江苏省南京市四校2023-2024学年高一上学期9月第二次阶段考试 数学试题（含解析）

这是一份江苏省南京市四校2023-2024学年高一上学期9月第二次阶段考试 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了已知，若集合，则的值为，已知角终边上有一点，则是，设函数的定义域是，且满足，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

本试卷分为第I卷和第II卷 满分150分 考试时间120分钟
第I卷（选择题 共60分）
一.单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共8小题，每小题5分，共40分.）
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，若集合，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
3．已知角终边上有一点，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
4．设为函数图象上的动点，若此函数图象与x轴，直线及围成图形（如图阴影部分）的面积为，则的图象可表示为（ ）
A．B．C．D．
5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.某条鲑鱼想把游速提高，则它的耗氧量的单位数与原来的耗氧量的单位数之比是（ ）
A．3B．9C．27D．81
6．已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A．4B．1C．D．
7．已知函数，记，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．设函数的定义域是，且满足：（1）对于任意的，；（2）对于任意的，恒有.则下列结论：①对于任意的，；②在上单调递减；③的图象关于直线对称，其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二.多项选择题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
9．函数与在同一坐标系中的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．角终边在第二象限或第四象限的充要条件是
B．若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是2
C．经过4小时时针转了120°
D．若角与终边关于轴对称，则
11．已知，则下列等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．已知直线分别与函数和的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题共90分）
三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．已知，，则的值是 .
14．方程的解集为 .
15．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面所在扇形的圆心角为 rad，此时扇面面积为 cm2．
16．若对任意， 恒成立，则的最大值为 ．
四.解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤.）
17．已知集合，．
（1）若，求实数a，b满足的条件；
（2）若，求实数m的取值范围．
18．已知.
(1)化简；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值.
19．已知函数是偶函数．
(1)求k的值．
(2)若函数，，是否存在实数m使得的最小值为0？
若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
20．杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题：
(1)请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；
(2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?
21．已知函数.
(1)若关于x的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数a的取值范围；
(2)设，若，函数在区间上的最大值和最小值之差不超过1，求实数a的取值范围.
22．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.
(1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值围；
(3)已知函数在定义域上为“依赖函数”，若对任意实数，任意，不等式都成立，求实数的最大值.
1．C
【分析】利用定义域就是求自变量的取值范围进行求解即可.
【详解】由函数的定义域为，可得函数的定义域为，
则函数的定义域是，
故选：C.
2．B
【分析】根据两集合相等，对应元素相等，然后列出方程求出即可得到结果.
【详解】因为
所以有，解得或
当时，不满足集合中元素的互异性，
故
则
故选:B.
3．D
【分析】方法一利用任意角三角函数的定义结合象限角的定义求解，方法二先求出点坐标，确定的位置，再利用对称性求解，方法三由第四象限角的三角函数值符号特征得到的位置，再利用对称性求解即可.
【详解】方法一：由任意角三角函数定义得，
，故，
可得，故是第四象限角，故D正确.
方法二：由诱导公式可得，
，故得，
显然在第二象限，则也在第二象限，
而与关于原点对称，故在第四象限，故D正确.
方法三：首先，我们知道是第四象限角，
由第四象限角的三角函数值符号特征得，，
故得在第二象限，则也在第二象限，
而与关于原点对称，故在第四象限，故D正确.
故选：D
4．B
【分析】根据题意求出，再根据函数解析式判断函数图象.
【详解】由题意可知
当时，，且过程中增速变慢，
当时，，且过程中增速变快，
所以的图象可表示为选项B，
故选：B
5．D
【分析】设鲑鱼原来的游速为耗氧量的单位数为，现在的游速为耗氧量的单位数为，由求解.
【详解】解：设鲑鱼原来的游速为耗氧量的单位数为，现在的游速为耗氧量的单位数为，
由题意得：，即，
所以，
故选：D
6．C
【分析】利用代换1法,结合均值不等式来求最小值.
