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江苏省宿迁市宿迁文昌高级中学2024−2025学年高一上学期开学考试 数学试题（含解析）
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这是一份江苏省宿迁市宿迁文昌高级中学2024−2025学年高一上学期开学考试 数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．4的算术平方根是（ ）
A．B．C．2D．
2．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知方程组，则代数式的值是（ ）
A．2B．1C．D．
4．粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米B．2米C．米D．米
6．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形.心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，现在，按照如下的步骤作图：第一步：作一个正方形；
第二步：分别取，的中点M，N，连接；
第三步：以点N为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点E；
第四步：过点E作，交的延长线于F.
则所作图形中是黄金矩形的是（ ）
A．矩形B．矩形
C．矩形D．矩形和
7．如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在反比例函数（，）的图象上，，过点C作，交反比例函数于点D，且，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题）
9．分解因式： ．
10．若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为 ．
11．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
12．已知等腰三角形的底边长和腰长恰好是方程的两根，则等腰三角形的周长为 ．
13．如图，已知六边形是的内接正六边形，的半径为，连接，则图中阴影部分的面积是 ．
14．如图，垂直于x轴的直线l分别交反比例函数的图象，的图象于点A，B，若的面积为5，则 .
15．如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线.则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则.其中正确的是
16．如图所示，在矩形中，．连接对角线，将矩形折叠，使点B落在射线上，点B的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F，当时，的长度为 ．
三、解答题（本大题共10小题）
17．(1)计算：；
(2)化简：.
18．(1)解方程：；
(2)解不等式组，并在数轴上表示解集：．
19．如图，在平行四边形中，延长到点，使，交于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由．
20．2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某校开展了校园安全知识抽检活动．从七、八年级分别随机抽取50名学生参与抽检，并对检测情况（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：①七年级学生的检测成绩频数分布直方图如图所示；
并且这一组的具体成绩为：80，82，84，84，86，86，88，88，88，88．
②七、八年级检测成绩的平均数、中位数如表所示：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)七年级抽测学生中，80分以上有______人，m值为______，并补全频数分布直方图；
(2)七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是88分，请判断哪位学生在各自年级抽测学生中的排名更靠前，并简要说明理由；
(3)该校七年级学生有600人，假设全部参加此次测试，请估计成绩超过平均数81.4分的人数．
21．在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
(1)从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________；
(2)甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
22．如图，内接于，的平分线交于点，过作分别交，的延长线于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)已知，，点为的内心，求的长．
23．为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图(1)所示的是一辆自行车的实物图．图(2)是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档与的长分别为和，且它们互相垂直，座杆的长为．点A，，在同一条直线上，且．（参考数据：，，
(1)求车架档的长；
(2)求车座点E到车架档的距离（结果精确到）．
24．定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”．
(1)①如图1，在中，，D是上任意一点，则与____ “融通三角形”；（填“是”或“不是”）
②如图2，与是“融通三角形”，其中，则____．
(2)若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数．
(3)如图3，在四边形中，对角线，且与是“融通三角形”，，求的长．
25．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是该抛物线上的一个动点，
①若中有一个内角是的3倍，求点P坐标．
②若抛物线上的点P在第二象限且直线与y轴和直线分别交于点D和点E，若，，的面积分别为，，，且满足，求点P的横坐标．
26．【新知阅读】
定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．
(1)①若，，则____“准直角三角形”；（填“是”或“不是”）
②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为_________.
【新知运用】
(2)如图①，在中，，是的角平分线．求证：是“准直角三角形”；
(3)如图②，在中，，，，点在边上，若是“准直角三角形”，求的长；
【新知拓展】
(4)如图③，在四边形中，，，，，且是“准直角三角形”，求的长，请直接写出答案.
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案.
【详解】4的算术平方根是2.
故选C.
2．【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解．
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选D．
3．【答案】D
【分析】把方程组的两个方程的左右两边分别相加，可得，据此求出代数式的值即可；
【详解】由题意可得：，两式相加得，
所以
故选D．
4．【答案】B
【分析】设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，题意列方程即可．
【详解】设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，
根据题意得：．
故选B．
5．【答案】C
【分析】连接，交于D，由垂径定理得米，再由勾股定理得米，然后求出的长即可．
【详解】连接，交于D，
由题意得：米，，
则米，，
在中，则米，
可得米，
所以点C到弦所在直线的距离是米，
故选C．
6．【答案】D
【分析】设正方形的边长为，结合线段中点特点得到，，由勾股定理可得，进而可得，再利用黄金矩形的定义进行判断即可得出答案.
