安徽省太湖中学2023-2024学年高一上学期10月份段考 数学试题（含解析）

这是一份安徽省太湖中学2023-2024学年高一上学期10月份段考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了已知，，则，命题“，有实数解”的否定是，设，，且，则的最小值为，函数的单调递减区间为，已知，，，则下列结论中正确的有等内容，欢迎下载使用。

（本卷满分150分，考试时间120分钟）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，有实数解”的否定是（ ）
A．，有实数解B．，无实数解
C．，无实数解D．，有实数解
3．设，，且，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
4．对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．或D．
6．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数，若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数无最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二､多选题（每小题5分，共20分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．已知，，，则下列结论中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．对于集合，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（ ）

A．①B．②C．③D．④
11．若正实数，满足，则下列结论中正确的有（ ）
A．的最小值为B．的最大值为
C．的取值范围是D．的取值范围是
12．已知函数的定义域为，若存在区间，使得满足：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是，则称区间为函数的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
A．B．
C．D．
三､填空题（每小题5分，共20分）
13．已知则的取值范围为 .
14．集合，，，则实数的取值范围是
15．已知，那么的最小值为 .
16．已知函数若，则的值域是 ；若函数的值域是，则实数的取值范围是 .
四､解答题（第17题10分，其余各题各12分，共70分，解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤）
17．已知集合．
(1)求；
(2)定义且，求．
18．已知函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)证明：在上单调递增.
19．已知函数是定义在R上的增函数，并且满足，．
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围．
20．已知函数，不等式的解集是.
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.
21．已知函数，.
(1)若关于的方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围；
(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
22．某化工企业生产过程中不慎污水泄漏，污染了附近水源，政府责成环保部门迅速开展治污行动，根据有关部门试验分析，建议向水源投放治污试剂，已知每投放a个单位（且）的治污试剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的治污试剂浓度为每次投放的治污试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中治污试剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能治污有效．
(1)若只投放一次4个单位的治污试剂，则有效时间最多可能持续几天？
(2)若先投放2个单位的治污试剂，6天后再投放m个单位的治污试剂，要使接下来的5天中，治污试剂能够持续有效，试求m的最小值．
1．C
【分析】解不等式，可得集合，进而可得交集.
【详解】由题意，，
则，
故选：C.
2．C
【分析】存在量词命题（又称特称命题）的否定为全称量词命题（又称全称命题），即变为.
【详解】“，有实数解”的否定是“，无实数解”，
故选：C.
3．D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【详解】因为，
当且仅当，即，即时取得等号，
故选:D.
4．A
【分析】根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可求解.
【详解】当时，如，，不能得到，
由，则，又，所以一定能得到，
所以“”是“”成立的充分不必要条件.
故选：.
5．B
【分析】根据不等式的解集，可得是方程的根，得到的关系，再解可得答案.
【详解】不等式的解集为，
可得是方程的根，
所以，且，解得，
由不等式可得，
由得，
所以，解得，
则不等式的解集为.
故选：B.
6．D
【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性，结合幂函数与二次函数的单调性即可得解.
【详解】由题意，得，解得或，
所以函数的定义域为，
令，则开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
而在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为.
故选：D.
7．C
【分析】根据函数图象，分类讨论即可求解值域求解.
【详解】，且，，
当，此时在单调递减，此时值域为，不符合要求，
当，此时在单调递减，此时值域为，符合要求，
当，此时在单调递减，在单调递增，此时值域为，符合要求，
当，此时在单调递减，在单调递增，此时值域为，而，不符合要求，
综上可得：，
故选：C

8．D
【分析】根据题意作出函数的图象，根据二次函数的性质，数形结合判断临界点即可求解.
【详解】解：由题可知，当时，，其对称轴为，
当时，函数有最大值为，
当时，函数有最大值为，
当时，，在单调递减，故，
因为函数无最大值，故当时，需满足，解得，不符合题意，
当时，需满足，解得，（舍去）.
综上，实数a的取值范围是.
故选：D.
9．ABD
【分析】根据不等性质分别判断各选项.
【详解】对于A：因为，所以，所以，故A正确；
对于B：因为，所以，两边同乘以得，即，故B正确；
对于C：因为，所以，所以，
又，两式相乘得，故C错误；
对于D：，因为，所以，，所以，即，故D正确；
故选：ABD.
10．ABC
【分析】根据题意，由函数的定义逐一判断，即可得到结果.
【详解】图①中能看到函数的值域不是集合B的子集，不符合函数定义：
图②和③中，从集合A到集合B存在一对多的对应关系，不符合函数的定义：
图④符合函数的定义.
故选：ABC
11．ABD
【分析】利用基本不等式直接判断AB选项；由已知可得，代入根据函数的性质可得最值.
【详解】由题意，正实数，满足，
对于A，由，可得，解得，
当且仅当时，等号成立，所以A正确；
对于B，由，可得，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，所以B正确：
对于C，由，可得，由，可得，且，
令，则，构造函数，，由于函数在上为增函数，所以，所以C错误；
对于D，，令，由上可知，
构造函数，，易知在上单调递减，则的值域为，所以D正确；
故选：ABD.
12．ABC
【分析】根据“倍值区间”的定义分别判断各选项.
【详解】根据题意，函数中存在“倍值区间”，则满足在上是单调函数，其次有或，
依次分析选项：
对于A，，在区间在上是增函数，其值域是，则区间为函数的“倍值区间”；
对于B，，在区间上是增函数，其值域为，则区间是函数的“倍值区间”；
对于C，，在区间上是减函数，其值域为，则区间是函数的“倍值区间”；
对于D，，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
若函数存在倍值区间，则有或，
对于，有，解可得，不符合题意，
对于，有，变形可得且，必有，不符合题意，
故当时，不存在“倍值区间”；同理可得当时，不存在“倍值区间”，
故在定义域内不存在“倍值区间”，
故选：ABC.
13．
【分析】根据不等式的性质求解即可.
【详解】

