式可求得对称轴为，进而可得，由函数图象过点，可得，可求的取值范围.
【详解】因为二次函数的解析式为，
所以二次函数的对称轴为，
函数图象过点和点，故点和点关于直线对称，
所以，所以，
又，
当，，当，，所以.
故选A.
9．【答案】BD
【解析】化简集合A,B,再逐项判断即可得解.
【详解】化简得，，
所以，
所以，，
故选BD．
10．【答案】CD
【分析】通过统计图一一分析选项即可.
【详解】由图易知全体学生有人，
而10月测试成绩为“优秀”的学生占，即有50人，故A错误；
9月体育测试中学生的及格及以上人数为人，占比为，即及格率为，故B错误；
由第二个图可知优秀率递增，且12月比11月增长，11月比10月增长，显然C,D正确.
故选CD.
11．【答案】BC
【分析】求出x值并代入计算判断A；求出，变形计算判断B；求出，变形代入计算判断C；利用韦达定理计算判断D.
【详解】对于A，由，得，则，A错误；
对于B，由，得，则，B正确；
对于C，依题意，，则
，C正确；
对于D，令直角三角形的二直角边长分别为，依题意，，
所以该直角三角形斜边长为，D错误.
故选BC.
12．【答案】
【分析】由分式方程有意义可知且，再化简方程求解，由均为整数可求.
【详解】则方程可知，且.
方程可化为，即，
解得，由且，所以且.
由为整数，且为整数，
则当，，或当，时满足题意.
所以.
故答案为：.
13．【答案】
【分析】根据给定运算，利用列举法计算即得.
【详解】依题意，由，当时，，则，
当时，，则，当时，，则，
所以.
故答案为：.
14．【答案】①③
【分析】根据题目已知条件分别对各个结论进行运算验证即可得出答案.
【详解】抛物线 经过 两点,
一元二次方程 的根为 , 则结论①正确;
抛物线的对称轴为
时的函数值与 时的函数值相等,
,当 时, 随的增大而减小,
又 ,
, 则结论②错误;
当 时, ,
则抛物线的顶点的纵坐标为, 且 ,
将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为
,
由二次函数图象特征可知,
，的图象位于轴的下方, 顶点恰好在轴上，即恒成立,
则对于任意实数, 总有 , 即 , 结论③正确;
将抛物线 向下平移 个单位长度得到的二次函数解析式为,
函数对应的一元二次方程为 , 即 ,
因此, 若一元二次方程 的根为整数,
则其根只能是 或 , 或 , 对应的值只有三个, 则结论④错误；
故答案为：①③.
【关键点拨】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数图象的平移问题、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握并灵活运用二次函数的图象与性质是解题关键.
15．【答案】（1）；（2） ；（3）或.
【分析】（1）若1∈A，则a＝﹣3，解方程可用列举法表示A；
（2）若A中有且仅有一个元素，分a＝0，和a≠0且△＝0两种情况，分别求出满足条件a的值，可得集合B．
（3）集合A中至多有一个元素包括有两种情况，①A中有且仅有一个元素，②A中一个元素也没有，分别求出即可得到a的取值范围．
【详解】（1）∵1是A的元素，∴1是方程ax2+2x+1＝0的一个根，
∴a+2+1＝0，即a＝﹣3，
此时A＝{x|﹣3x2+2x+1＝0}．
∴，，∴此时集合；
（2）若a＝0，方程化为x+1＝0，此时方程有且仅有一个根，
若a≠0，则当且仅当方程的判别式△＝4﹣4a＝0，即a＝1时，
方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素，
∴所求集合B＝{0，1}；
（3）集合A中至多有一个元素包括有两种情况，
①A中有且仅有一个元素，由（2）可知此时a＝0或a＝1，
②A中一个元素也没有，即A＝，此时a≠0，且△＝4﹣4a＜0，解得a＞1，
综合①②知a的取值范围为{a|a1或a＝0}
16．【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）由补集的定义即可得出答案；
（2）由，得，讨论和，列出不等式求得结果.