【详解】设正方形的边长为，
，N为，的中点，
，，
，
由画图可知：，
对于矩形，，不是黄金矩形；
对于矩形，，是黄金矩形；
对于矩形，，不是黄金矩形；
对于矩形，，是黄金矩形；
矩形和是黄金矩形.
故选D.
7．【答案】C
【分析】根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点G在以E为圆心，为半径的圆上运动，当D,G,E共线时，此时DG的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时DG的最小值．
【详解】若将沿所在直线折叠，得到，
可知，可得，
因为E是直角边的中点，则，
可知点G在以E为圆心，为半径的圆上运动，如图所示，
因为，当且仅当D，G，E共线时，即G与重合时，取得最小值，
又因为，此时DG的值最小，
且D是斜边AC的中点，即DE是的中位线，可得，
此时，所以DG的最小值为4．
故选C．
8．【答案】A
【分析】过点C作轴于H，过点D作于T，过点C作于G，先证明，则可得，设，，则，再证明，，可得，再根据方程求出m即可解决问题.
【详解】如图，过点C作轴于H，
过点D作于T，过点C作于G，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，∴，，
∵，∴，
∴，，
∴，∴，
∴，∴，
设，，则，∴，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，∵D，C在反比例函数上，
∴，解得，∴，
∴.
故选A．
9．【答案】
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【详解】
，
故答案为：．
10．【答案】
【分析】借助扇形的弧长公式计算即可得.
【详解】扇形的弧长．
故答案为：．
11．【答案】且
【分析】根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和根的判别式的意义得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
可得，解得且．
故答案为：且．
12．【答案】10
【分析】先解方程得出，，再根据三角形的三边关系得出等腰三角形的腰为4，底边长为2，最后求出三角形的周长即可．
【详解】，因式分解得：，
所以，，
因为，所以等腰三角形的腰长为2时，不能构成三角形，
所以等腰三角形的腰为4，底边长为2，
所以三角形的周长为．
故答案为：10．
13．【答案】
【分析】连接，，根据题意可证明，进而可得到答案．
【详解】如图，连接，，
因为六边形是的内接正六边形，
则，可知，
即F，O，C三点共线，
又因为，则为等边三角形，
可知，则，则，
所以，
故答案为：．
14．【答案】10
【分析】根据题意可得：，结合的面积，即可得出结果.
【详解】设，且，则
故，，
因为的面积，所以.
故答案为：10.
15．【答案】①②③
【分析】借助抛物线与y轴交点位置可判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数的对称轴为可判断③；由二次函数的性质可判断④．
【详解】对①：∵抛物线开口向下，∴，∵抛物线交y轴于正半轴，∴，
∵对称轴为直线，即，∴，
∴，故结论①正确；
对②：∵抛物线对称轴为直线，且当时，，
∴时，，即，故结论②正确；
对③：∵对称轴为直线，∴，∴，
∴，故结论③正确；
对④：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
若且，则点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∴，故结论④错误，
∴正确的是①②③.
故答案为：①②③.
16．【答案】或
【分析】设与相交于点O，由四边形为矩形可得，，，，由勾股定理可得，再分两种情况讨论，当点在线段上及当点在线段延长线上，进行求解即可．
【详解】如图，设与相交于点O，
因为四边形为矩形，，，，，
则，
①当点在线段上，则，可得，
若将矩形折叠，使点B落在射线上，
则，，
因为，则，
可得，即，解得，
又因为，则，
可得，即，解得，
所以；
②当点在线段延长线上，如图，
若将矩形折叠，使点B落在射线上，，
则，，
因为，则，
可得，即，解得，
又因为，则，
可得，即，解得，
所以；
综上所述：的长度为或．
故答案为：或．
17．【答案】(1)；(2).
【分析】(1)先化简各式，再进行加减运算；
(2)先进行完全平方公式和平方差公式的运算，再合并同类项即可．
【详解】(1)原式
；
(2)原式
．
18．【答案】(1)；(2)，数轴见解析.
