辽宁省名校2024-2025学年高一上学期10月联合考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省名校2024-2025学年高一上学期10月联合考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,集合,则( )
A.NB.C.D.
2．设a,,则“且”是“”的( ).
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．如果实数集R的子集X满足：任意开区间都含有X中的元素,则称X在R中稠密.若R的子集X在R中不稠密,则( )
A.任意开区间都不含有X中的元素B.存在开区间不含有X中的元素
C.任意开区间都含有X的补集中的元素D.存在开区间含有X的补集中的元素
4．《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并称之为“无字证明”.现有如下图形:AB是半圆O的直径,点D在半圆周上,于点C,设,,直接通过比较线段OD与线段CD的长度可以完成的“无字证明”为( )
A.B.
C.D.
5．一群学生参加数学、物理学科夏令营,每名学生至少参加一个学科考试.已知有52名学生参加了数学考试,47名学生参加了物理考试,学生总人数是只参加一门考试的学生人数的2倍,则这一群学生总人数为( )
A.66B.87C.99D.前三个答案都不对
6．设有限集M所含元素的个数用表示,并规定.已知集合A,B满足,,若,,则满足条件的所有不同集合A的个数为( )
A.3B.6C.10D.64
7．设,若恒成立,则的最小值是( )
A.0B.C.1D.2
8．若关于x的方程有四个不同的实数解,则k的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列关系正确的是( )
A.B.
C.D.
10．若a,,且,则下列不等式一定成立的是( )
A.B.
C.D.
11．设,,,则( )
A.ab的最小值为4
B.的取值范围是
C.的最小值为
D.若,则的最小值为15
三、填空题
12．若,则________.
13．已知二次函数,甲同学:的解集为;乙同学:的解集为;丙同学:此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中,只有一个论述是错误的,则a的取值范围是________.
14．定义为数集M中最大的数,已知,若或,则的最小值为________.
四、解答题
15．《九章算术》第八章“方程”问题九:今有五雀、六燕,集称之衡①,雀俱重,燕俱轻.一雀一燕交而处②,衡适平③.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何?大意是:今有5只雀、6只燕,分别聚集用衡器称之,聚在一起的雀重,燕轻.将1只雀、1只燕交换位置而放,重量相等.5只雀、6只燕的重量和为一斤.问燕、雀每只各重多少斤?①集称之衡:集中在一起用衡器称;②交而处:交换位置放;③衡适平:重量恰好相等.
（1）设每只雀重n斤,每只燕重m斤,请列方程组求解这个问题;
（2）在（1）的条件下,设集合,,若,求p的取值范围.
16．（1）证明:;
（2）已知,,且,求证:.
17．设矩形ABCD（其中）的周长为24,如图所示,把它沿对角线AC对折后,AB交CD于点P.
（1）证明:的周长为定值;
（2）设,且记的面积为.求当x为何值时,取得最大值,并求出最大值.
18．已知.
（1）当时,方程的两根分别为,,若存在x,使成立,求m的取值范围;
（2）若,求不等式的解集.
19．对于题目:已知,,且,求的最小值.同学甲的解法:因为,,所以,,所以,,,所以A的最小值为.同学乙的解法:因为,,所以,当且仅当,即时等号成立,所以A的最小值为3.
（1）请对两位同学计算结果的正确性作出评价（需指明错误原因）;
（2）为巩固学习效果,老师布置了另外一道题,请你解决:已知,,且.
（i）求的最小值;
（ii）求的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：因为集合,集合,所以.
故选:C.
2．答案：A
解析：若且,则,即充分性成立;
若,例如,满足,
但不满足且,即必要性不成立;
综上所述:“且”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
3．答案：B
解析：命题“任意开区间都含有X中的元素”的否定是“存在开区间不含有X中的元素”.
故选：B.
4．答案：D
解析：是半圆的半径,为圆的直径,,由射影定理可知,,,在中,,,当O与C重合时,,所以,故选D.
5．答案：A
解析：设只参加了数学、物理考试的学生人数分别为x,y,
参加了两门学科考试的学生人数为z,
根据题意得解得,所以学生总人数为.
故选:A.
6．答案：C
解析：若时,,
则,则,
这与题意矛盾,故不满足题意;
故.
设A中元素的个数为,
则B中元素的个数为,且,
由且,得,.
①当时,则,又,
所以,满足题意;
②当时,则,,则,,又,
若,则;
若,则;
若,则;
若,则;以上情况都满足题意;
③当时,即,则,,
但此时,故产生矛盾,所以不满足题意;
④当时,则由且,得,,
又,与②同理可得不同集合B的个数有4个,
即不同集合A的个数有4个;
⑤当时,则由,得,又,
所以,满足题意;
综上,满足条件的所有不同集合A的个数为.
