山东省三校2024-2025学年高二上学期第一次教学质量联考数学试卷(含答案)

这是一份山东省三校2024-2025学年高二上学期第一次教学质量联考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知空间向量,,若,则( )
A.1B.C.D.3
2．在正三棱锥中，，点D，E分别是棱，的中点，则( )
A.B.C.D.
3．在平面直角坐标系中,已知直线与圆交于A,B两点,则的面积的最大值为( )
A.1B.C.D.
4．如图所示,空间四边形OABC中,,,,点M在OA上,且,M为OA中点,N为BC中点,则等于( )
A.B.C.D.
5．设点,,直线过且与线段AB相交,则l的斜率k的取值范围是( )
A.或B.C.D.以上都不对
6．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点,,若其欧拉线的方程为,则顶点C的坐标是( )
A.B.C.D.或
7．唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为,若将军从点处出发,河岸线所在直线方程为,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为( )
A.B.C.D.
8．如图，在棱长为2的正方体中，点M在线段（不含端点）上运动，则下列结论正确的是( )
①的外接球表面积为；
②异面直线与所成角的取值范围是；
③直线平面；
④三棱锥的体积随着点M的运动而变化.
A.①②B.①③C.②③D.③④
二、多项选择题
9．已知表示圆,则下列结论正确的是( )
A.圆心坐标为B.圆心坐标为
C.半径D.半径
10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A.两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B.两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C.直线l的方向向量，平面的法向量是，则
D.直线l的方向向量，平面的法向量是，则
11．已知两定点,,动点M满足条件,其轨迹是曲线C,过B作直线l交曲线C于P,Q两点,则下列结论正确的是( )
A.取值范围是
B.当点A,B,P,Q不共线时,面积的最大值为6
C.当直线l斜率时,AB平分
D.最大值为
三、填空题
12．在正三棱锥中，O是的中心，，则__________.
13．已知,,当时,实数k的值为________.
14．在平面直角坐标系xOy中,已知动点到两直线与的距离之和为,则的最大值为________.
四、解答题
15．（1）求经过两条直线和的交点,且与直线垂直的直线方程;
（2）直线l过点且到点和点的距离相等,求直线l的方程.
16．已知直线及圆.
(1)若直线l与圆C相切，求a的值；
(2)若直线l与圆C相交于A，B两点，且弦的长为，求a的值.
17．在中,,,,过点D作交AB于点E,以DE为轴,将向上翻折使平面平面BCDE,连接CE,F为线段CE的中点,Q为线段AC上一点.
（1）证明:平面ACE;
（2）若二面角的余弦值为,求的值.
18．已知四棱锥中,四边形ABCD为等腰梯形,,,,,为等边三角形,且平面平面ABCD,
（1）求证:;
（2）是否存在一点F,满足,且使平面ADF与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为;若存在,指出点F的位置,否则,请说明理由.
19．已知圆，直线是圆E与圆C的公共弦所在直线方程，且圆E的圆心在直线上.
(1)求公共弦的长度；
(2)求圆E的方程；
(3)过点分别作直线，，交圆E于M，N，R，S四点，且，求四边形面积的最大值与最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,,且,所以,解得,
故选:B.
2．答案：D
解析：在正三棱锥中，，所以，，又，，所以.
.故选D.
3．答案：D
解析：根据题意可得直线恒过点,该点在已知圆内,
圆的圆心为,半径,作于点D,如下图所示：
易知圆心C到直线l的距离为,所以,
又,可得;
因此可得,
所以的面积为.
故选：D.
4．答案：A
解析：由题意得:,
故选:A.
5．答案：A
解析：如图所示:
由题意得,所求直线l的斜率k满足或,
即,或,
,或,
即直线的斜率的取值范围是或.
故选:A.
6．答案：A
解析：设,则由重心坐标公式得的重心坐标为,
代入欧拉线方程得,整理得①,
因为AB边的中点坐标为,,
所以AB边的垂直平分线方程为,即.
由,得,
所以的外心坐标为,则,
整理得②,
联立①②,解得,或,.
当,时,点B、点C重合,舍去.
所以顶点C的坐标为.
故选:A.
7．答案：B
解析：设点A关于直线的对称点,
则的中点为,,
故,解得,
要使从点A到军营总路程最短,即为点到军营最短的距离,
由点与圆上点的距离的最小值为点与圆心距离减去半径知,
“将军饮马”的最短总路程为,
故选:B
8．答案：C
解析：对于①，根据题意，设棱长为2的正方体外接球半径为R，
则满足，可得，此时外接球的表面积为，可知①错误；
对于②，以D为坐标原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
如下图所示：
则，，，，，
所以，，，
设，其中；
可得，
异面直线与所成角的余弦值为
，
易知时，，，
可得，
所以异面直线与所成角的取值范围是，即②正确；
对于③，由②可知，，则；
设平面的法向量为，又，
则，取，则，；所以平面的法向量为，
此时，可得，又平面，
所以直线平面，即③正确；
对于④，根据正方体性质平面，所以
，易知直线到平面的距离是定值，底面的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，因此三棱锥的体积不会随点M的运动而变化，
即④错误；综上所述，正确的结论为②③.