【分析】(1)先根据等式的基本性质变形得到，再开立方，最后解一元一次方程即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，求其公共部分，即可求得整个不等式组的解集．
【详解】(1)，
变形，得：，
开立方，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
(2)，
对于①，去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
对于②，去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
则不等式组的解集为：.
在数轴上表示解集如下：
.
19．【答案】(1)证明见解析；
(2)当时，四边形是矩形，理由见解析.
【分析】(1)由平行四边形的性质得，，再由，得，，即可得出结论；
(2)当时，根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可．
【详解】(1)由于四边形为平行四边形，
，即，，
，
，，
四边形是平行四边形；
(2)当时，四边形是矩形，理由如下：
四边形为平行四边形，，
，
，结合(1)的结论，
四边形是矩形.
20．【答案】(1)28，85，直方图见解析；
(2)七年级学生甲名次靠前；理由见解析；
(3)336人.
【分析】(1)根据数据统计中各个分组的人数与调查总人数的关系可求出的人数，进而补全频数分布直方图；
(2)根据七、八年级学生成绩的中位数进行判断即可；
(3)求出七年级学生成绩超过81.4分的人数所占的百分比，进而求出相应的人数．
【详解】(1)根据频数分布直方图可知，七年级抽测学生中，80分以上有（人），
将七年级抽测的50名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是85，即，
七年级抽测的50名学生的成绩在的人数为（人），补全频数分布直方图如下：
(2)七年级学生成绩的中位数是85，八年级学生成绩的中位数是88，而七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是88，但七年级学生甲的成绩大于其中位数，
所以七年级学生甲名次靠前；
(3)（人），
答：该校七年级600名中成绩超过平均数81．的大约有336人．
21．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)直接根据概率计算公式求解即可；
(2)先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲获胜的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】(1)因为一共有3支签，写有“石头”的签有1支，且每支签被抽到的概率相同，
所以从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是.
(2)设分别用A，B，C表示“石头”、“剪子”、“布”，列表如下：
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲获胜的结果数有，，，共3种，
所以甲获胜的概率为．
22．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】(1)连接，根据角平分线的定义得到，根据垂径定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论；
(2)连接，，根据角平分线定义得到，，推出，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】(1)连接，
的平分线交于点G，
，
，，
，
是的半径，
为的切线；
(2)连接，，
点为的内心，
平分，平分，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
（负值舍去），
的长为．
23．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)在中利用勾股定理求即可．
(2)过点作，在中，利用三角函数求，即可得到答案．
【详解】(1)在中，，，
则，
所以车架档的长是.
(2)过点作，垂足为，
因为，
可得，
所以车座点到车架档的距离约是．
24．【答案】(1)①是；②；
(2)；
(3)的值为4或.
【分析】(1)①由题意得 ，，由融通三角形定义即可得出结论；②在线段上取点G，使，连接，证明全等于，得出，即可证明；
(2)在线段上取点G，使，连接，由(1)可得全等于，设，由等腰三角形的性质证出，由三角形内角和即可求解；
(3)分两种情况：当时；当时进行讨论，分别计算出的长即可得．
【详解】(1)①∵，
∴ ，
∵，
∴与是“融通三角形”；
②如图，在线段上取点G，使，连接，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
(2)由题意可得：，
在线段上取点G，使，连接，
由(1)可知，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴融通角是；
(3)分两种情况：当时，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴符合题意，
∴；
当时，过点D作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴符合题意，
设，则，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
综上：的值为4或.
25．【答案】(1)；
(2)①或 ；②.
