江苏省常州市溧阳中学2023-2024学年高一上学期10月阶段调研 数学试题（含解析）

这是一份江苏省常州市溧阳中学2023-2024学年高一上学期10月阶段调研 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了已知，，则，若为实数，则“”是“”的，已知，则的最小值是，如图中阴影部分所表示的集合是，设，在上恒成立，则的最大值，下列各组中表示不同集合的是等内容，欢迎下载使用。

一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，即所谓的“”问题.1966年，我国数学家陈景润证明了“”成立.哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于2的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜想的否定为（ ）
A．每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和
B．存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和
C．每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和
D．存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和
3．设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．若为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
5．已知，则的最小值是（ ）
A．4B．8C．12D．16
6．如图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．B．（A∪B）∪（B∪C）
C．（A∪C）∩（∁UB）D．
7．关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．设，在上恒成立，则的最大值（ ）
A．1B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.
9．下列各组中表示不同集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
10．已知集合中有且仅有一个元素，那么的值为（ ）
A．B．1C．D．0
11．下列命题中，真命题是（ ）
A．若、且，则、至少有一个大于
B．，
C．“”是“”的必要条件
D．“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件
12．设集合是实数集的子集，如果点满足：对，，且，使得成立，则称为集合的核心点，则在下列集合中，以1为核心点的集合有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知集合,则的值为 ．
14．不等式的解集是： ．
15．已知命题p：，命题q：，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为 ．
16．若，且，则的最小值为 .
四、解答题：（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知集合，；
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18．已知：，：.
(1)若是真命题，求对应的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求的取值范围.
19．已知实数，，且满足．
(1)求xy的最小值；
(2)对任意的，，均有成立，求实数a的取值范围．
20．已知不等式的解集为或．
(1)求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式．
21．某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为
(1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式；
(2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值．
22．问题：正数，满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题：
(1)若正实数，满足，求的最小值；
(2)若正实数，，，满足，且，试比较和的大小，并说明理由；
(3)若，利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值.
1．C
【解析】首先根据题意得到，再求即可.
【详解】因为，
所以.
故选：C
【点睛】本题主要考查集合的并集运算，属于简单题.
2．D
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确否定，即可求解.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，A，C错误;
哥德巴赫猜想的否定为“存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和”.
故选：D.
3．D
【分析】题目考查不等式的性质，A选项不等式两边同乘负数要变号；B，C选项可以通过举反例排除；D选项根据已知条件变形可得
【详解】已知，对各选项逐一判断：
选项A：因为,由不等式的性质，两边同乘负数，不等式变号，可得,所以选项A错误.
选项B：取,,,,则,,此时,所以选项B错误.
选项C：取,,,,则,,此时,所以选项C错误.
选项D：因为,所以,所以,即,所以选项D正确.
故选：D.
4．B
【分析】求出不等式的解集，再利用集合的包含关系，结合充分条件必要条件的定义判断即得.
【详解】解不等式，得，显然集合真包含于集合，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5．D
【分析】由基本不等式可得答案.
【详解】已知，则，，
当且仅当，即时“”成立，故所求最小值是16.
故选：D．
6．A
【分析】根据韦恩图的意义，结合集合交并补运算的表示，即可容易求得结果.
【详解】根据韦恩图的意义，阴影部分表示的集合为：
集合与在集合中的补集的交集.
故可表示为：.
故选：A.
7．A
【分析】不等式的解集是，即对于，恒成立，即，分和两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：不等式的解集是，
即对于，恒成立，
即，
当时，，
当时，，
因为，
所以，
综上所述.
故选：A.
8．A
【分析】根据不等式的特征，分别设，，，以及四种情况，讨论不等式恒成立时，先讨论的正负情况，再讨论恒成立，求的取值范围.
【详解】①当时，，，不成立，
②当时，恒成立，则恒成立，即，解得：，此时的最大值是；
③当时，恒成立，则，恒成立，即的最大值是；
④当时，恒立，则恒成立，即 ，恒成立，，解得：，此时的最大值是.
综上可知，的最大值是.
故选：A
【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题，本题的关键是分类的标准，第一种情况比较简单，代入特殊值，即可说明不等式不成立，后几种情况，先说明恒成立，再根据恒成立，即可求的取值范围.
9．ABD
【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案.
【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故；
选项B中，与表示不同的点，故；
选项C中，，，故；
选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故.
故选：ABD.
10．BC
【分析】根据题意分类讨论求解即可.
【详解】因为集合中有且仅有一个元素，
所以当，即时，
若，则符合题意，
若，则不符合题意；
当，即时，
则，
解得（舍）或.
