赣州中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份赣州中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设集合,,若,则( )
A.1B.-1C.0D.
2．已知命题,为真命题,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
3．已知集合,集合,则集合B的子集个数为( )
A.7B.8C.16D.32
4．在关于x的不等式的解集中恰有两个整数,则实数a的取值范围是( )
A.B.或
C.或D.
5．已知,,若q是p的必要条件,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．已知命题，命题，则下列说法中正确的是( )
A.命题p，q都是真命题B.命题p是真命题，q是假命题
C.命题p是假命题，q是真命题D.命题p，q都是假命题
7．已知关于x的不等式对任意恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．设a､b､c是两个两两不相等的正整数.若,则的最小值是( )
A.1000B.1297C.1849D.2020
二、多项选择题
9．已知a,b,,下列命题为真命题的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
10．下列命题中是真命题的是( )
A.“”是“”的充分不必要条件
B.命题“,都有”的否定是“,使得”
C.不等式成立的一个充分不必要条件是或
D.当时,方程组有无穷多解
11．下列说法正确的有( )
A.的最小值为2
B.已知，则的最小值为
C.若正数x，y为实数，若，则的最大值为3
D.设x，y为实数，若，则的最大值为
三、填空题
12．设集合S中含有三个元素1,,,若,则_____________.
13．已知命题,,命题,都有,若命题p为真命题,命题q为假命题,则实数a的取值范围是_________.
14．若正实数a,b,c满足,则c的最大值为___________.
四、解答题
15．已知全集,集合,,.
(1)求;
(2)若,求实数a的取值范围.
16．在①;②“”是“”的充分不必要条件;③,这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并解答.
问题：已知集合,.
(1)当时,求;
(2)若______,求实数a的取值范围.
17．(1)已知非空集合,.若“”是“”的充分而不必要条件,求实数a的取值范围.
(2)已知二次函数.若时,不等式恒成立,求实数a的取值范围.
18．企业研发部原有80人,年人均投入万元,为了优化内部结构,现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员,其中技术人员有x名（且）,调整后,技术人员的年人均投入为（其中）万元,研发人员的年人均投入增加.
(1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入,则优化结构调整后的技术人员x的取值范围是多少?
(2)若研发部新招聘1名员工,原来的研发部人员调整策略不变,且对任意一种研发部人员的分类方式,需要同时满足下列两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少;②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入.请解题思路是否存在满足上述条件的正实数m,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
19．设集合）,若X是的子集,把X中所有元素的和称为X的"容量"（规定空集的容量为0）,若X的容量为奇（偶）数,则称X为的奇（偶）子集.
(1)写出的所有奇子集;
(2)求证：的奇子集与偶子集个数相等;
(3)求证：当时,的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.
参考答案
1．答案：A
解析：,则,解得.
当满足题意;
当,不满足集合元素互异性;
故.
故选：A.
2．答案：D
解析：因为命题,为真命题,所以不等式的解集为R.
所以：若,则不等式可化为,不等式解集不是R;
若,则根据一元二次不等式解集的形式可知：.
综上可知：.
故选：D.
3．答案：B
解析：因为,,
所以,
所以集合B的子集个数为.
故选：B.
4．答案：C
解析：,
若,即时,解集为,
要想解集中恰有两个整数,则,解得,
与取交集后得,
若,即时,解集为,此时不满足要求,舍去;
若,即时,解集为,
要想解集中恰有两个整数,则,解得,
与取交集后得.
综上,实数a的取值范围为或.
故选：C.
5．答案：D
解析：由可得,
因为q是p的必要条件,所以,
则是的子集,故.
故选:D.
6．答案：C
解析：因为时，，p是假命题；
因为时，，，，q是真命题；
故选：C.
7．答案：C
解析：对于函数,.
①令,即,满足恒成立,
因此,只需,即,所以.
②令,即或.
设方程的两根分别为,,则,.
当时,方程有两个正根,
存在,使得,不符合题意,舍去;
当时,方程有两个负根,
因此,只需,即,所以,
综上所述,a的取值范围为.
故选：C.
8．答案：B
解析：不妨设,则,
因为,
所以,
因为为偶数,
所以,,必为两奇一偶,从而可得为奇数,
又因为,所以n为不小于3的奇数,
若,则,
故,且,所以,不符合要求,
若,则,故,解得,
此时,,
所以的最小值是1297.