【分析】(1)根据抛物线与x轴的交点即可求解．
(2)①由点的坐标得，，则中有一个内角是的3倍，即为，再分类求解即可．
②由三个三角形的高相同，则面积比等于底的比，,当时，则，即可求出答案．
【详解】(1)由抛物线经过点，，所以抛物线表达式为：．
(2)①由抛物线的表达式可知，点，由点的坐标得，
在中，
所以，故，
则中的一个内角是的3倍，即为，
则存在为直角的情况，
由于，则的外接圆除了和抛物线交于点外，不可能再出现点，故该情况不存在，
当为直角时，设点，过点作平行于轴的直线，过点作平行于轴的直线，相交于点，
∵，∴，
中，，解得，
又∵在抛物线上，
∴，解得或(舍去)，
即点；
当为直角时，设点，过点作平行于轴的直线，过点作平行于轴的直线，相交于点，
∵，∴，
中，，解得，
又∵在抛物线上，
∴，解得或(舍去)，
故点；
综上，点的坐标为：或；
②设直线的表达式为，
分别代入点，，
得：，解得，故，
设点，
直线的表达式为，由点的坐标得，
解得：
解得直线的表达式为，
联立直线和直线的表达式得：
，解得，
∵三个三角形的高相同，则面积比等于底的比，
而三个底共线，
则，
当时，则，又,
整理得：，即，解得：（舍去）或
则点P的横坐标为．
26．【答案】(1)①是，②或；
(2)证明见解析；
(3)或；
(4)或.
【分析】(1)①根据三角形内角和定理求解即可；②根据三角形内角和定理求解即可；
(2)根据三角形角平分线的性质，得到，通过三角形外角性质和三角形和差关系即可求解；
(3)根据题意可分为两种情况；当时，过点作于，结合勾股定理求解；当时，利用三角函数、结合相似三角形的判定和性质求解即可；
(4)过点作于，，交的延长线于，设，根据和可得，证明全等于，可得，进而分和讨论，分别求出的长即可.
【详解】(1)①若，，
则，
是“准直角三角形”；
②已知是“准直角三角形”，
且，
若，则，则；
若，，则，
故的度数为或；
(2)在中，，是的角平分线，
，
，
，
是“准直角三角形”；
(3)当时，如图，过点D作于，
在中，，，，
，
，，
，
，，
，
，
，
；
当时，
，，
，
，
，
，即，
，
综上所述，或；
(4)过点C作于F，，交的延长线于E，
设，
，，
，，
，，
，
全等于，
，
当，
，
，
由(3)得：，
设，，则，
，则
则；
当时，
，
，
，
，
，
则，，
故的长为或.年级
平均数（分）
中位数（分）
七年级
81.4
m
八年级
87.2
88
甲
乙
A
B
C
A
B
C
一、单选题（本大题共8小题）
1．4的算术平方根是（ ）
A．B．C．2D．
2．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知方程组，则代数式的值是（ ）
A．2B．1C．D．
4．粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米B．2米C．米D．米
6．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形.心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，现在，按照如下的步骤作图：第一步：作一个正方形；
第二步：分别取，的中点M，N，连接；
第三步：以点N为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点E；
第四步：过点E作，交的延长线于F.
则所作图形中是黄金矩形的是（ ）
A．矩形B．矩形
C．矩形D．矩形和
7．如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在反比例函数（，）的图象上，，过点C作，交反比例函数于点D，且，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题）
9．分解因式： ．
10．若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为 ．
11．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
12．已知等腰三角形的底边长和腰长恰好是方程的两根，则等腰三角形的周长为 ．
13．如图，已知六边形是的内接正六边形，的半径为，连接，则图中阴影部分的面积是 ．
14．如图，垂直于x轴的直线l分别交反比例函数的图象，的图象于点A，B，若的面积为5，则 .
15．如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线.则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则.其中正确的是
16．如图所示，在矩形中，．连接对角线，将矩形折叠，使点B落在射线上，点B的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F，当时，的长度为 ．
三、解答题（本大题共10小题）
17．(1)计算：；
(2)化简：.
