湖南省怀化市湖天中学2024−2025学年高一上学期入学考试 数学试卷（含解析）

这是一份湖南省怀化市湖天中学2024−2025学年高一上学期入学考试 数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题）
1．下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如果，则的值是（ ）
A．2B．1C．D．
4．已知点都在抛物线上，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知关于的一元二次方程中，为实数，则该方程解的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
6．满足的的个数为（ ）
A．0B．2C．3D．多于3个
7．已知关于的不等式的解也是不等式的解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．以上都不正确
8．在上定义运算“”：，则满足的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题）
9．使式子有意义的的取值范围是 .
10．分解因式： .
11．方程的两根为，且，则 .
12．将4张长为、宽为的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积之和为，阴影部分的面积之和为，若，则的值为 .

三、解答题（本大题共4小题）
13．计算；
(1)
(2)先化简，再求值：，其中.
14．河南某中学准备在感恩节向全校学生征集书画作品，美术田老师从全校随机抽取了四个班级记作、、、，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图2.

(1)田老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？
(2)请把图2的条形统计图补充完整.
(3)若全校参展作品中有五名同学获奖，其中有二名男生、三名女生.现在要在其中抽三名同学去参加学校书画座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生、两名女生的概率.
15．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于两点.

(1)求反比例函数和一次函数的关系式；
(2)设直线交轴于点C，点分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形是平行四边形，求点的坐标.
16．函数（为常数，）.

(1)求出此函数图象的顶点坐标（用含a的式子表示）；
(2)当时，此函数图象交轴于点A，B（点A在点B的左侧），交轴于点C，点P为轴下方图象上一点，过点P作轴交线段BC于点Q，求线段PQ的最大值；
(3)点，，连接MN，当此函数图象与线段MN恰有两个公共点时，求出的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【分析】举反例可判断A；利用指数的运算性质可判断BC；根据完全平方关系可判断D.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选C.
2．【答案】A
【分析】先解不等式组，再进行判断即可.
【详解】由.
故选A.
3．【答案】B
【分析】利用完全平方公式展开做差可得答案.
【详解】，
，
得，
可得.
故选B.
4．【答案】C
【分析】将横坐标代入计算出的值即可比较出它们的大小.
【详解】根据题意可知；
；
；
显然，即；
故选C.
5．【答案】B
【分析】判断的符号，进而判断根的个数.
【详解】因为，
所以关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
故选B.
6．【答案】D
【分析】分、、讨论去绝对值可得答案.
【详解】当时，方程化简为，得（不符合题意的解要舍去），
当时，，有无数个；
当时，方程化简为，解得；
综上所述：有无数个.
故选D.
7．【答案】C
【分析】先解不等式可得，然后结合条件可得，且，即可得出答案.
【详解】由，解得，对于不等式，
若，则不等式的解集为，若，则不等式的解集为，
又不等式的解也是不等式的解，
所以，且，
所以.
故选C.
8．【答案】B
【分析】根据规定的新定义运算法则化简不等式，然后直接求解一元二次不等式就可以得到正确答案
【详解】根据给出在R上定义运算，
由得，解之得，
故该不等式的解集是．
故选B.
9．【答案】
【分析】根据二次根式被开方数非负和分式的分母不能为0，求得的取值范围.
【详解】要使式子有意义，须有.
故答案为：.
10．【答案】
【分析】根据十字相乘法和提公因式法因式分解即可.
【详解】
.
故答案为：.
11．【答案】-3
【分析】根据根与系数的关系即可求得答案.
【详解】∵方程的两根为，
∴，，
由题意得：；，
∵，∴，，故，
故答案为：-3.
12．【答案】3
【分析】根据题意可知内层正方形的边长为，可得，，结合题意列式求解即可.
【详解】由题意可知：内层正方形的边长为，
则空白部分的面积之和为，
阴影部分的面积之和为，
若，即，
整理可得，解得或，
且，可知，所以.
故答案为：3.
13．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数运算、根式运算、三角函数等知识求得正确答案.
（2）化简代数式，进而求得正确答案.
【详解】（1）原式.
（2）原式，
当时，原式.
14．【答案】(1)15件；
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据B班有5件作品，且对应的圆心角为求解；
（2）结合（1）根据总件数和A，B，D班的件数求解；
（3）利用古典概型的概率求解.
【详解】（1）（件），
即田老师抽查的四个班级共征集到作品15件；
（2）C班级的作品数为：（件），
把图2的条形统计图补充完整如下：

（3）恰好抽中一名男生、两名女生的概率，即为不参加学校书画座谈会的获奖选手为一名男生、一名女生的概率.
不参加学校书画座谈会的获奖选手情况画树状图如下：

共有20种等可能的结果，恰好一名男生、一名女生不参加学校书画座谈会的结果有12种，
∴恰好抽中一名男生、两名女生的概率为.
15．【答案】(1)反比例函数：；一次函数：
(2)或
【分析】（1）根据在反比例函数上，可求的值，在根据在一次函数上，可求.
（2）根据四边形是平行四边形，可确定坐标的关系，再根据在反比例函数的图象上，可求的坐标.
【详解】（1）因为过点，所以，所以反比例函数的关系式为：.
因为点在上，所以.
由，所以一次函数的关系式为：.
（2）如图：

令，则，所以点坐标为.
因为点在一次函数上，可设点坐标为，又四边形为平行四边形，所以点坐标为.
又在上，所以，所以点坐标为或.
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据抛物线方程直接求解即可，
（2）由二次函数解析求出三点的坐标，则可求出直线的方程，设，则，然后表示出，化简后利用二次函数的性质可求出其最大值，
（3）由题意可得轴，然后分和两种情况分析讨论即可
【详解】（1）为常数，，
函数图象的顶点坐标为.
（2）当时，，
当时，，即，
当时，，
即，解得或，
点在点的左侧，，
设直线表达式为，则，
解得
，
点为轴下方图象上一点，过点作轴交线段于点，设，则，其中，
，
，
二次函数图象开口向下，当时，函数有最大值为，
的最大值为.
（3）点纵坐标相等，
连接后，轴，
根据题意，分两种情况：
①当时，抛物线开口向上，
∴，解得，
函数图象与线段恰有两个公共点
∴有两个不相等的实数根，
即有两个不相等的实数根，
，
，则，即，
此种情况不存在.

②当时，抛物线开口向下，
∴，解得，
函数图象与线段恰有两个公共点，
∴有两个不相等的实数根，
即有两个不相等的实数根，
，
，则，即，

综上所述，当此函数图象与线段恰有两个公共点时，的取值范围是.
【关键点拨】此题考查抛物线的综合问题，考查二次函数最值的求法，第（3）问解题的关键是表示出线段的方程与抛物线方程联立，化简后再利用判别式大于零可求得结果，考查计算能力，属于较难题.