山东省泰安市新泰市紫光实验中学2024-2025学年高二上学期期中学情检测数学试题

这是一份山东省泰安市新泰市紫光实验中学2024-2025学年高二上学期期中学情检测数学试题，共8页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知空间向量,,若,则( )
A.1B.C.D.3
2．已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）.在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是( )
A.
B.当时，
C.若，，则
D.平行六面体的体积
3．经测得某拱桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度是（注：）( )
米米米D.以上都不对
4．已知中，，角A的平分线交BC于点D，若，则面积的最大值为( )
A.1B.2C.3D.4
5．已知圆与圆相外切，则实数m的值为( )
A.1B.2C.3D.4
6．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A.B.C.D.
7．在坐标平面内，与点的距离为1，且与点的距离为2的直线共有( )
A.1条B.2条C.3条D.4条
8．“”是“两点，到直线的距离相等”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
二、多项选择题
9．已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数m的值可能为( )
A.0B.1C.2D.－1
10．已知圆，点，则下列说法正确的有( )
A.若点P在圆O上，则圆O在点P处的切线方程为
B.若点P在圆O外，则直线与圆O相交
C.若点P在圆O内，则直线与圆O相交
D.若点P在圆O外，则直线与圆O位置关系不确定
11．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，则下列结论正确的是( )
A.若点，，则
B.若点，，则在x轴上存在点P，使得
C.若点，点P在直线上，则的最小值是3
D.若点M在上，点N在直线上，则的值可能是4
三、填空题
12．已知，设直线，，若，则________.
13．点P为直线上任意一个动点，则P到点的距离的最小值为___________.
14．已知点（，）在圆和圆的公共弦上，则的最小值为________.
四、解答题
15．已知直线l经过点,圆.
(1)若直线l与圆C相切,求直线l的方程;
(2)若直线l被圆C截得的弦长为,求直线l的方程.
16．如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,,,,,,.
（1）求证:平面PAB;
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;
（3）在棱PA上是否存在点M,使得平面PCD？若存在, 求的值;若不存在,说明理由.
17．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，是等边三角形，平面平面，，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为.
（1）若E为棱SA的中点，F是SB的中点，求证：平面平面SCD；
（2）是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由.
18．已知直线,直线．
(1)若,求实数a的值;
(2)若,求实数a的值．
19．如图,在四棱锥中,平面平面BCDE,,,,F是线段AD的中点．
(1)若,求证：平面ACD;
(2)若,,且平面ABC与平面ADE夹角的正切值为,求线段AC的长．
参考答案
1．答案：B
解析：因为,,且,所以,解得,
故选:B.
2．答案：C
解析：对于A，，而，故，正确；
对于B，，当时，有意义，则，正确；
对于C，因为，，所以，，所以，错误；
对于D，的模长即为平行六面体底面的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知，
就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确.
故选：C
3．答案：A
解析：以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴、过点P且平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系.
由题意可知，点A的坐标为，设拱桥圆弧所在圆的半径为r.，由勾股定理可得，即，解得，圆心坐标为，则圆的方程为.将代入圆的方程得.，解得，（米）.故选A.
4．答案：C
解析：在中，，在中，，故，，
因为，
所以，
又角A的平分线交BC于点D，则，因此，故.
以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，，所以，，设，则，即，化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去点，）.
故当点A的纵坐标的绝对值最大，即时，的面积取得最大值，最大值为.故选C.
5．答案：A
解析：由可得，则，所以，所以圆的圆心为，半径为.
圆的圆心为，半径为1，圆与圆相外切，则，解得.故选A.
6．答案：B
解析：根据题意，圆的方程可化为，其圆心为，半径为5，所以该圆过点的最长弦为直径，则，最短弦，所以.故选B.
7．答案：B
解析：满足要求的直线应为圆心为A，半径为1和圆心为B，半径为2的两圆的公切线，又，，所以圆A与圆B相交，所以公切线有2条.
8．答案：A
解析：由题意，得直线AB的斜率，线段AB的中点.当时，直线经过线段AB的中点，所以两点，到直线的距离相等.当两点，到直线的距离相等时，可能有直线经过线段AB的中点，此时，也可能是直线与直线AB平行，此时.因此“”是“两点，到直线的距离相等”的充分不必要条件.故选A.
9．答案：AC
解析：直线：和：平行，则，
两条平行直线间距离，解得且，
故0和2符合要求.
故选：AC.