18．(1)解方程：；
(2)解不等式组，并在数轴上表示解集：．
19．如图，在平行四边形中，延长到点，使，交于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由．
20．2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某校开展了校园安全知识抽检活动．从七、八年级分别随机抽取50名学生参与抽检，并对检测情况（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：①七年级学生的检测成绩频数分布直方图如图所示；
并且这一组的具体成绩为：80，82，84，84，86，86，88，88，88，88．
②七、八年级检测成绩的平均数、中位数如表所示：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)七年级抽测学生中，80分以上有______人，m值为______，并补全频数分布直方图；
(2)七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是88分，请判断哪位学生在各自年级抽测学生中的排名更靠前，并简要说明理由；
(3)该校七年级学生有600人，假设全部参加此次测试，请估计成绩超过平均数81.4分的人数．
21．在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
(1)从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________；
(2)甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
22．如图，内接于，的平分线交于点，过作分别交，的延长线于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)已知，，点为的内心，求的长．
23．为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图(1)所示的是一辆自行车的实物图．图(2)是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档与的长分别为和，且它们互相垂直，座杆的长为．点A，，在同一条直线上，且．（参考数据：，，
(1)求车架档的长；
(2)求车座点E到车架档的距离（结果精确到）．
24．定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”．
(1)①如图1，在中，，D是上任意一点，则与____ “融通三角形”；（填“是”或“不是”）
②如图2，与是“融通三角形”，其中，则____．
(2)若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数．
(3)如图3，在四边形中，对角线，且与是“融通三角形”，，求的长．
25．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是该抛物线上的一个动点，
①若中有一个内角是的3倍，求点P坐标．
②若抛物线上的点P在第二象限且直线与y轴和直线分别交于点D和点E，若，，的面积分别为，，，且满足，求点P的横坐标．
26．【新知阅读】
定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．
(1)①若，，则____“准直角三角形”；（填“是”或“不是”）
②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为_________.
【新知运用】
(2)如图①，在中，，是的角平分线．求证：是“准直角三角形”；
(3)如图②，在中，，，，点在边上，若是“准直角三角形”，求的长；
【新知拓展】
(4)如图③，在四边形中，，，，，且是“准直角三角形”，求的长，请直接写出答案.
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案.
【详解】4的算术平方根是2.
故选C.
2．【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解．
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选D．
3．【答案】D
【分析】把方程组的两个方程的左右两边分别相加，可得，据此求出代数式的值即可；
【详解】由题意可得：，两式相加得，
所以
故选D．
4．【答案】B
【分析】设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，题意列方程即可．
【详解】设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，
根据题意得：．
故选B．
5．【答案】C
【分析】连接，交于D，由垂径定理得米，再由勾股定理得米，然后求出的长即可．
【详解】连接，交于D，
由题意得：米，，
则米，，
在中，则米，
可得米，
所以点C到弦所在直线的距离是米，
故选C．
6．【答案】D
【分析】设正方形的边长为，结合线段中点特点得到，，由勾股定理可得，进而可得，再利用黄金矩形的定义进行判断即可得出答案.
【详解】设正方形的边长为，
，N为，的中点，
，，
，
由画图可知：，
对于矩形，，不是黄金矩形；
对于矩形，，是黄金矩形；
对于矩形，，不是黄金矩形；
对于矩形，，是黄金矩形；
矩形和是黄金矩形.
故选D.
7．【答案】C
【分析】根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点G在以E为圆心，为半径的圆上运动，当D,G,E共线时，此时DG的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时DG的最小值．
【详解】若将沿所在直线折叠，得到，
可知，可得，
因为E是直角边的中点，则，
可知点G在以E为圆心，为半径的圆上运动，如图所示，
因为，当且仅当D，G，E共线时，即G与重合时，取得最小值，
又因为，此时DG的值最小，
且D是斜边AC的中点，即DE是的中位线，可得，
此时，所以DG的最小值为4．
故选C．
8．【答案】A
【分析】过点C作轴于H，过点D作于T，过点C作于G，先证明，则可得，设，，则，再证明，，可得，再根据方程求出m即可解决问题.
【详解】如图，过点C作轴于H，
过点D作于T，过点C作于G，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，∴，，
∵，∴，
∴，，
∴，∴，
∴，∴，
设，，则，∴，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，∵D，C在反比例函数上，
∴，解得，∴，
∴.
故选A．
9．【答案】
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【详解】
，
故答案为：．
10．【答案】
【分析】借助扇形的弧长公式计算即可得.