【详解】（1）集合，当时，，
所以．
（2）由，得．
①当时，则有，解得：，符合题意；
②当时，则有，解得：．
综合①②可得：实数的取值范围为或．
17．【答案】（1）（2）或.
【分析】（1）化成顶点式，得到对称轴，根据二次函数性质即可得到最值；
（2）先求出对称轴，再分和讨论即可.
【详解】（1）把二次函数解析式配成顶点式, 得：
，
因为，所以抛物线开口方向向上，对称轴是，
所以顶点的纵坐标即为最小值是，
而当时，函数值最大，
所以最大值是.
综上当，；当，.
（2）
当时，不符合最大值为4，不合题意；
所以其对称轴为，
①当时，其图象开口向上，此时离对称轴更远，
所以当时有最大值，最大值为，，解得；
②当，其图象开口向下，
则当时函数有最大值，最大值为，
，解得.
综上所述的值为或.
18．【答案】(1)方程有两个不相等的实数根
(2)或
(3)①；②答案见解析
【分析】（1）根据判别式即可求解，
（2）根据韦达定理即可代入求解，
（3）根据因式分解可得，，即可结合勾股定理以及等腰关系求解.
【详解】（1）在方程中，,方程有两个不相等的实数根．
（2）由题知：，.
变形为
．得或.
（3）．
，，则．
①不妨设，，
斜边时，有，即，
解得，，为负，舍去）.
当时，是直角三角形；
②，，，由（1）知
故有两种情况：
当时，，则，，
，5，5满足任意两边之和大于第三边，此时的周长为；
当时，，，，
，5，5满足任意两边之和大于第三边，此时的周长为.
综上可知：当时，是等腰三角形，此时的周长为14；当时，是等腰三角形，此时的周长为16.
19．【答案】(1)；
(2)或，
(3)①；②.
【分析】(1)取点，，求两点关于的对称点，利用待定系数法求左侧图象的解析式，由此可得结论；
(2)判断点与函数的图象的关系，再求关于直线的对称点，由条件列方程求即可；
(3)①求函数关于直线的“迭代函数”的解析式，作函数图象，观察图象确定的值；
②分别在，，时求函数关于直线的“迭代函数”解析式，讨论，由条件确定的范围.
【详解】(1)在函数的图象上位于右侧的部分上取点，，
点关于直线的对称点为，
点关于直线的对称点为，
设函数，的图象关于对称的图象的解析式为，
则，解得，
所以函数关于直线的“迭代函数”的解析式为；
(2)取可得，，
故函数的图象不过点，
又点关于直线的对称点为，
由已知可得，，
所以或，
(3)①当或时，函数关于直线的“迭代函数”的图象的解析式为，
当时，设点在函数关于直线的“迭代函数”的图象上，
则点在函数的图象上，
所以，
所以函数关于直线的“迭代函数”的解析式为，
作函数关于直线的“迭代函数”的图象如下：
观察图象可得时，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，
②若，当时，函数关于直线的“迭代函数”的图象的解析式为，
当或时，设点在函数关于直线的“迭代函数”的图象上，
则点在函数的图象上，
所以，
所以函数关于直线的“迭代函数”的解析式为，
当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得，
函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点，
当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得，
函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点，
当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得，
函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点，
当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得，
函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点，
当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得，
函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点，
当时，函数关于直线的“迭代函数”的解析式为，
作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得，
函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点，
若，当或时，函数关于直线的“迭代函数”的图象的解析式为，
当时，设点在函数关于直线的“迭代函数”的图象上，
则点在函数的图象上，
所以，
所以函数关于直线的“迭代函数”的解析式为，
当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得，
函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点，
当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得，
函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点，
当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得，
函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点，
当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得，
函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点，
当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得，
函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点，
当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得，
函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点，
当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得，
函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点，
当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得，
函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点，
当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得，
函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点，
综上，的取值范围为.