故选:C.
7．答案：B
解析：由恒成立,可得与符号同时变化,
即,且,则有,
故的最小值为.
故选:B.
8．答案：C
解析：因为有四个实数解,显然,是方程的一个解,
下面只考虑时有三个实数解即可.
若,原方程等价于,显然,则.
要使该方程有解,必须,则,此时,方程有且必有一解;
所以当时必须有两解,当时,原方程等价于,
即(且),要使该方程有两解,必须,所以.
所以实数k的取值范围为.
故选:C.
9．答案：AC
解析：A项,是实数,即,A正确;
B项,,B错误;
C项,是无理数,所以,C正确;
D项,不是的元素,D错误.
故选:AC.
10．答案：ACD
解析：由已知可得,
对于A项,,所以,由及不等式性质得,故A成立.
对于B项,,因为,所以,
当时,,即,故B项不一定成立.
对于C项,当时,,所以;当时,成立,故C项一定成立.
对于D项,由,,得,所以,故D项一定成立.
故选:ACD
11．答案：ABD
解析：对于A项,由,,,得,所以,
当且仅当时等号成立,A项正确;
对于B项,由,,,得,
所以,
当且仅当,即,时等号成立,B项正确;
对于C项,,
当且仅当,即时取等号,
又,所以等号取不到,C项错误;
对于D项,由,
当且仅当时等号成立,又,
当且仅当时等号成立,D项正确.
故选:ABD.
12．答案：0
解析：因为,
所以①当时,即,
此时,不符合元素互异性;
②当时,即或（舍）.
综上,.
故答案为:0
13．答案：
解析：由题意,.
若甲正确,则且,即,则;
若乙正确,则且,即,则;
若丙正确,则由二次函数的对称轴为,得,所以.
若,则乙丙两人论述错误,不满足题意;
若,则甲乙两人论述错误;
若,则乙丙两人论述正确,只有甲一人论述错误,满足题意.
综上所述,,即a的取值范围是.
故答案为:.
14．答案：
解析：解法一:令,,,其中m,n,,所以,
若,则,可得,
令,
则,所以,则,
当且仅当,,时等号成立.
若,则,即,
令,
则,所以,则,
当且仅当,,时等号成立,
综上可得,的最小值为.
解法二:根据数轴上点的距离公式,可得,,分别为线段AB,BC,CD的长,
如图所示,若点A固定,即求三个线段中最长线段的长的最小值,
可知当三个线段等长时,最长的线段长取最小值,
不妨设为x,OA的长为y,则,即,
若,则,即,解得;
若,则,即,解得,
因为,所以的最小值为.
故答案为:.
15．答案：（1）每只燕重斤,每只雀重斤
（2）
解析：（1）根据题意,可列方程组为
解得
所以每只燕重斤,每只雀重斤.
（2）由（1）可得集合,
因为,
①当时,,解得;
②当时,即且且等号不同时成立,
解得
所以.
综上,p的取值范围是.
16．答案：（1）证明见解析;
（2）证明见解析
解析：证明:（1）解法一（反证法）:
假设,
即,
两边平方得,即,
即,这与矛盾,因此假设不成立,
故.
解法二（分析法）:
要证,
只需证,
因为,,
所以只需证,
即证,即证,
因为成立,
所以成立.
解法三（综合法）:
,
,
因为,
所以.
（2）由题意知,,,故
.
17．答案：（1）证明见解析
（2）时,.
解析：（1）由题意可知,,,,
所以,所以,
所以,
所以的周长为定值.
（2）在中,因为,
所以,解得,
所以,
因为,所以,,
当且仅当时,等号成立,
所以面积的最大值为.
18．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）由题意知,方程的两根分别为,,
则,,所以,
因为,所以,
根据绝对值的几何意义,可得,
当且仅当时,等号成立,
又因为存在x,使成立,可得,解得,
所以m的取值范围为.
（2）若,不等式等价于,
①当时,不等式的解集为;
②当时,不等式的解集为;
③当时,不等式的解集为或;
④当时,不等式的解集为R;
⑤当时,不等式的解集为.
19．答案：（1）同学甲结果错误,同学乙结果正确,原因见解析
（2）（i）;
（ii）
解析：（1）同学甲结果错误,同学乙结果正确.
甲同学连续两次运用基本不等式,取等号的条件分别为,,
又,所以不能同时取等号,
即最小值是取不到的.
（2）已知,,且.
（i）
,
当且仅当,即,时等号成立.
（ii）
,
当且仅当,即,时等号成立.