安徽省宿州市埇桥区宿城一中城南学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份安徽省宿州市埇桥区宿城一中城南学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
3．关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为（ ）
A．B．2C．3D．7
4．如图，菱形对角线与交于点，则菱形的面积为（ ）
A．48B．96C．24D．6
5．关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
6．如图，在矩形中，，对角线与相交于点于点，当为中点时，则的长为（ ）
A．B．4C．D．8
7．如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是2，则图中重叠部分的面积是（ ）
A．1B．2C．D．
8．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，正方形和正方形中，点在上，，是的中点，那么的长是（ ）
A．2.5B．C．D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
11．一元二次方程的根为________．
12．如图，在矩形中，点是线段上一动点，且，为垂足，，则的值为________．
13．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为________．
14．如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时，的面积随时间的变化关系图象如图2．
图1 图2
（1）________；
（2）的值是________．
三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题8分）
解方程：．
16．（本小题8分）
已知：如图，是正方形的对角线上的两点，且．求证：四边形是菱形
17．（本小题8分）
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．问：当梯子的顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等？
18．（本小题8分）
如图，点是菱形对角线的交点，，连接．
求证：．
19．（本小题10分）
某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
20．（本小题10分）
如图，在四边形中，分别是的中点，分别是对角线的中点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，则当时，求四边形的面积．
21．（本小题12分）
社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？
22．（本小题12分）
如图，在中，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒．过点作于点，连接．
（1）求证：；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由．
（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
23．（本小题14分）
【问题情境】
（1）已知正方形，点在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为________，位置关系为________．
【继续探究】
图1 图2 图3
（2）若正方形的边长为4，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示．
①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接，若，求线段长．
答案和解析
1．【答案】B
【解析】解：A、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意；
B、方程是一元二次方程，该选项符合题意；
C、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意；
D、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意；
故选：B．
据此即可判定求解．
本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2．【答案】B
【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误．
故选：B．
根据矩形、菱形、平行四边形、正方形的判定方法逐一进行判定．
本题考查了矩形、菱形、平行四边形、正方形的判定方法．熟练掌握特殊四边形的判定方法是解决此类问题的关键．
3．【答案】C
【解析】解：，
．
故选：C．
把代入方程中，求解即可．
本题考查一元二次方程的解，代入求值是关键．
4．【答案】B
【解析】解：四边形为菱形，且，
．
故选：B．
根据菱形面积公式即可计算得出该菱形的面积．
此题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解决问题的关键．
5．【答案】A
【解析】解：在关于的一元二次方程中，，，
因为，所以，
所以关于的一元二次方程根的情况是有两个不相等的实数根．故选：A．
先根据已知方程，求出根的判别式，然后根据判别式的正负，判断方程根的情况即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握利用一元二次方程根的判别式判断方程解是解题的关键．
6．【答案】D
【解析】解：四边形是矩形，
，
，
为中点，
垂直平分，
，
，
．
故选：D．
由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，得出，即可．
此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
7．【答案】A
【解析】解：设与交于点，如图所示：
四边形和四边形均为正方形，且边长都是2，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
正方形的边长为2，
，
，
．
故选：A．
证明和全等得，进而得，然后再根据即可得出答案．
此题主要考察了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
8．【答案】A
【解析】解：根据题意得：．
故选：A．
利用该款燃油汽车今年4月份的售价该款燃油汽车今年2月份的售价（该款汽车这两月售价的月平均降价率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．【答案】B
【解析】解：，
，
，即，
