江苏省常州高级中学2024-2025学年高一上学期10月阶段检测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省常州高级中学2024-2025学年高一上学期10月阶段检测数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．如图中U是全集,M,N是U的两个子集,则图中阴影部分表示为( )
A.B.
C.D.
3．已知命题,,则为( )
A.,B.,
C.,D.,
4．设a,b,m都是正数,且,记,则( )
A.B.
C.D.x与y的大小与m的取值有关
5．若集合有6个非空真子集，则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
6．不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
7．某工厂利用不超过64000元的预算资金拟建一长方体状的仓库,为节省成本,仓库依墙角而建（即仓库有两个相邻的侧面为墙面,无需材料）,由于要求该仓库高度恒定,不靠墙的两个侧面按照其底边的长度来计算造价,造价为每米1600元,仓库顶部按面积计算造价,造价为每平方米600元.在预算允许的范围内,仓库占地面积最大为( ).
A.36平方米B.48平方米C.64平方米D.72平方米
8．已知关于x的一元二次不等式的解集为,则有( )
A.最小值B.最大值C.最小值D.最大值
二、多项选择题
9．已知实数a,b,c,d满足,则( )
A.B.C.D.
10．已知集合,若,则实数a的值可以是( )
A.-1B.1C.-4D.-5
11．1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,从而结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足,,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素,则称为戴德金分割.例如,取,,则就是一个戴德金分割.已知有理数集与无理数集都具有“稠密性”,即任意两个不同的实数之间都有无穷多个有理数,也有无穷多个无理数.则下列说法中,正确的有( )
A.若M有最大元素,N有最小元素,则可能是一个戴德金分割
B.若M没有最大元素,N有最小元素,则可能是一个戴德金分割
C.若M有最大元素,N没有最小元素,则可能是一个戴德金分割
D.若M没有最大元素,N没有最小元素,则可能是一个戴德金分割
三、填空题
12．满足关系的集合A有______________个.
13．已知,则“”是“”的_____________条件.（请在“充分且不必要”、“必要且不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填写）
14．若关于x的不等式的解集为,则的取值范围是___________.
四、解答题
15．已知非空集合,集合.
(1)若,求;
(2)若“”是“”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
16．已知集合,集合,设集合.
(1)求;
(2)当时,求函数的最小值.
17．已知,关于x的一元二次不等式的解集为或.
(1)求b,c的值;
(2)解关于x的不等式.
18．与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔,是世界第一高佛塔,是常州标志性建筑之一,也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔AB的高度,该小组同学在塔底B的东南方向上选取两个测量点C与D,测得米,在C、D两处测得塔顶的仰角分别为,（如左图）,已知,,.
(1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）;
(2)为庆祝某重大节日,在塔上A到E处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米,塔高AB直接取(1)的整数结果,市民在塔底B的东南方向的F处欣赏“灯光秀”（如右图）,请问当为多少米时,欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式）
【注】可能用到的基本事实有：对于锐角,越大,则越大,反之亦然;对任意两个锐角,,总有成立.
19．已知有限集,若A中的元素满足,则称A为“完美集”.例如,集合的元素满足,故为“完美集”.
(1)已知是“完美集”,求的值;
(2)若是“完美集”,且,,求证：中至少有一个大于2；
(3)试求出所有的每一个元素都为正整数的“完美集”.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,,
所以.
故选：D.
2．答案：D
解析：A选项,表示的部分为②和④,A错误；
B选项,表示的部分为①和④,B错误；
C选项,表示的部分为①,③和④,C错误；
D选项,表示的部分为①,D正确.
故选：D.
3．答案：D
解析：根据全称量词命题与存在性量词命题的关系,
可得：命题,的否定是,.
故选：D.
4．答案：A
解析：由,,且,即,
可得,即,
故选：A.
5．答案：A
解析：由集合有6个非空真子集，得集合P中有3个元素，为-2，-1，0，
因此，解得，
所以实数m的取值范围为.
故选：A
6．答案：D
解析：不等式,
当时,不等式显然成立;
当时,则原不等式等价于,
等价于,解得或,
综上可得原不等式的解集为.
故选：D.
7．答案：C
解析：设不靠墙的两个侧面的长度分别为x,y,
由题有.
令,则
,即,当且仅当时取等号.
故选：C.