【详解】由函数的图像恒过定点，
再由点在直线上，则，
而，
取等号条件是,此时，
故选：C.
7．B
【分析】首先判断函数的性质，再比较的大小关系，从而利用单调性比较，，的大小关系.
【详解】是偶函数，并且当时，是增函数，
，
因为即
又因为在是增函数，所以.
故选：B.
8．B
【分析】根据题意，令，集合基本不等式的性质进行逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，令，
则不等式等价于，
由（1）对于任意的，，
则，
所以，
当且仅当，即时成，
此时函数关于对称，所以③是正确的；
令，可得，所以①不正确；
又由
则不等式等价与，可得，
因为对于任意的，，所以，
所以恒成立，所以函数是常数函数，
则，此时函数在单调递减，在单调递增，所以在上不一定单调递减，所以②不正确.
故选B.
【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，其中解答中合理赋值，结合基本不等式的性质求解是解答的关键，综合性强，属于中档试题，着重考查了推理与论证能力.
9．ACD
【分析】根据题意，结合幂函数与二次函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A和B项中，若函数正确，可得出，此时二次函数图象开口向下，对称轴，所给图象符合这一特征，故可能是A，不可能是B；
对于C中，若函数正确，可得出，此时二次函数图象开口向上，对称轴，所给图象符合这一特征，故可能是C；
对于D中，若函数正确，可得出，此时二次函数图象开口向上，对称轴，所给图象符合这一特征，故可能是D.
故选：ACD.
10．AB
【分析】根据任意角的三角函数值在各象限的符号来判断A选项；
根据弧度数公式判断B选项；
根据角的定义判断C选项；
根据终边关于轴对称的角的关系判断D选项.
【详解】对于A：若角终边在第二象限或第四象限，则，是真命题，充分性成立；
若，则角终边在第二象限或第四象限，是真命题，必要性成立，所以角终边在第二象限或第四象限是的充要条件，故A正确.
对于B：由弧度数公式，得，即，故B正确.
对于C：经过4小时时针转了，故C错误；
对于D：若角与终边关于轴对称，则，故D错误.
故选：AB.
11．BD
【分析】根据可推出，依此并结合对数运算，一一判断各选项，即可得答案.
【详解】由，得，且，
即，而此时不总是成立，则C错误；
由于，即，结合以上分析可知A错误；
由于，即为，故B正确；
又，D正确，
故选：BD
12．ACD
【分析】函数与互为反函数，将与联立，则，得，再利用基本不等式依次判断即可．
【详解】解：函数与互为反函数，
则与的图象关于对称，
将与联立，则，
由直线分别与函数和的图象交于点，
作出函数图像：
，
则的中点坐标为，得，
对于A，由，解得，故A正确；
对于B，由，解得，由于，则，故B错误；
对于C， 因为，
则，
由于，得，故C正确；
对于D，，
因为，即等号不成立，所以，故D正确；
故选：ACD
13．
【分析】将题目所给指数式改写为对数式，然后根据对数运算，求得的值.
【详解】依题意，，所以.
【点睛】本小题主要考查指数式化为对数式，考查对数运算，属于基础题.
14．
【分析】根据题意，由对数函数的单调性化简，再结合三角函数的运算，即可得到结果.
【详解】在上単调递增，由，
得，即，所以，，
又，，，，
即是第二象限角，即解集为.
故答案为: .
15． 704
【解析】设，，由题意可得：，解得和，进而根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图，设，，
由题意可得：，
解得：，.
所以，．
故答案为：．
【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查数形结合思想的应用，属于中档题．
结论点睛：（1）扇形的面积公式：；
（2）扇形弧长公式：.
16．##
【分析】先令，可得，再根据恒成立，可得，，由此可得，再验证符合恒成立即可．
【详解】解：令，则，故，
对任意，，则恒成立，
∴
∴，此时，
∴，当时取等号，
此时成立，
∴的最大值为．
故答案为：．
17．（1），;（2）.
