湖南省怀化市铁路第一中学2024−2025学年高一上学期入学分班考试 数学模拟卷（含解析）

这是一份湖南省怀化市铁路第一中学2024−2025学年高一上学期入学分班考试 数学模拟卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题）
1．已知是任意有理数，在下面各说法中：
（1）方程的解是；（2）方程的解是；
（3）方程的解是；（4）方程的解是．
结论正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．B．C．D．
3．设三角形的三边,,满足，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．无法确定
4．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点在轴上，点,,,,,,在轴上．若正方形的边长为1，，，则点到轴的距离是（ ）

A．B．C．D．
5．如图，是函数图象上一点，直线分别交轴、轴于点,，作轴于点，交于点，作轴于点，交于点．则的值为（ ）
A．2B．C．1D．
6．二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，点是该抛物线上一点，若点,是抛物线上任意一点，有下列结论：
①；
②若，则；
③若，则；
④若方程有两个实数根和，且，则．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．已知,是一元二次方程的两个不相等的实数根，,是一元二次方程的两个不相等的实数根，其中．若，则的值为（ ）
A．8B．9C．12D．18
8．如图，正方形边长为4，点，分别在边，上，且满足，，交于点，，分别是，的中点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（ ）
A．10月测试成绩为“优秀”的学生有40人
B．9月体育测试中学生的及格率为
C．从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D．12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多
10．下列函数中，当时，函数值随的增大而增大依次是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，点是正方形对角线上一点（不与点，点重合），点是正方形的外角的角平分线上一点，且，连接，．下列说法正确的是（ ）
A．当点是的中点时，四边形是平行四边形
B．的值为常数
C．当时，
D．当时，
三、填空题（本大题共3小题）
12．，，，这四个数中最小的数是 .
13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点．若的顶点均是格点，则的值是 ．

14．如图，点，，均在坐标轴上，，过，，作，是上任意一点，连结，，则的最大值是 ．

四、解答题（本大题共5小题）
15．（1）解方程
（2）先化简，再求值：，其中，满足．
16．如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车与水面分别交于点，，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．
(1)浮出水面2.5秒后，盛水筒距离水面约多高？
(2)若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，已知，求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽中（即点恰好在直线上）？
（参考数据，，)
17．已知关于的一元二次方程.
(1)判断方程根的情况；
(2)若方程的两根、满足，求值；
(3)若的两边、的长是方程的两根，第三边的长为5，
①则为何值时，是以为斜边的直角三角形？
②为何值时，是等腰三角形，并求出的周长.
18．如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为2，，
①求的面积；
②点为上一点，连接交半径于点，若，求的长．
19．若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”．
(1)函数①；②；③，其中函数 是在上的“美好函数”；（填序号）
(2)已知函数．
①函数是在上的“美好函数”，求的值；
②当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值；
(3)已知函数，若函数是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数，使得，求的值．
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据一元一次方程的求解，结合对分类讨论即可求解.
【详解】当时，方程的解是；故（1）错误，
由方程可得，故时，解是；当时，方程的解为一切实数，故（2）错误，
当时，方程无解，故（3）错误，
当时，方程为，故解为，
当时，方程为，故解为，当时，方程的解为一切实数，故（4）错误，
故选A.
2．【答案】D
【分析】根据一元一次不等式组的求解可得，进而根据分式方程可得，即可根据非负整数解求解.
【详解】，
解不等式①得，解不等式②得，
不等式组的解集为，，，
，，
解得，
分式方程有非负整数解，
且，
且，
综上所述：且，
符合条件的所有整数的值为：，，
符合条件的所有整数的值的和为：，
故选D．
3．【答案】A
【分析】根据完全平方公式可得，即可求解.
【详解】由可得，
进而可得，
故三角形为直角三角形，
故选A.
4．【答案】D
【分析】由已知可得，然后利用特殊角的三角函数依次求出各正方形边长，如图，过延长正方形的边交轴于，过作轴于，求出即可.
【详解】因为，，
所以，
因为正方形的边长为1，
所以，
，
，
，
所以，
如图，过延长正方形的边交轴于，过作轴于，
则，
所以.
故选D.

