山东省聊城市第二中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题

这是一份山东省聊城市第二中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题，共9页。试卷主要包含了向量，若，则，过点且倾斜角为的直线方程为，已知直线“是”的，已知两点，过点的直线与线段，已知，则的最小值为，满足下列条件的直线与，其中的是等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.向量，若，则（ ）
A. B.
C. D.
2.过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.在四面体中，，用向量表示，则等于（ ）
A. B.
C. D.
4.在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ）
A. B. C. D.6
5.已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为（ ）.
A. B.0 C.5 D.
6.已知直线“是”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知两点，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.满足下列条件的直线与，其中的是（ ）
A.的倾斜角为的斜率为1
B.的斜率为经过点
C.经过点经过点
D.的方向向量为的方向向量为
10.若三条直线可以围成一个三角形，则实数的值可以为（ ）
A. B.0 C.1 D.3
11.已知四面体满足，则（ ）
A.直线与所成的角为
B.直线与所成的角为
C.点为直线上的动点，到距离的最小值为
D.二面角平面角的余弦值为
第二部分（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知直线与直线的交点为.则过点且与直线垂直的直线的一般式方程为__________.
13.已知三角形的三个顶点，则的高等于__________.
14.已知向量与的夹角为，则在方向上的投影向量的模长为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知空间中三点.设.
（1）求和；
（2）若与互相垂直，求实数的值.
16.（15分）
已知三角形的顶点坐标为.
（1）求过点且与边平行的直线方程；
（2）求边上的高所在的直线方程.
17.（15分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形､平面分别为棱的中点
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
18.（15分）
已知直线过点且与轴､轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，
（1）求三角形面积取最小值时直线的方程；
（2）求取最小值时直线的方程
19.（17分）
如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，是棱上的动点，且.
（1）证明：平面.
（2）是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
聊城二中2023级高二上学期第二次月考数学答案
第一部分（选择题共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
第二部分（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.1
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
【解析】（1）.
于是，
.
（2），
又与互相垂直，
即
16【详解】（1）因为，由直线的点斜式方程可得，
整理可得.
（2）由（1）可知，，则边上的高所在的直线斜率为，
由直线的点斜式方程可得，
整理可得.
17.【详解】（1）分别为的中点
为正方形
平面平面
平面.
（2）由题知平面
建立如图所示的空间直角竖标系，
设，则，
设平面的一个法向量为
则，令，则，
设直线与平面所或的角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18.【详解】（1）由题意设，其中为正数，可设直线的方程为，因为直线过点，所以，
由基本不等式可得，
所以，
当且仅当即时，取得最小值16，
所以面积，
所以当时，面积最小，
此时直线的方程为，即，
（2）因为，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
所以当时，的值最小，
此时直线的方程为，即.
19.【详解】（1）因为四边形是菱形，所以.
因为平面，且，所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以，即.
因为平面，且，所以平面.
（2）取棱的中点，连接，易证两两垂直，
故以A为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设，则，
故，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，得.
平面的一个法向量为，设面与面所成的锐二面角为，
则，整理得，解得
或（舍去）.
故存在实数，使得面与面所成锐二面角的余弦值是.1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
B
C
C
A
A
C
9
10
11
BCD
BD
BCD