故选：B.
9．答案：BD
解析：对于A项,,因为,所以,所以,
所以,即：,故A项错误;
对于B项,,因为,所以,,所以,即：,故B项正确;
对于C项,,因为,所以,,,
所以,即：,故C项错误;
对于D项,因为,
又因为,所以,,
所以,即：,故D项正确
故选：BD.
10．答案：ACD
解析：对A,“”可以推出“”,而“”推出或者,所以“”是“”的充分不必要条件,故A正确;
对B,命题“,都有”的否定是“,使得”,故B错误;
对C,不等式成立,即或,所以不等式成立的一个充分不必要条件是或,故C正确;
对D,当时,方程组等价于,所以方程组有无穷多解,故D正确.
故选：ACD.
11．答案：BD
解析：对于A选项，当时，，故A选项错误，
对于B选项，当时，，
则，
当且仅当时，等号成立，故B选项正确，
对于C选项，若正数x、y满足，则，
，
当且仅当时，等号成立，故C选项错误，
对于D选项，，
所以，当且仅当时，等号成立，可得，
，时取最大值，故的最大值为，D选项正确．
故选：BD
12．答案：-2或5
解析：因为集合S中含有三个元素1,,,且,
所以,或,
当时,得,此时集合S中含有三个元素1,4,25,符合题意,
当时,得或,
当时,集合S中只有两个元素1,4,不合题意,舍去,
当时,集合S中含有三个元素1,4,-3,符合题意,
综上,或.
故答案为：-2或5
13．答案：
解析：命题p为真命题,则,使得,故,故,
若命题q为假命题,则,为真命题,故或,解得,
故命题p为真命题,命题q为假命题,则,解得,
故答案为：.
14．答案：4
解析：因为,
所以,
又且,
所以,
解得,
=
结合知,c有最大值4.
故答案为：4.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)解析：由集合,,可得.
(2)解析：由集合,,可得,
因为集合且,
当时,可得,解得,此时满足;
当时,要使得,则满足,解得,
综上可得,实数a的取值范围为.
16．答案：(1);
(2)答案见解析.
解析：(1)当时,集合,,
所以.
(2)若选择①,则A是B的子集,
因为,所以,
又,所以解得,
所以实数a的取值范围是.
若选择②“”是“”的充分不必要条件,则A是B真子集,
因为,所以,
又,所以（等号不同时成立）,
解得,所以实数a的取值范围是.
若选择③,,
因为,,
所以或,解得或.
17．答案：(1);
(2).
解析：(1)因为“”是“”充分不必要条件,所以P是Q的真子集,
又,,
所以,解得.
故实数a的取值范围是.
(2)由题不等式即在上恒成立.
所以在上恒成立,故,
又,当且仅当即时等号成立,
,即,
实数a的取值范围是：.
18．答案：(1),;
(2)不存在,理由见解析
解析：(1)依题意得,调整后研发人员人数为人,年人均投入为万元,
则有,
解得.
因为,且,所以.
所以优化调整后的技术人员人数的范围是.
(2)由题意知,现在研发部共有81人
假设存在正实数m同时满足题设中的条件①②,那么,
由条件①,技术人员的年人均投入始终不减少,则有,
解得（且）,
因为且,所以当时,,
所以;
由条件②,研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入,
则有（且）.
即,
所以（且）.
由,
当且仅当,即时等号成立,
即,
所以.
综上所述,显然不存在正实数m同时满足题设条件(1)和(2).
19．答案：(1)、、、、、、、;
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：(1)由题意可知,当时,,
的容量为奇数,则X为的奇子集,
所有的奇子集应为、、、、、、、;
(2)设奇数,对于的每个奇子集A,
当时,取且.
当时,取,则B为的偶子集.
反之,亦然.
所以,的奇子集与偶子集是一一对应的.
所以,的奇子集与偶子集个数相等.
(3)对任一,含i的子集共有个,用上面的对应方法可知,
其中必有一半是奇子集,一半是偶子集,
从而对于每个数i,在奇子集的和与偶子集的和中,i所占的个数是一样的.
于是在计算奇子集容量之和时,元素的贡献是,
奇子集容量之和是,
根据上面所说,这也是偶子集的容量之和,两者相等,
故当时,的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.