5．【答案】C
【分析】根据点坐标可得，坐标，进而可得，，，即可求解.
【详解】的坐标为，且，，
的坐标为，点的坐标为，
，
在直角三角形中，，三角形是等腰直角三角形），
，
点的坐标为，，
同理可得出点的坐标为，
，，
，即．
故选C.
6．【答案】B
【分析】根据二次函数的性质以及图象可得，即可代入求解①,根据图象以及对称性即可求解②③④。
【详解】由题意可知：，故，
对于①，；故①正确，
对于②,由于对称轴为，对应的函数值均为，因此若，则或；故②错误，
对于③,若，则；因此③错误，
对于④,设，则其图象关于对称，且和是函数与轴交点的横坐标，故当时，则，④正确
故选B.
7．【答案】D
【分析】根据根与系数的关系；二次函数的图象；抛物线与轴的交点，即可结合函数图象求解.
【详解】将方程和转化成函数和，
如图所示，两条抛物线都交于点，
，
，
两条抛物线的对称直线的值为和，
，
，，
将点代入得．
故选D．
8．【答案】C
【分析】先利用正方形的性质判定，从而得出P的轨迹为圆，取中点O，连接，在线段上取，结合相似三角形的判定得出，根据三角形三边关系及勾股定理计算即可.
【详解】
如图所示，易证，则，
所以，则，
即P点在以为直径的半圆上运动，
取中点O，连接，在线段上取，作于L点，
易知，，
则有，所以，即，
所以.
故选C.
9．【答案】CD
【分析】通过统计图一一分析选项即可.
【详解】由图易知全体学生有人，
而10月测试成绩为“优秀”的学生占，即有50人，故A错误；
9月体育测试中学生的及格及以上人数为人，占比为，即及格率为，故B错误；
由第二个图可知优秀率递增，且12月比11月增长，11月比10月增长，显然C,D正确.
故选CD.
10．【答案】BC
【分析】利用一次函数、反比例函数的性质逐项判断即得.
【详解】对于A，函数中，，函数值随的增大而减小，A错误；
对于B，函数中，，函数值随的增大而增大，B正确；
对于C，函数的图象由函数的图象左移1个单位而得，
而当时，函数的函数值随的增大而增大，
因此当时，函数的函数值随的增大而增大，C正确；
对于D，当时，反比例函数的函数值随的增大而减小，D错误.
故选BC.
11．【答案】ABC
【分析】根据平行四边形的判定定理即可求解A,根据三角形全等，即可求解B，根据三角形的边角关系，角平分线以及内角和关系即可求解CD.
【详解】对于A．当点是的中点时，，，
，
，
四边形是平行四边形，故A正确；
对于B．连接，，
，，，
，
同理可证：，
，，
，
为等腰直角三角形，
，故B正确；
对于C．当时，
，
，
，
，
，
，
，故C正确；
对于D．当时，
，
，，
，
，
，故D错误，
故选ABC．
12．【答案】
【分析】利用幂的运算性质将这4个数化为同指数幂，然后比较底的大小即可.
【详解】因为，，
，，
又因为，
所以最小，即最小.
故答案为：.
13．【答案】
【分析】根据等面积法可得，即可由勾股定理求解，进而根据锐角三角函数即可求解.
【详解】过作，如图，连接,
,,
由等面积法可得,
解得,
故
故答案为：.

14．【答案】6
【分析】根据勾股定理可得，，即可根据为的直径时，最大，的值最大求解.
【详解】连接，，，

设，
，是的直径，
，
，，，，
，，
，
，
当为的直径时，最大，的值最大，
，
的最大值，
故答案为：6．
15．【答案】（1）；（2），
【分析】（1）根据因式分解即可求解，
（2）根据分式的运算性质即可化简求解.
【详解】（1）∵，
∴，
则或，
解得．
（2）
，
，，
当，时，原式．
16．【答案】(1)
(2)6.5秒
【分析】（1）根据锐角三角函数即可求解，
（2）根据三角形的边角关系，结合锐角三角函数即可求解.
【详解】（1）连接，，过点作，垂足为，如图：
由题意得，筒车每秒转，
盛水简浮出水面2.5秒后，此时，
，，
，
，
在中，，
，
此时盛水简距离水面的高度．
（2）如图，因为点在上，且与相切，所以当在直线上时，此时是切点，
连接，所以，
在中，，
．
在中，，
，
，
需要的时间为（秒，
从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒恰好在直线上．
17．【答案】(1)方程有两个不相等的实数根
(2)或
(3)①；②答案见解析
【分析】（1）根据判别式即可求解，
（2）根据韦达定理即可代入求解，
（3）根据因式分解可得，，即可结合勾股定理以及等腰关系求解.
【详解】（1）在方程中，,方程有两个不相等的实数根．
（2）由题知：，.
变形为
．得或.
（3）．
，，则．
①不妨设，，
斜边时，有，即，
解得，，为负，舍去）.
当时，是直角三角形；
②，，，由（1）知
故有两种情况：
当时，，则，，
，5，5满足任意两边之和大于第三边，此时的周长为；
当时，，，，
，5，5满足任意两边之和大于第三边，此时的周长为.
综上可知：当时，是等腰三角形，此时的周长为14；当时，是等腰三角形，此时的周长为16.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据三角形的边角关系可证明，即可求证，
（2）根据三角形相似，可得线段成比例，即可求解.
【详解】（1）连接，如图，

为的直径，，
．
，
，
，
，
，
，
．
为的半径，
是的切线；
（2）①，，
,，故，
．
，，
设，则．
，，
，．
，．
为的直径，，
的面积；
②，
，
，，
，
，
．
，，
,，
．
19．【答案】(1)①
(2)①或；②或
(3)
【分析】（1）根据“美好函数”的定义逐个分析判断即可；
（2）①分和两种情况求出二次函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值；②求出二次函数的对称轴，然后分，，和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值；
（3）由二次函数的性质可知当时，随的增大而增大，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出.
【详解】（1）对于①，
当时，，当时，，
∴，符合题意；
对于②，
当时，，当时，，
∴，不符合题意；
对于③，
当时，，当时，，
∴，不符合题意；
故答案为：①；
（2）①二次函数对称轴为直线，
当时，，当时，，
当时，则当时，随的增大而增大，
，
，
当时，则当时，随的增大而减小，
，
，
综上所述，或；
②二次函数为，对称轴为直线，
当，，
当时，，
当时，．
若，则，解得（舍去）；
若，则，解得（舍去），；
若，则，解得，（舍去）；
若，则，解得（舍去）．
综上所述，或；
（3）由（2）可知，二次函数对称轴为直线，
又，
，
，
当时，随的增大而增大，
当时取得最大值，时取得最小值，
∴
，为整数，且，
，即的值为5，
又∵，
，
．