8．答案：B
解析：因为一元二次不等式的解集为,
所以当且仅当,即当且仅当,,,
所以
因为,所以上式,
当且仅当,即时取等.
所以有最大值.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：由,利用同向不等式的可加性得：,故A对,B错;
再由,平方可得：,,
再利用同向正数不等式的可乘性得：,故C对;
又由,可得：,,
再利用同向正数不等式的可乘性得：,
两边同除以正数得：,故D对,
故选：ACD.
10．答案：CD
解析：,因为,所以,则有：
若,解得或,
当时,,,不符合集合元素的互异性;
当时,,,不符合集合元素的互异性;
若,解得或,
当时,,,不符合集合元素的互异性;
当时,,,符合题意;
若,解得或,
当时,,,不符合集合元素的互异性;
当时,,,符合题意;
综上所述：或.
故选：CD.
11．答案：BCD
解析：对于A：若M有最大元素,不妨设为,则,
要使,,所以,此时N中没有最小元素,
同理,若N有最小元素,则M中没有最大元素,
所以若M有最大元素,N有最小元素,则不可能是一个戴德金分割,故A错误;
对于B：设,,
此时没有最大元素,有最小元素,满足是一个戴德金分割,故B正确;
对于C：设,
此时有最大元素,没有最小元素,满足是一个戴德金分割,故C正确;
对于D：设,,
此时M没有最大元素,N没有最小元素,满足是一个戴德金分割,故D正确;
故选：BCD.
12．答案：4
解析：即集合A为的子集,且A中必包含元素2,
又因为的含元素2的子集为：,共4个.
故答案为：4.
13．答案：必要且不充分
解析：因为,所以,又对勾函数在上单调递增,
所以,
所以由推不出,故充分性不成立;
由推得出,故必要性成立;
所以“”是“”的必要且不充分条件.
故答案为：必要且不充分.
14．答案：
解析：因为不等式的解集为,
所以二次函数的对称轴为直线,
且需满足,即,解得,
所以,所以,
所以.
故答案为：.
15．答案：(1)或.
(2)
解析：(1)当时,,或,
解不等式得：,
即,
所以或.
(2)若“”是“”的充分不必要条件,即,
当时,即,即时,;
当时,要使,则,且等号不同时取得,
解得：,
满足的实数a的取值范围是.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,即,解得,
所以,
由,等价于,解得,
所以,
所以,则;
(2)当时,即,则,
所以
,
当且仅当,即时取等号,
所以当时,函数的最小值为7.
17．答案：(1),
(2)答案见解析
解析：(1)因为关于x的一元二次不等式的解集为或,
所以关于x的一元二次方程的两解为和,
所以,解得;
(2)由(1)得关于x的不等式
即,因式分解得,
①当时,原不等式为,解得,即不等式的解集为;
②当时,原不等式为,解得或,
所以不等式的解集为;
③当时,原不等式为,解得,即不等式的解集为;
④当时,原不等式解得,即不等式的解集为;
⑤当时,原不等式解得,即不等式的解集为;
综上可得：当时不等式的解集为;
当时不等式的解集为;
当时不等式的解集为;
当时不等式的解集为;
当时不等式的解集为.
18．答案：(1)159米
(2)米
解析：(1)在中,,得,
在中,,得,
因为,
所以,
解得米.
(2)由图可知,设米,
则,,
,
当且仅当,即时等号成立.
根据题意,对于锐角,越大,则越大,反之亦然,
显然,可得最大时最大.
答：当为米时,欣赏“灯光秀”的视角最大.
19．答案：(1)
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)由是“完美集”可得：,解得：；
(2)由是“完美集”可得：,
等式可变形为：,
又因为,假设都不大于2,则,
根据假设有,即,
而当且仅当或
又由中元素的互异性,可知,
故,这与已知的相矛盾,
所以假设不成立,即中至少有一个大于2；
(3)不妨设中的元素满足的正整数,
结合得,,
即,再由于,
所以当时,有,由于是正整数,则,
再由“完美集”定义得：,显然无解,即当时,不存在“完美集”；
当时,结合上面结论可得：,又由于是不相等正整数,则只有,,
再由“完美集”定义得：,解得,即当时,仅存在一个“完美集”为；
当时,由且这些元素都是正整数又可得：
,即有,
因为,由于,
所以,即,
这与相矛盾,所以当时,不存在“完美集”；
综合上述可得：每一个元素都为正整数的“完美集”仅有一个.