【分析】（1）直接利用并集结果可得，;
（2）根据可得，再对集合的解集情况进行分类讨论，即可得答案；
【详解】解：（1）；，
∴，;
（2）,
∴分情况讨论①，即时得；
②若，即，中只有一个元素1符合题意；
③若，即时得，∴
∴综上．
【点睛】由集合间的基本关系求参数时，注意对可变的集合,分空集和不为空集两种情况.
18．(1)
(2)
(3)答案见详解
【分析】（1）运用诱导公式和化简即可；
（2），再运用化弦为切的思想即可求解.
（3）令，则，则有，用诱导公式可得，再用同角关系式联立即可求解.
【详解】（1）
（2）由（1）得，
所以.
（3）由（1）得，令，则，
则，
，又，
得，代入，计算得：，
当为第二象限角时，，即；
当为第四象限角时，，即.
19．(1)
(2)存在，m的值为
【分析】（1）根据偶函数的定义求解；
（2）求出的表达式，用令，则，化函数为二次函数，由二次函数的性质求解．
【详解】（1）∵函数是偶函数，
∴，即，
∴，∴；
（2）假设存在满足条件的实数m．
由题意，可得，．
令，则，．
令，．
∵函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∴当，即时，，解得；
当，即时，
，解得（舍去）；
当，即时，
，解得（舍去）．
综上，存在实数m使得的最小值为0，此时实数m的值为．
20．(1)
(2)时有最小值，最小值为.
【分析】（1）先写出速度关于时间的函数，进而求出剩余体力关于时间的函数；
（2）分和两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.
【详解】（1）由题可先写出速度关于时间的函数，
代入与公式可得
解得；
（2）①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值；
②疲劳阶段，
则有，
当且仅当，即时，“”成立，
所以疲劳阶段中体力最低值为，
由于，因此，在时，运动员体力有最小值.
21．(1)或
(2)
【分析】（1）先利用对数运算，转化为一元二次方程来求解，此时还要把根代入原方程检验，再作出综合判断；
（2）先利用单调性求最值，再转化为不等式恒成立问题来求解.
【详解】（1）由题意有：，所以，
整理可得，即，
当时，方程的解为，代入原方程检验，成立，
当时，方程的解为，代入原方程检验，成立，
当且时，方程的解为，
若为原方程的解，则，即；
若为原方程的解，则，即，
要使原方程有且只有一个解，则.
综上所述，的取值范围为或；
（2）解法一：令，在上递减，由函数为增函数，
所以在上单调递减，
因为函数在区间上的最大值和最小值之差不超过1，
则有，
即，所以，即，
令，则，令，
对任意的，
由于所以，
.
所以在区间上单调递减，
所以 所以，当时，；
综上，的取值范围为.
解法二：由在上恒成立，
得在上恒成立，令，
， 在上单调递增，
，得，
所以，的取值范围为.
22．(1)不是，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据“依赖函数”的定义，即可判断出答案；
（2）由在上递增，结合“依赖函数”的定义可得，继而求出，利用二次函数性质，即可求得答案；
（3）由题意可求出，即可将不等式恒成立问题逐步转化，结合分离参数以及基本不等式，即可求得答案.
【详解】（1）对于函数的定义域内存在，，
则无解，
故不是“依赖函数”.
（2）因为在上递增，故，即，则，
由，故，得，
从而在上单调递增，故.
（3）因为，故在上单调递减，
从而，即，解得(舍)或，
对任意使得对任意的，有不等式都成立，
即恒成立，
由，得.
由，可得，
又，当且仅当时取到“=”，
所以，从而，解得，
综上，故实数的最大值为.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数新定义问题，解答时要准确理解新定义的含义，并由此解决问题，关键在于第三问，要将恒成立问题不断转化，结合其他知识综合求解.