安徽师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份安徽师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．经过两点,的直线的倾斜角为,则( )
A.1B.2C.3D.4
2．已知圆,圆,则这两个圆的位置关系为( )
A.外离B.外切C.内切D.相交
3．“”是“方程表示椭圆”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足.若，，，则( )
A.B.C.D.
5．若,,直线与直线互相垂直,则ab的最大值为( )
A.B.C.D.
6．已知A,B是椭圆上的两点,点是线段AB的中点,则直线AB的方程为( )
A.B.C.D.
7．如图,在正三棱柱中,,点D是棱BC的中点,则点到直线的距离为( )
A.B.C.D.
8．已知曲线,直线l：,若曲线C上恰有3个点到直线l的距离为1,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列结论正确的是( )
A.若向量,,是空间的一组基底,则,,也是空间的一组基底
B.两个不同的平面,的法向量分别是,,则
C.直线l的方向向量,平面α的法向量,则
D.若,,,则P点在平面ABC内
10．若两条平行直线与之间的距离是,则的值可能为( )
A.3B.9C.12D.15
11．已知椭圆的左、右焦点分别是,,点P是上的一点（异于左,右顶点）,则下列说法正确的是( )
A.的周长为10
B.的面积的最大值为
C.若,则点P到x轴的距离为
D.存在8个不同的点P,使得为直角三角形
12．在平面直角坐标系xOy中,已知直线交x轴于点A,交y轴于点B,点P是直线上l的一点,过P作圆的两条切线,切点分别为M,N,则下列说法正确的是( )
A.当取得最大值时,
B.当取得最小值时,
C.四边形PMCN的面积的最小值为
D.O点到直线MN的距离的最大值为1
三、填空题
13．已知空间向量,,若,则_________.
14．直线关于直线的对称直线方程为__________.
15．已知F是椭圆学的左焦点,点P是E上的一点,点M是圆上的一点,则的最小值为___________.
16．已知,,点P在圆上运动,则的取值范围是__________.
四、解答题
17．已知的三个顶点是,,.
(1)求BC上的高所在直线的方程;
(2)若直线过点B,且点A,C到直线的距离相等,求直线的方程.
18．已知圆C的圆心在直线上,且过,.
(1)求圆C的方程;
(2)过点的直线l交圆C于A,B两点,且,求直线l的方程.
19．如图,在正方体中,点E,F分别是棱BC,的中点.
(1)求直线与EF所成角的余弦值;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
20．已知椭圆的左,右焦点分别为,过点的直线交C于A,B两点,.
(1)若,的周长为18,求的值;
(2)若,求C的离心率.
21．如图,在四棱锥中,四边形ABCD是菱形,,,点E是棱PA上的一点.
(1)求证：平面平面ABCD;
(2)若,直线BE与平面PAD所成角的正弦值为,求的值.
22．已知椭圆的离心率为,上、下顶点分别为A,B,右顶点为C,且的面积为6.
(1)求E的方程;
(2)若点P为E上异于顶点的一点,直线是AP与BC交于点M,直线CP交y轴于点N,试判断直线MN是否过定点?若是,则求出该定点坐标;若不是,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由于直线AB的倾斜角为,则该直线AB的斜率为,
又因为,,所以,解得.
故选B.
2．答案：D
解析：圆的标准方程为,圆心为,半径为,
圆的标准方程为,圆心为,
半径为,因为,则,故这两个圆相交.
故选：D.
3．答案：B
解析：若方程表示椭圆,
则有,即且,
故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：B．
4．答案：C
解析：由题意知
.
故选C.
5．答案：C
解析：由直线与直线互相垂直,所以,即,
又,,所以,
当且仅当,即,时等号成立,所以ab的最大值为.
故选C.
6．答案：A
解析：设,,则AB的中点坐标为,
所以,,将A,B的坐标代入椭圆的方程
作差可得,所以,
所以直线AB的方程为,即.
故选：A.
7．答案：A
解析：取AC的中点O,取的中点E,连接OE,则平面ABC,连接
OB,因为是等边三角形,所以,因为OB,平面ABC,
所以OB,AC,OE两两垂直,所以O以为坐标原点,OB所在直线为x轴,
OC所在直线为y轴,OE所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所
示.又,所以,,,
,所以,所以,,
所以,
所以点到直线的距离,
故选：A.
8．答案：D
解析：由曲线C：,得,
所以曲线C是以为圆心,半径为2的圆的上半部分.当直线l与曲线C相切时,,
解得或（舍）.当直线l：与直线间的距离为1时,,
解得或（舍）.当时,曲线C上至多有2个点到直线l的距离为1,不符合题意;
当直线l过点时,得.当直线与直线间的距离为1时,,
解得或（舍）,当,曲线C上至多有1个点到直线l的距离为1,不符合题意;
当时,曲线C上恰有3个点到直线l的距离为1,符合题意.