【详解】扇形的弧长．
故答案为：．
11．【答案】且
【分析】根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和根的判别式的意义得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
可得，解得且．
故答案为：且．
12．【答案】10
【分析】先解方程得出，，再根据三角形的三边关系得出等腰三角形的腰为4，底边长为2，最后求出三角形的周长即可．
【详解】，因式分解得：，
所以，，
因为，所以等腰三角形的腰长为2时，不能构成三角形，
所以等腰三角形的腰为4，底边长为2，
所以三角形的周长为．
故答案为：10．
13．【答案】
【分析】连接，，根据题意可证明，进而可得到答案．
【详解】如图，连接，，
因为六边形是的内接正六边形，
则，可知，
即F，O，C三点共线，
又因为，则为等边三角形，
可知，则，则，
所以，
故答案为：．
14．【答案】10
【分析】根据题意可得：，结合的面积，即可得出结果.
【详解】设，且，则
故，，
因为的面积，所以.
故答案为：10.
15．【答案】①②③
【分析】借助抛物线与y轴交点位置可判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数的对称轴为可判断③；由二次函数的性质可判断④．
【详解】对①：∵抛物线开口向下，∴，∵抛物线交y轴于正半轴，∴，
∵对称轴为直线，即，∴，
∴，故结论①正确；
对②：∵抛物线对称轴为直线，且当时，，
∴时，，即，故结论②正确；
对③：∵对称轴为直线，∴，∴，
∴，故结论③正确；
对④：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
若且，则点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∴，故结论④错误，
∴正确的是①②③.
故答案为：①②③.
16．【答案】或
【分析】设与相交于点O，由四边形为矩形可得，，，，由勾股定理可得，再分两种情况讨论，当点在线段上及当点在线段延长线上，进行求解即可．
【详解】如图，设与相交于点O，
因为四边形为矩形，，，，，
则，
①当点在线段上，则，可得，
若将矩形折叠，使点B落在射线上，
则，，
因为，则，
可得，即，解得，
又因为，则，
可得，即，解得，
所以；
②当点在线段延长线上，如图，
若将矩形折叠，使点B落在射线上，，
则，，
因为，则，
可得，即，解得，
又因为，则，
可得，即，解得，
所以；
综上所述：的长度为或．
故答案为：或．
17．【答案】(1)；(2).
【分析】(1)先化简各式，再进行加减运算；
(2)先进行完全平方公式和平方差公式的运算，再合并同类项即可．
【详解】(1)原式
；
(2)原式
．
18．【答案】(1)；(2)，数轴见解析.
【分析】(1)先根据等式的基本性质变形得到，再开立方，最后解一元一次方程即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，求其公共部分，即可求得整个不等式组的解集．
【详解】(1)，
变形，得：，
开立方，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
(2)，
对于①，去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
对于②，去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
则不等式组的解集为：.
在数轴上表示解集如下：
.
19．【答案】(1)证明见解析；
(2)当时，四边形是矩形，理由见解析.
【分析】(1)由平行四边形的性质得，，再由，得，，即可得出结论；
(2)当时，根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可．
【详解】(1)由于四边形为平行四边形，
，即，，
，
，，
四边形是平行四边形；
(2)当时，四边形是矩形，理由如下：
四边形为平行四边形，，
，
，结合(1)的结论，
四边形是矩形.
20．【答案】(1)28，85，直方图见解析；
(2)七年级学生甲名次靠前；理由见解析；
(3)336人.
【分析】(1)根据数据统计中各个分组的人数与调查总人数的关系可求出的人数，进而补全频数分布直方图；
(2)根据七、八年级学生成绩的中位数进行判断即可；
(3)求出七年级学生成绩超过81.4分的人数所占的百分比，进而求出相应的人数．
【详解】(1)根据频数分布直方图可知，七年级抽测学生中，80分以上有（人），
将七年级抽测的50名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是85，即，
七年级抽测的50名学生的成绩在的人数为（人），补全频数分布直方图如下：
(2)七年级学生成绩的中位数是85，八年级学生成绩的中位数是88，而七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是88，但七年级学生甲的成绩大于其中位数，
所以七年级学生甲名次靠前；
(3)（人），
答：该校七年级600名中成绩超过平均数81．的大约有336人．
21．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)直接根据概率计算公式求解即可；
(2)先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲获胜的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】(1)因为一共有3支签，写有“石头”的签有1支，且每支签被抽到的概率相同，
所以从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是.