故选：B．
先配方，再根据完全平方公式进行变形，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
10．【答案】B
【解析】解：如图，连接，
正方形和正方形中，，
，
，
，
由勾股定理得，，
是的中点，
．
故选：B．
连接，根据正方形性质求出，再求出，然后利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
11．【答案】
【解析】解：，
，
或，
．
故答案为：．
先移项，再利用提公因式法把方程左边分解得到，则原方程化为或，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．
12．【答案】
【解析】解：连接，如图所示：
四边形是矩形，
，
在中，，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，根据矩形的性质及勾股定理得，再根据三角形的面积公式得，然后根据即可得出的值．
此题主要了矩形的性质，理解矩形的性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
13．【答案】2
【解析】解：是一元二次方程的两个实数根，
，
，
故答案为：2．
直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题的关键．
14．【答案】
【解析】解：过点作交的延长线于点，
由图象可知，点从点到用，此时，的面积为，
，
，
，
当点从到时，用时，
，
中，，
四边形是菱形，
，
在中，，
解得．
故答案为：．
通过分析图象，点从点到用，此时，的面积为，依此可求菱形的高，再由图象可知，，应用两次勾股定理分别求和．
本题考查了动点函数图象问题，掌握菱形性质，勾股定理是解题的关键．
15．【答案】解：，
，
【解析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的求解，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．
16．【答案】证明：如图，连接交于点，
四边形是正方形，
，
，
，
，且，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
【解析】由正方形的性质可得，可得，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再由，即可证四边形是菱形．本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质．
17．【答案】解：未滑动前梯子底端距墙的水平距离为，
设梯子顶端向下滑动，则梯子底端也滑动，
此时梯子的顶端距地面的垂直距离为，梯子的底端距墙面的垂直距离为，
可得方程：
解得（舍去），
当梯子的顶端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等．
【解析】利用勾股定理算出未滑动前梯子底端距墙的水平距离，设梯子顶端向下滑动，则梯子底端也滑动，利用勾股定理列方程，即可解答．
本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系列方程是解题的关键．
18．【答案】证明：，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
，
，
【解析】先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，证明是矩形，利用勾股定理即可求出．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
19．【答案】解：设衬衫的单价降了元．
根据题意，得
，
解得：，
答：衬衫的单价降了15元．
【解析】设衬衫的单价降了元．根据题意等量关系：降价后的销量每件的利润，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
20、【答案】（1）证明：四边形中，分别是的中点，
．
，
．
四边形是菱形．
（2）解：四边形中，分别是的中点，
．
．
．
．
菱形是正方形．
，
．
正方形的面积．
【解析】（1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形的四边相等，即可证得；
（2）根据平行线的性质可以证得，得到菱形是正方形，利用三角形的中位线定理求得的长，则正方形的面积可以求得．
本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定以及正方形的判定，理解三角形的中位线定理是关键．
21．【答案】解：设道路的宽为米，根据题意结合平移的性质可得：
，
，
解得：（舍去）或，
答：道路的宽为6米．
【解析】设道路的宽为米，利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为米，宽为米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可．
本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键．
22．【答案】解：（1）证明：在中，，
．
又，
；
（2）能；
理由如下：
，
．
又，
四边形为平行四边形．
，
，
若使能够成为等边三角形，
则平行四边形为菱形，则，
，
；
即当时，为等边三角形；
（3）当或4时，为直角三角形；理由如下：
①时，四边形为矩形．
在中，，
．即，
②时，由（2）知，
．
，
．
即，
；
（3）时，此种情况不存在；
综上所述，当或4时，为直角三角形．
【解析】（1）由，证出；
（2）先证明四边形为平行四边形．得出，若为等边三角形，则？为菱形，得出，求出；
（3）分三种情况讨论：①时；②时；③时，此种情况不存在；分别求出的值即可．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定与性质以及锐角三角函数的知识；考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力；特别注意（3）中分类讨论三种情况，分别求出的值，避免漏解
23．【答案】
【解析】解：（1）如图1，延长交于．
图1
四边形是正方形，四边形是正方形，
，
在和中，
，
，
，
，即，
，
故答案为：；．
（2）①．理由如下：
如图2，延长，交的延长线于点，
图2
四边形是正方形，四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图3，过点作，
图3
，
，
又，
，
，
，
（1）延长交于．证明，即可；
（2）①延长，交的延长线于点，证明，即可；②过点作，证明，可得，再由勾股定理，即可求解；
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质及勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．