10．答案：AB
解析：对于A，点P在圆O上，则，因为点P的坐标满足，故直线过点P.又点到直线的距离，故直线与圆O相切.综上所述，若点P在圆O上，则圆O在点P处的切线方程为，A正确.
对于B，D，点P在圆O外，则，又点O到直线的距离，故直线与圆O相交，所以B正确，D错误.
对于C，点P在圆O内，则，又点O到直线的距离，故直线与圆O相离，C错误.
故选AB.
11．答案：ACD
解析：对于A选项，由曼哈顿距离的定义可知，则A正确.
对于B选项，设，则从而，故B错误.
对于C选项，作轴，交直线于E，过P作，垂足为H，如图①所示.
由曼哈顿距离的定义可知.
当P不与E重合时，因为直线的斜率为，所以，所以；
当P与E重合时，.
综上，，则.故C正确.
对于D选项，如图②所示，若，，则，故D正确.故选ACD.
12．答案：1
解析：因为，所以.
故答案为：1
13．答案：3
解析：由题意得当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，此时距离等于点到直线的距离，故P到点的距离的最小值为3.
故答案为：3
14．答案：8
解析：两圆方程相减得，即，
所以，，
，
当且仅当，即，时等号成立，
点为，，，点在两圆公共弦上，满足题意，
故答案为：8.
15．答案：(1)或
(2)或
解析：(1)由已知圆,所以圆心坐标为,半径为2.
当直线l的斜率不存在时,即直线l的方程为：,此时是与圆C相切,满足题意;
当直线l的斜率存在时,设直线l为：,即,
则圆C的圆心到直线l的距离,解得,
故直线l的方程为.综上,直线l的方程为或.
(2)因为直线l被圆C所截得的弦长为,
所以圆心到直线l的距离为.
由(1)可知,直线l的斜率一定存在,设直线l为：,即,
则圆心到直线l的距离,解得或.
故直线l的方程为或.
16．答案：（1）证明见解析;
（2）;
（3）存在,.
解析：（1）因为平面平面ABCD,,
所以平面PAD.
所以.
又因为,
所以平面PAB.
（2）取AD的中点O,连结PO,CO.
因为,所以.
又因为平面,平面平面,
所以平面ABCD.
因为平面ABCD,所以.
因为,所以.
如图建立空间直角坐标系.由题意得,
,,,,.
设平面PCD的法向量为,
则即
令,则,.
所以.
又,所以.
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.
（3）设M是棱PA上一点,则存在使得.
因此点,.
因为平面PCD,所以平面PCD当且仅当,
即,解得.
所以在棱PA上存在点M使得平面PCD,此时.
17．答案：（1）证明见解析
（2）存在点E，且E为AS上靠近A点的三等分点
解析：（1）证明：在等边三角形SAD中，P为AD的中点，于是，
又平面平面ABCD，平面平面，平面SAD，
平面ABCD，
是四棱锥的高，
设，则，，
，，
如图，以点P为坐标原点，PA所在直线为x轴，过点P且与AB平行的直线为y轴，PS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
设是平面的一个法向量，
则即
令，则，，.
同理可得平面SCD的一个法向量为.
，平面平面SCD.
（2）存在.设，
则，，
设平面PEB的一个法向量为，
则
令，则，，
，
易知平面SAD的一个法向量为，
.
，，
存在点E，且E为AS上靠近A点的三等分点.
18．答案：(1);
(2)或．
解析：(1),
,
整理得,
解得或,
当时,与重合,舍去,
故．
(2),
,
,
或．
19．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：取AC的中点G,连接BG,FG,因为,所以,
因为平面平面BCDE,平面平面,
,平面BCDE,所以平面ABC,
又平面ABC,所以,因为,,平面,
所以平面,因为F是线段AD的中点,
所以,,因为,,
所以且,所以四边形BEFG是平行四边形,
所以,因为平面ACD,所以平面ACD;
(2)如图,
在平面ABC内过点B作,以B为坐标原点,分别以BH,BC,BE为x轴,y轴、z轴建立空间直角坐标系,令,
因为,,,故BCDE为直角梯形,
由平面几何知识可得,
所以,,,,
又由,得,所以,,
设平面ADE的一个法向量,
由得,
所以,不妨取,则,
又由题意得：平面ABC的法向量,令平面ABC与平面ADE的夹角为,
因为,所以,即,
所以,
化理得,解得(舍),,即,
所以,所以线段AC的长为.