吉林省延边第二中学2023-2024学年高一上学期10月第二次阶段检测 数学试题（含解析）

这是一份吉林省延边第二中学2023-2024学年高一上学期10月第二次阶段检测 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高一年级数学试卷
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确）
1．已知集合，，则=（ ）
A．B．C．D．
2．函数的零点一定位于下列哪个区间（ ）
A．B．C．D．
3．我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种度量角的制度，叫做面度制.在面度制下，若角的面度数为，则角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
4．给出下列函数，其中是指数函数的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知幂函数的图像关于轴对称，则等于（ ）
A．1B．2C．1或2D．3
6．已知，则下列各式中值为的是（ ）
A．B．
C．D．
7．拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费（单位：元）由函数表示，其中是不小于m的最小整数，例如，，那么从甲地到乙地通话5.5分钟的话费为（ ）
A．3.71元B．4.24元C．4.7元D．7.95元
8．已知是定义在上的奇函数,当时,,函数,如果对于任意,存在,使得,则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.全选对5分，选不全2分）
9．下列结论错误的是（ ）
A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则
10．下列命题中正确的是（ ）
A．若角是第三象限角，则可能是第三象限角
B．若角的终边过点，则的值是
C．若，则为第一象限角或第二象限角
D．若，且，则
11．在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．函数的最小值为
C．函数的零点是，
D．，
12．下列命题错误的是（ ）
A．已知函数，则不等式的解集为
B．函数在单调递减，且为奇函数，，则满足的取值范围是
C．若在单调递减，则
D．已知函数，则
三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸上）
13．已知是第四象限角，且，那么tanθ的值为
14．已知函数，若，则 .
15．若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .
16．已知函数且.若存在，使得不等式对于任意的恒成立，求实数的最小值为
四、解答题（共6小题，17题10分，18、19、20、21、22题各12分，请写出必要的解答过程）
17．已知不等式的解集为，不等式的解集为.
(1)求；
(2)若不等式的解集为，求不等式的解集．
18．已知角的终边上一点，且．
(1)计算及；
(2)求的值．
19．已知函数，且.
(1)求a的值及的定义域；
(2)求不等式的解集.
20．已知函数在区间上的最小值为3．
(1)求的值及函数的单调递减区间；
(2)求使成立的的取值集合．
21．我们一般使用分贝（符号是）来表示声音强度（瓦/平方米，符号是）的等级，强度为的声音对应的等级为，科学研究表明，它们满足关系：，其中为修正系数（常数），为普通人能听到的声音的最小强度（常数），清晨时风吹落叶的沙沙声其强度为，上学高峰时汽车川流不息声音强度达到，经某科技爱好者用分贝测试仪测得声音等级分别为和.
(1)求与的值，并求当测得同学们早读声音等级为时，早读的声音强度；
(2)某天上午体育课进行了测试，同学们非常疲倦，午间教室非常安静，比平常降低了，求平常中午的声音强度是这天中午声音强度的多少倍？
22．已知函数､的表达式为，且，
（1）求函数的解析式；
（2）若在区间上有解，求实数的取值范围；
（3）已知，若方程的解分别为､，方程的解分别为､，求的最大值.
1．C
【分析】化简集合，结合交集定义求结论.
【详解】化简可得，
，
所以，
故选：C.
2．B
【分析】利用零点的存在性定理进行分析判断即可.
【详解】在上为单调递增函数，
又，故，
所以的零点一定在内.
故选：B.
3．D
【分析】根据面度数的定义，结合扇形的面积公式可求得角的弧度数，继而可求得答案.
【详解】设角所在的扇形的半径为，面积为，
则由题意可得，解得，
所以，
故选：D
4．D
【分析】利用指数函数的定义逐个选项分析即可.
【详解】对于A，是幂函数，故错误，
对于B，显然前面系数不为1，故错误，
对于C，显然前面系数不为1，故错误，
对于D，符合指数函数定义，故正确.
故选：D
5．A
【分析】根据幂函数以及幂函数的对称性确定正确答案.
【详解】由于函数是幂函数，所以，解得或.
当时，，是偶函数，图像关于轴对称，符合题意.
当时，，是奇函数，图像不关于轴对称，不符合题意.
所以的值为.
故选：A
6．C
【分析】根据诱导公式求解即可.
【详解】对A，，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，故D错误.
故选：C
7．B
【分析】首先利用是不小于m的最小整数求出，再直接代入
即可求出结论.
【详解】由是大于或等于m的最小整数可得，
所以.
故选B.
【点睛】本题涉及到了对新定义的考查，解决本题的关键在于对是不小于m的最小整数的理解和应用，求出.
8．A
【分析】根据奇函数的性质,求得函数解析式,并作出草图,得函数的值域. 对于,用换元法转化为二次函数,并结合二次函数的性质,可得另一函数的值域.结合题意,明确两个值域的包含关系,列出不等式组,可得答案.
【详解】由为奇函数,且定义域为,则,则,,
设时,则,则,又,则,,
可得,根据指数函数的图象以及函数图象变换,可得：
由图象可得的值域为,
由,令,由,则,
则,
由题意可得,则,解得.
故选：A.
9．AB
【分析】举反例判断A，B，利用不等式性质判断C，D.
【详解】取可得，，但，A错误；
取可得，，但，B错误；
因为，又，所以，故，C正确；
由，可得，所以，D正确；
故选：AB.
10．AB
【分析】对A：由的范围求出的范围判断；对B：根据三角函数定义计算即可；对C：根据三角函数定义即可判定；对D：由同角三角函数基本关系计算即可.