故答案为：
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于中等题.
14．
【分析】由，易得。
【详解】由，可知。
故答案为：
【点睛】此题考查通过集合的并集求参数，属于简单题目。
15．4
【分析】先用基本不等式求出的最大值，进而求出的最小值，再利用基本不等式求出的最小值.
【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，所以有成立，因此
（当且仅当时取等号），所以的最小值为4.
【点睛】本题考查了利用基本不等式求代数式的最值问题，关键是记住用基本不等式要注意三点:一是必须是二个正数；二是要有定值；三是相等的条件.
16．
【分析】作出函数图象，结合图象根据函数的定义域即可求解函数的值域；结合二次函数的性质，根据题意解得参数满足的不等式，求得答案.
【详解】
当时，函数为，
画出函数图象，由图可知，当时，函数有最小值，
当或时，函数有最大值，则函数的值域为；
当函数的值域为，由函数图象可知，
当且仅当时，函数值，可得，
又由得或，结合图象可得，
综上所述，，即的范围为.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：数形结合是解分段函数的利器，作出分段函数图象，直接简化运算，提高解题速度.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）根据并集运算求解；
（2）根据新定义直接计算即可.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）由于且，
所以或．
18．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，由列出方程，代入计算，即可求得；
（2）根据题意，由单调性的定义，带入计算，即可证明.
【详解】（1）且，解得.
所以函数的解析式为.
（2）证明：，且，
则
因为，所以，
又，所以，
则，
则，即，即
所以函数在上单调递增.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）利用赋值法即得；
（2）利用赋值法得，然后结合条件转化已知不等式为，最后根据单调性即得.
【详解】（1）因为，
令，得，
即；
（2）由题意知，
，
∴由，可得，
又在R上单调递增，
∴，即，
∴的取值范围是．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据不等式的解集，可得对应方程的解，进而可得参数值及函数解析式；
（2）方法一：分离参数，根据函数单调性可得最值及参数范围；方法二：结合二次函数的最值情况分情况讨论可得参数范围.
【详解】（1）因为的解集是，
则的两根是和，
由根于系数关系可得，
解得，
所以；
（2）方法一：关于的不等式在上有解，等价于，使得，
则，，
因为函数在上单调递减，
所以当时，取到最大值，，
所以，
故的取值范围是；
方法二：由题知，即关于的不等式在上有解，令，等价于在区间上的最小值，
图象的对称轴是，根据二次函数图象对称轴和区间位置关系可知，
①当，即时，此时的最小值，则，解得；
②当，即时，的最小值，此时恒成立，所以得；
③当，即时，，则由，解得；
综上所述，的取值范围是.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据方程根的情况，结合判别式与韦达定理列不等式，解不等式即可；
（2）方法一：不等式可化为，变化主元，转化为关于的一次函数，结合一次函数值域可得不等式，解不等式；方法二：分情况讨论，分离参数，解决不等式恒成立问题.
【详解】（1）关于的方程有两个实数根，，
则，解得，
又，
则，即，
综上所述，实数的取值范围为；
（2）方法一：不等式可化为（*），
令，
由题知对恒成立
则有，
得，
得或，
综上得的取值范围是；
方法二：不等式可化为（*）.
由题知不等式（*）对恒成立.
①当，即时，得到，使得对恒成立，所以，解得或（舍）；
②当，时，不等式（*）显然不成立，此时不符合题意；
③当，时，得到，使得对恒成立，则，解得或（舍），
综上得的取值范围是.
22．(1)7天；
(2).
【分析】（1）根据给定的函数模型求投放一次4个单位的治污试剂的有效时间即可；
（2）由题设，将问题化为在上恒成立，利用基本不等式求右侧最大值，即可得求参数最小值.
【详解】（1）因为一次投放4个单位的治污试剂，
所以水中释放的治污试剂浓度为，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上，，故一次投放4个单位的治污试剂，则有效时间可持续7天．
（2）设从第一次投放起，经过天后浓度为．
因为，则，，
所以，即，令，，
所以，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立，
故为使接下来的5天中能够持续有效m的最小值为2.