所以的值可能为1，.
故选：BC
11．AD
【分析】由反证法即可判断A，举出反例即可判断BC，由一元二次方程根的情况即可判断D.
【详解】假设都不大于，即，则，因此不成立，所以假设不成立，故A正确；
因为时，，故B错误；
因为，但是，则不一定能推出，
且，但是，所以不一定能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
关于方程有一正一负根，
所以“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件，故D正确；
故选：AD
12．AD
【分析】由集合的核心点的定义，逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合的核心点的定义，进而得到答案．
【详解】对于，对，存在，且，使得，故1为集合的核心点；
对于，对，不存在，且，使得即成立，故1不是集合的核心点；
对于，对，不存在，且，使得即成立，故1不是集合的核心点；
对于，对，存在且，使得即成立，故1为集合的核心点，
故选：AD．
13．0或3
【分析】由集合，得或，由此能求出的值．
【详解】解：∵集合，
∴或，
解得或或，
当时，，成立；
当时，，成立；
当时，，不成立．
综上，的值为0或3．
故答案为：0或3
【点睛】本题考查实数值的求法，考查子集等基础知识，注意集合元素的互异性，是基础题．
14．
【分析】首先根据题意得到，再解二次不等式即可.
【详解】，解得.
故答案为：
15．
【分析】分别根据命题的真假求出参数a的范围，即可求得答案.
【详解】命题p：，若p是真命题，
则：，；
命题q：，使得成立，
若命题q为真命题，
则．
所以命题q是假命题时，，
综上，参数a的取值范围为：，即
故答案为：
16．
【解析】根据a2+2ab﹣3b2=1得到(a+3b)(a﹣b)=1，令x=a+3b，y=a﹣b，用x，y表示a，b，然后代入a2+b2，利用均值不等式求解.
【详解】由a2+2ab﹣3b2=1得(a+3b)(a﹣b)=1，
令x=a+3b，y=a﹣b，则xy=1且a，b，
所以a2+b2=()2+()2，
当且仅当x2，y2时取等号.
故答案为.
【点睛】本题主要考查均值不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
17．（1）；（2）
【详解】试题分析：（1）因为所以很容易求出集合，又已知集合，利用集合的基本运算即可求出;
（2）本题考查的是集合的运算，，所以需要考虑和不为空集两种情况，再结合集合的基本运算即可求出实数的取值范围．
试题解析：（1）
（2）
当时，
当时，
综上所述：
考点：集合的运算
【易错点睛】凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的识别，如集合是函数的值域，是数集，求出值域可以使之简化；集合是点集，表示函数上所有点的集合．集合表示使函数解析式有意义的的取值范围，是定义域；所以在做题时要看清楚间隔号之前表示的是什么含义．
18．(1)
(2)
【分析】（1）解绝对值不等式即可得出答案；
（2）由是的必要不充分条件，可得，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）∵：是真命题，∴，
∴，解得，
∴的取值范围是.
（2）由（1）知：：，：即
因为是的必要不充分条件，所以，解得：.
综上所述的取值范围是.
19．(1)4
(2)
【分析】（1）由已知得，根据基本不等式计算得解；
（2）对任意的，，均有成立，只需，
由已知得，根据“1”的代换求的最小值，继而得解.
【详解】（1）实数，，由得，
根据基本不等式得，所以，
所以，当且仅当时取“=”，
所以 xy的最小值为4.
（2）对任意的，，均有成立，只需，
由得，即，
，
当且仅当求，即时取“=”，
，解得．
20．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据韦达定理可解；
（2）根据m的范围分类讨论可得.
【详解】（1）因为不等式的解集为或
所以，且的两根为
所以，所以
（2）
即
①若，则
②若，则或
③若，
当即时，
当即时，无解
当即时，
综上所述：时，不等式的解集为
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为
21．(1)
(2)
【分析】（1）由题意得，当时，，代入上式，得，可得表达式．
（2）化简函数y，利用基本不等式求解最小值即可.
【详解】（1）由题意得，
当时，，代入上式，得
所以
（2）
，
当且仅当，即时取“=”．
所以臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为
22．(1)
(2)，理由见解析
(3)时，取得最小值
【分析】（1）由题知，进而根据基本不等式“1”的用法求解即可；
（2）由题知，进而结合判断即可；
（3）令，，构造，进而结合（2）的结论求解即可.
【详解】（1）解： ，，，则，
所以，，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值是.
（2）解：，
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当，即同号时等号成立.
此时，满足；
（3）解：令，，构造，
所以，即，因此，，
所以，
取等号时，即，结合，解得，，
即，.
所以时，取得最小值.