故选：C
9．答案：BD
解析：由可得,
所以圆心为,半径为,
所以AC错误,BD正确.
故选:BD
10．答案：AB
解析：两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确；
两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确；
直线l的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误；
直线l的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误.
故选：AB
11．答案：ACD
解析：设,
因为,即,整理可得,
可知曲线C是以为圆心,半径的圆.
对于选项A:因为,可知点B在曲线C内,且直线l与曲线C必相交,
且,则的最大值为,最小值为,
所以取值范围是,故A正确;
设,,,
联立方程,消去x可得,
则,.
对于选项B:可得,
令,则,
可得,
因为在内单调递增,则的最小值为,
即,则,
可得的面积,
所以面积的最大值为,故B错误;
对于选项C:因为,
又因为,
则,
即,可知,所以AB平分,故C正确;
对于选项D:因为AB平分,则,
可知当PA与曲线C相切时,取到最大值,
此时,且为锐角,则,
即的最大值为,则的最大值为,
所以最大值为,故D正确;
故选:ACD.
12．答案：16
解析：如图，
首先：，
又
所以
.
故答案为：16
13．答案：6
解析：因为,,
所以,,,
因为,
所以,
解得.
故答案为:6.
14．答案：
解析：依题意,,即,
于是得或或或,
动点的轨迹如图中正方形ABCD,其中,,,,
表示正方形ABCD边上的点Q与定点P确定直线的斜率,
观察图象知,当点Q与点重合时,直线PQ的斜率最大,
所以的最大值为.
故答案为:
15．答案：（1）;
（2）或
解析：（1）由,得,与的交点坐标为.
设与直线垂直的直线方程为,
则,.
所求直线方程为.
（2）当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,即.
由题意知,
即,
,
直线l的方程为,即.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为,此时点A到直线l的距离为3,点B到直线l的距离为3,故符合题意.
综述:直线l方程为或.
16．答案：(1)或；
(2)
解析：（1）圆心，半径为，
由题意得：，解得或.
（2）如图：
设点C到直线l的距离为d，利用勾股定理得：，
同时利用圆心到直线的距离：，解得.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:因为平面平面BCDE,平面平面,
且,又平面ADE,
平面BCDE,又平面BCDE,,
又在中,,则,
又F为CE中点,故,且,AE,平面AEC,
则平面AEC.
（2）由（1）知,ED,EB,EA互相垂直,分别以ED,EB,EA为x,y,z轴非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系,
其中,,,,则,,,
不妨设,则,
再设,分别是面ADQ、面EDQ的法向量,
则分别满足与
令,,得到,.
由题意知,,解得,即.
18．答案：（1）证明见解析
（2）点F为EB中点时,使平面ADF与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为,理由见解析
解析：（1）取AB的中点G,连接DG,
因为,所以,又,所以是等边三角形,
所以,所以是直角三角形,所以,
因为平面平面ABCD,平面ABCD,平面平面,
所以平面ADE,又平面ADE,所以;
（2）F为EB中点即可满足条件,理由如下:
取AD的中点H,连接EH,则,
平面平面ABCD,平面ABCD,平面平面,
所以平面ABCD,由为等边三角形,可得,
在直角三角形ABD中,,
以D为坐标原点,以DA,DB为x,y轴,过D平行于EH的直线为z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
则,,,
,,
设平面ADF的一个法向量为,
则,令,则,
所以平面ADF的一个法向量为,
设平面BCE的一个法向量为.
则,令,则,,
所以平面BCE的一个法向量为,
于是,解得或（舍去）,
所以点F为EB中点时,使平面ADF与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为.
19．答案：(1)；
(2)；
(3)最大值17，最小值
解析：（1）圆，所以圆C的圆心坐标，半径，
圆心到直线的距离，
公共弦；
（2）圆E的圆心在直线上，设圆心，
由题意得，,，即，E到l的距离，
所以E的半径，
所以圆E的方程：；
（3）
当过点的互相垂直的直线，为x轴，垂直于x轴时，，这时直线的方程为，代入到圆E中，，
所以，四边形的面积；
当过点的互相垂直的直线，不垂直于x轴时，
设直线为：，
则直线为：，
所以圆心E到直线的距离，圆心E到直线的距离，
，，
设，
当或1时，正好是x轴及垂直x轴，
面积，
当时，s最大且，或1时，s最小，
四边形面积的最大值17，最小值.