(2)设分别用A，B，C表示“石头”、“剪子”、“布”，列表如下：
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲获胜的结果数有，，，共3种，
所以甲获胜的概率为．
22．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】(1)连接，根据角平分线的定义得到，根据垂径定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论；
(2)连接，，根据角平分线定义得到，，推出，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】(1)连接，
的平分线交于点G，
，
，，
，
是的半径，
为的切线；
(2)连接，，
点为的内心，
平分，平分，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
（负值舍去），
的长为．
23．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)在中利用勾股定理求即可．
(2)过点作，在中，利用三角函数求，即可得到答案．
【详解】(1)在中，，，
则，
所以车架档的长是.
(2)过点作，垂足为，
因为，
可得，
所以车座点到车架档的距离约是．
24．【答案】(1)①是；②；
(2)；
(3)的值为4或.
【分析】(1)①由题意得 ，，由融通三角形定义即可得出结论；②在线段上取点G，使，连接，证明全等于，得出，即可证明；
(2)在线段上取点G，使，连接，由(1)可得全等于，设，由等腰三角形的性质证出，由三角形内角和即可求解；
(3)分两种情况：当时；当时进行讨论，分别计算出的长即可得．
【详解】(1)①∵，
∴ ，
∵，
∴与是“融通三角形”；
②如图，在线段上取点G，使，连接，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
(2)由题意可得：，
在线段上取点G，使，连接，
由(1)可知，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴融通角是；
(3)分两种情况：当时，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴符合题意，
∴；
当时，过点D作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴符合题意，
设，则，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
综上：的值为4或.
25．【答案】(1)；
(2)①或 ；②.
【分析】(1)根据抛物线与x轴的交点即可求解．
(2)①由点的坐标得，，则中有一个内角是的3倍，即为，再分类求解即可．
②由三个三角形的高相同，则面积比等于底的比，,当时，则，即可求出答案．
【详解】(1)由抛物线经过点，，所以抛物线表达式为：．
(2)①由抛物线的表达式可知，点，由点的坐标得，
在中，
所以，故，
则中的一个内角是的3倍，即为，
则存在为直角的情况，
由于，则的外接圆除了和抛物线交于点外，不可能再出现点，故该情况不存在，
当为直角时，设点，过点作平行于轴的直线，过点作平行于轴的直线，相交于点，
∵，∴，
中，，解得，
又∵在抛物线上，
∴，解得或(舍去)，
即点；
当为直角时，设点，过点作平行于轴的直线，过点作平行于轴的直线，相交于点，
∵，∴，
中，，解得，
又∵在抛物线上，
∴，解得或(舍去)，
故点；
综上，点的坐标为：或；
②设直线的表达式为，
分别代入点，，
得：，解得，故，
设点，
直线的表达式为，由点的坐标得，
解得：
解得直线的表达式为，
联立直线和直线的表达式得：
，解得，
∵三个三角形的高相同，则面积比等于底的比，
而三个底共线，
则，
当时，则，又,
整理得：，即，解得：（舍去）或
则点P的横坐标为．
26．【答案】(1)①是，②或；
(2)证明见解析；
(3)或；
(4)或.
【分析】(1)①根据三角形内角和定理求解即可；②根据三角形内角和定理求解即可；
(2)根据三角形角平分线的性质，得到，通过三角形外角性质和三角形和差关系即可求解；
(3)根据题意可分为两种情况；当时，过点作于，结合勾股定理求解；当时，利用三角函数、结合相似三角形的判定和性质求解即可；
(4)过点作于，，交的延长线于，设，根据和可得，证明全等于，可得，进而分和讨论，分别求出的长即可.
【详解】(1)①若，，
则，
是“准直角三角形”；
②已知是“准直角三角形”，
且，
若，则，则；
若，，则，
故的度数为或；
(2)在中，，是的角平分线，
，
，
，
是“准直角三角形”；
(3)当时，如图，过点D作于，
在中，，，，
，
，，
，
，，
，
，
，
；
当时，
，，
，
，
，
，即，
，
综上所述，或；
(4)过点C作于F，，交的延长线于E，
设，
，，
，，
，，
，
全等于，
，
当，
，
，
由(3)得：，
设，，则，
，则
则；
当时，
，
，
，
，
，
则，，
故的长为或.年级
平均数（分）
中位数（分）
七年级
81.4
m
八年级
87.2
88
甲
乙
A
B
C
A
B
C
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