【详解】对A：若角是第三象限角，即，，
所以，，
当时，，所以可能为第三象限角，故正确；
对B：若角的终边过点，则，故正确；
对C：若，由三角函数定义可知，角终边在轴上方，故错误；
对D：，因为，解得，
所以，故错误.
故选：AB
11．ABD
【分析】解分式不等式判断A，根据指数函数的性质判断B，求出函数的零点判断C，根据指数函数、幂函数的单调性判断D.
【详解】对于A，因为，所以，等价于，
解得，所以不等式的解集是，故A正确；
对于B，因为，所以，
即函数的最小值为，当且仅当时取得最小值，故B正确；
对于C，由，解得或，
所以函数的零点是和，故C错误；
对于D，因为在定义域上单调递减，当时，
所以当时；
在定义域上单调递增，且当时，
所以当时；
所以，，故D正确.
故选：ABD
12．BCD
【分析】先判断是偶函数，然后结合单调性求解函数不等式判断A，分类讨论法结合单调性法求解函数不等式判断B，举反例判断C，逐次求解函数值判断D即可.
【详解】因为且的定义域为，
所以即为偶函数.
当时,由复合函数单调性得单调递增,且
由可得
即所以即
所以解得故A正确，
由已知得使不等式成立的x满足
或，因为为奇函数.且
所以，将的图象向右平移个单位后，由得
又，即
所以满足的范围为
同理，满足的范围为
综上，的取值范围为 故B错误，
当时，此时，
令内函数为，它开口向上，对称轴为，
显然在上单调递减，
令，解得，定义域符合，
而外函数为此时单调递增，
故复合函数在上单调递减，
得到当时，在上单调递减，
但不在中，故C错误，
而，令则，
故D错误，
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数，解题关键是进行分类讨论，然后表利用单调性求解函数不等式，得到所要求的取值范围即可．
13．##
【分析】根据同角三角函数的关系式，结合象限角的性质，可得答案.
【详解】由是第四象限角，则，.
故答案为：.
14．5
【分析】由奇函数相关性质可得答案.
【详解】根据题意，即.
所以.
故答案为：5
15．
【分析】合理构造目标式，利用基本不等式求出最值，得到，再求解参数范围即可.
【详解】若关于的不等式恒成立，则，
因为，故，
当且仅当时取等，故得，解得.
故答案为：
16．6
【分析】利用给定的角度范围结合换元法得到，再利用分离参数法求解的取值范围，最后得到最小值即可.
【详解】因为，故有最大值10，
故存在，成立，令因为所以
即存在时，成立，即令，
易知函数的图象开口向下，对称轴为
又则可得，故实数的最小值为6.
故答案为：6.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数，解题关键是进行换元，然后得到，再使用分离参数法得到，最后得到的取值即可.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，分别求得集合，结合集合交集的运算，即可求解；
（2）根据题意，得到即和时方程的两根，列出方程组求得的值，结合一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】（1）解：由不等式，即，解得，即，
又由，解得，即，
根据集合交集的运算，可得.
（2）解：由题意得，不等式的解集为，
即和时方程的两个实数根，
可得，解得，
所以不等式，即为，即，
因为，所以不等式的解集为，
即不等式的解集为.
18．(1)，
(2)
【分析】(1)借助三角函数定义求得，进而可求；
(2)先用诱导公式化简，再结合商数关系进行求解即可.
【详解】（1）角的终边上一点，且,
则在第四象限，
，
（2）
19．(1)
(2)
【分析】（1）先根据得到，进而由真数大于0得到不等式，求出定义域；
（2）不等式变形得到，结合对数函数单调性和真数大于0得到不等式组，求出不等式的解集.
【详解】（1）因为，解得.
由题意可得，解得，故的定义域为.
（2）不等式等价于，
即，
由于在上单调递增，
则，解得.
故不等式的解集为.
20．(1)；
(2)
【分析】（1）利用三角函数最值的性质建立方程求解参数，再利用整体代入法求解单调区间即可.
（2）利用三角函数性质求解三角不等式即可.
【详解】（1），，
，
的最小值为，而，
，
，
由，解得，
故的单调递减区间为
（2），，即，
所以，
解得，
故的取值集合为
21．(1)，；
(2)倍.
【分析】（1）利用给定条件求解出，再分别代入求值即可.
（2）利用给定条件建立方程得到，利用对数的运算性质求解出，得到答案即可.
【详解】（1）当时，，当，，
，，
两式解得，即，
，
即，
所以早读声音强度为；
（2）设平时中午的声音强度为，今天中午的声音强度为，
，，即，
，解得，
所以平时中午的声音强度是今天的倍.
22．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）由可得答案.
（2）由条件可得在区间上有解，设，由，则，即在区间上有解，可得答案.
（3）由条件，，即，以及或，所以，从而可得，求出最大值可得答案.
【详解】（1）由，所以
所以
（2）在区间上有解
即在区间上有解
即在区间上有解
即设，由，则
所以在区间上有解
当时，
所以
（3）由，即或
由方程的解分别为､，则，
所以
由，即或
方程的解分别为､，则或
所以
所以
函数在上单调递减，当 时，有最大值 .
所以，则
所以的最大值为
【点睛】关键点睛：本题考查指数的运算和方程有解求参数，方程根的关系，解答本题的关键是由题意可得在区间上有解，设，分类参数即在区间上有解，以及根据方程的根的情况可得，属于中档题.