浙江省宁波市北仑中学2024-2025学年高一上学期9月第一次检测 数学试题（含解析）

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1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 1与表示同一个集合
B. 由1，2，3组成的集合可表示为或
C. 方程的所有解的集合可表示为
D. 集合可以用列举法表示
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.
【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误；
对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确；
对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误；
对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误.
故选：B.
2. 若，则的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合元素与集合的关系计算即可得.
【详解】当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，则，符合题意，
当时，有或，已知当时符合题意，
当时，则，符合题意，
故的取值集合为.
故选：C.
3. 已知集合满足，则集合的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合的子集、真子集的概念求解.
【详解】由题可知，集合可以为：共3个，
故选：C.
4. 已知全集，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，，再求，
【详解】因为，且，
所以，
因为，，所以，
所以．
故选：B．
5. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质求解即得.
【详解】对于A，，A不是；
对于B，当时，由，得，B不是；
对于C，，可能有，如，C不是；
对于D，由，得，则；若，则，D是.
故选：D
6. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取即可判断A、B、D选项是错误的，由基本不等式即可判断C选项是正确的.
【详解】取满足，且，此时，A错误；
取满足，且，此时，B错误；
可得，C正确；
取满足，且，此时，D错误.
故选：C.
7. 已知命题p：“∀x∈，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A. －1C. a<－1D. －1≤a<2
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用解含参的一元二次不等式恒成立问题的方法求解，即可得出答案.
【详解】当a＝－1时，3>0成立；
当a≠－1时，需满足，
解得－1综上所述，－1≤a<2.
故选：D
8. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由得，得到，进而，所以，由均值不等式求得最小值.
【详解】因为且，所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为，
故选：A.
二､多选题
9. 命题的否定是真命题，则实数的值可能是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据特称命题否定知：，为真命题，再利用判别式小于0即可求解.
【详解】因为命题的否定是真命题，
所以命题：，是真命题，也即对，恒成立，
则有，解得：，
根据选项的值，可判断选项AB符合，
故选：AB.
10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值为B. 有最小值为
C. 有最小值为D. 有最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的条件即可求解D.
【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确，
对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确，
对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确，
对于D：因为，
当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误，
故选：ABC．
11. 已知,若对任意的,不等式恒成立.则（ ）
A. B.
C. 的最小值为12D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先对进行因式分解,分情况讨论小于等于零的情况,可得,即,可得选项A,B正误;将中的用代替,再用基本不等式即可得出正误;先将代入中,再进行换元,求出新元的范围,根据二次函数的单调性即可求出最值,判断D的正误.
【详解】因为,
恒成立,即恒成立,
因为,所以当时,,则需,
当时,,则需,
故当时,,即,
所以且,故选项A正确,选项B错误;
所以,
当且仅当时,即时取等,故选项C正确;
因为,
令,
当且仅当，即时等号成立，故，
所以故,
所以在上,单调递减,即,所以，故选项D正确.
故选:ACD
【点睛】思路点睛:该题考查基本不等式的应用,属于难题,关于不等式有:
(1),;
(2)柯西不等式:;
(3)变换后再用基本不等式:.
三､填空题
12. 若集合，，，则如图中阴影部分表示的集合为__________ ．

【答案】##
【解析】
【分析】根据给定的韦恩图，利用补集、交集定义求解即得.
【详解】由集合，，得，而，
所以图中的阴影部分表示的集合.
故答案为：
13. 已知，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先设出，求出，再结合不等式的性质解出即可；
【详解】设，
所以，解得，
所以，
又，所以，
又
所以上述两不等式相加可得，
即，
所以的取值范围是，
故答案为：.
14. 已知正数a，b，c满足，，则的最小值为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】使用不等式将放缩，使用“1”的代换及基本不等式求得目标最小值.
【详解】由题意知，当时取等号，
故
，当时取等号，
综上，当时，的最小值为2.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：本题求最小值关键是第一步用放缩法将放掉，第二步是将中的2代换为，将整式处理为，再用“1”的代换求最小值.
四､解答题
15. 已知全集，集合，且非空集合.
（1）分别求；
（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合后可得.
（2）根据条件关系可得集合的包含关系，从而可得参数的取值范围.
【小问1详解】
，
又，所以，
故；
小问2详解】
因为是的充分不必要条件，故是的真子集，
故2a≤a+22<2a4>a+2，故.
16. 解答下列各题.
（1）若，求的最小值.
（2）若正数满足，
①求的最小值.
②求的最小值.
【答案】（1）7； （2）①36；②.
【解析】
【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案；
（2）①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案.
【小问1详解】
由题.
当且仅当，即时取等号；
【小问2详解】
①由结合基本不等式可得：
，又为正数，
则，当且仅当，即时取等号；
②由可得，
则.
当且仅当，又，
即时取等号.
17. 设函数.
（1）若命题：是假命题，求的取值范围；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据命题∃x∈R,y>0为真命题，求出实数的取值范围，从而可求出命题为假命题时，实数的取值范围；
（2）由题意对于，使有解，分离参数得在上能成立，利用基本不等式求得即可求解的取值范围.
【小问1详解】
若命题：∃x∈R,y>0是真命题，则，不等式成立，
当时，，显然不成立；
当时，函数为二次函数，
若即，则∃x∈R,y>0，满足题意；
若即，则，解得，
综上，或.
所以命题：∃x∈R,y>0是假命题时，；
【小问2详解】
存在，使得成立，
即对于，使有解，
即在上能成立，所以，
因为，当且仅当即时等号成立，
所以.
18. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）求.
【答案】（1）
（2）答案见详解
【解析】
【分析】（1）将代入，解出集合，结合交集的性质即可得；
（2）根据、、分类讨论解出集合，结合交集的性质即可得.
小问1详解】
当时，有，即，解得，
故，又B=x∣x>0，则；
【小问2详解】
ax2-a+1x+1>0⇔ax-1x-1>0
当时，有，解得，故，
又B=x∣x>0，则；
当时，有ax2-a+1x+1>0⇔ax-1x-1>0⇔x-1ax-1>0，
解得或，故A=xx<1或x>1a，
又B=x∣x>0，则A∩B=x01a；
当时，有ax2-a+1x+1>0⇔ax-1x-1>0⇔x-1ax-1<0，
解得，故，又B=x∣x>0，则；
综上所述：当时，；
当时，A∩B=x01a.
19. 已知函数，集合.
（1）若集合中有且仅有3个整数，求实数的取值范围；
（2）集合，若存在实数，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）或.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题设可判断解集中的3个整数为，故可得关于的不等式组，从而可求其范围.
（2）根据包含关系可得关于的不等式组即为，从而可求其范围.
【小问1详解】
，
因为且中有且只有3个整数，
故这3个整数为，故0-a0+a-2≤0-1-a-1+a-2>0即，
故或.
【小问2详解】
，
因为，所以，
因为，故任意，总有恒成立，
因为的对称轴为，
故，故，
故即，
故存在，使得成立，
而，故，
而，故