综上,a的取值范围是.
故选：D.
9．答案：ABD
解析：若向量,,是空间的一组基底,则,,也是空间一组基底,故A正确;
因为,所以,故B正确;
不能确定直线l是否在平面内,故C错误;
因为,故D正确.
故选：ABD.
10．答案：BC
解析：由题意知,解得,所以,
又,即,所以,
解得或,所以或.
故选：BC.
11．答案：BC
解析：的周长为,故A错误;
的面积,所以的面积的最大值为,此时,故B正确;
因为,所以
,
解得,
所以的面积为,
所以,故正确;
当时,此时有2个不同的点P;当时,此时
有2个不同的点P.设,所以,
所以
,
所以,所以存在4个不同的点P,使得为直角三角形,故D错误.
故选BC.
12．答案：ABD
解析：易得,,当取得最大值时,直线AM与圆C相切,此时,故A正确;
当取得最小值时,直线AM与圆C相切,此时,故B正确;
因为四边形PMCN的面积,又,
所以四边形PMCN的面积的最小值为,故C错误;
设,所以以PC为直径的圆的方程为,
又圆,所以直线MN的方程为,
所以直线MN恒过定点,所以O到直线MN的距离的最大值为,此时,故D正确.
故选：ABD.
13．答案：-8
解析：因为,,所以,
又,所以,解得.
14．答案：
解析：设直线关于直线对称的直线为,由解得则点在直线上;
在直线上取一点,设其关于直线对称的点为,则
解得即,所以直线的方程为,即.
15．答案：
解析：记E的右焦点为,所以,所以,
所以
,
当且仅当点C在线段上,点C在线段上时等号成立,
所以的最小值为.
16．答案：
解析：设,所以,
所以.
设,所以直线,所以,
解得,即的取值范围是.
17．答案：(1)
(2)或
解析：(1)因为,,所以直线BC的斜率,
所以直线的斜率为,所以直线的方程为,即.
(2)当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时点到直线的距离为3,
点到直线的距离为7,不符合题意;
当直线的斜率存在时,设直线的斜率为k,所以直线的方程为,
即,所以,
解得或,
所以直线的方程为或.
18．答案：(1)
(2)或
解析：(1)因为,,所以MN的中点坐标为,直线MN的斜率为,所以线段MN的中垂线的直线方程为.
由解得,,即,
所以,
所以圆C的方程为.
(2)因为,所以,
所以,又,所以,
所以点C到直线AB的距离.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为,符合题意;
当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,所以直线l的方程为,即,
所以,
解得,所以直线l的方程为.
综上,直线l的方程为或.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)以A为坐标原点,AB,AD,所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
如图所示.不妨设,则,,,,
所以,,
所以,
所以直线与EF所成角的余弦值为.
(2)因为,所以,设平面的一个法向量,
所以令,解得,,
所以平面的一个法向量.
易得平面的一个法向量为,
设平面与平面的夹角为θ,
所以,
即平面与平面夹角的余弦值为.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,,得,.
因为的周长为18,所以由椭圆定义可得,解得.
又,,所以,,
所以.
(2)设,则,.由椭圆定义可得,.
在中,由余弦定理可得,
即,化简可得,
又,,故,所以,,
所以,所以,
所以,即,
解得：,
所以C的离心率.
21．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：连接BD,记,再连接PO,
如图所示.因为四边形ABCD是菱形,,,
所以O是BD的中点,,,.
在中,,O是BD的中点,,所以,
又,,AC,平面PAC,所以平面PAC,
又平面ABCD,所以平面平面ABCD.
(2)若,,,所以,
所以.以O为坐标原点OA,OB,OP,所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,
建立空间直角坐标系,如图所示.所以,,,,
所以,,
设平面PAD的一个法向量,所以
令,解得,,
所以平面PAD的一个法向量.
设,所以,
设直线BE与平面PAD所成角的大小为θ,
所以,
解得,所以.
22．答案：(1)
(2)直线MN过定点.
解析：（1）由题意知
解得,,,
所以E的方程为.
（2）显然直线AP的斜率存在,设直线AP的斜率为k,
则直线AP的方程为,
又直线BC的方程为,
由,解得,,
即.
由得,解得或,
当时,,即,
所以直线CP的斜率,
所以直线CP的方程为,令,得,即.
所以直线MN的斜率,
所以直线MN的方程为,
即,所以直线MN过定点.