许昌高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份许昌高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”.图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则( )
A.B.C.D.
2．如图，平行六面体中，点M在上，点N在上，且，，若，则( )
A.B.C.D.
3．如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，,，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为,，则( )
A.B.C.D.
4．若直线l在x轴､y轴上的截距相等，且直线l将圆的周长平分，则直线l的方程为( )
A.B.C.或D.或
5．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，,O是该正五角星的中心，则( )
A.B.C.12D.18
6．已知椭圆内有一点，过M的两条直线、分别与椭圆E交于A、C和B、D两点，且满足，（其中且），若变化时直线的斜率总为，则椭圆E的离心率为( )
A.B.C.D.
7．已知点在圆外，则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔E，E点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的正切值为( )
A.B.C.D.2
二、多项选择题
9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是( )
A.圆C的方程是
B.过点A且斜率为的直线被圆C截得的弦长为
C.圆C与圆有四条公切线
D.过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为，该直线斜率为
10．已知直线，则( )
A.l的倾斜角为
B.l与两坐标轴围成的三角形面积为
C.原点O到l的距离为1
D.原点O关于l的对称点为
11．下列说法正确的是( )
A.若直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
B.已知点，，在平面内，向量是平面的法向量，则
C.对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
D.若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
三、填空题
12．在平面直角坐标系中，若圆上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是________.
13．已知圆是以点和点为直径的圆，点P为圆C上的动点，若点，点，则的最大值为________.
14．球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R，球冠的高是h，球冠的表面积公式是.如图2，已知C,D是以为直径的圆上的两点，,，扇形的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为________.
四、解答题
15．如图，某公司出产了一款美观实用的筷子笼，是由与圆柱底面成一定角度的截面截圆柱所得.如果从截面的最底端到最高端部分还原圆柱，如下图所示，，分别为圆柱底面直径，，为圆柱的母线，，过的平面截圆柱且与底面所在平面交于直线l，且.
(1)证明：；
(2)若底面有一动点M从A点出发在圆O上运动一周，过动点M的母线与截面交于点N，设，，求y与x的函数关系.
16．已知圆M过，两点，且圆心M在上.
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线上的动点，，是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形面积的最小值.
17．如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点O，，，，底面，设点M是的中点.
(1)直线与平面所成角的正弦值；
(2)点A到平面的距离.
18．已知圆C的圆心在x轴上，且经过点,.
(1)求线段的垂直平分线方程；
(2)求圆C的标准方程；
(3)若过点的直线l与圆C相交于M、N两点，且，求直线l的方程.
19．如图，在四面体中，为等边三角形，为以D为直角顶点的直角三角形，.E，F，G，H分别是线段，，，上的动点，且四边形为平行四边形.
(1)求证：平面；
(2)设多面体的体积为，多面体的体积为，若，求的值.
参考答案
1．答案：A
解析：如图所示，设点E在底面上的射影为G，
作，，垂足分别为M，N.
则为侧面与底面的夹角，为侧面与底面的夹角，
设四个侧面与底面的夹角为，则在和中，，
又为公共边，所以，即，整理得.
2．答案：A
解析：，
故，，，.
3．答案：D
解析：设四棱台的高度为h，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6，则,，所以.
4．答案：C
解析：由已知圆，直线l将圆平分，则直线l经过圆心，
直线方程为，或，将点代入上式，解得,
直线l的方程为或.
5．答案：A
解析：如图，交于点F，则F是中点且，
由题意可得
.
故选：A.
6．答案：D
解析：设,,,,由可得：
，
据此可得：，
同理可得：，
则：，
将点A,B的坐标代入椭圆方程做差可得：，
即：，
同理可得：，
两式相加可得，
故：，
据此可得：.
7．答案：A
解析：由题意，表示圆
故，即或
点在圆外
故，即
故实数m的取值范围为或
即
8．答案：D
解析：由题意知，水的体积为，如图所示，
设正方体水槽绕倾斜后，水面分别与棱,,,,交于M,N,P,Q
由题意知，水的体积为
，即，
在平面内，过点作交于H，
则四边形是平行四边形，且
又侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，
即侧面与平面所成的角,其平面角为,
在直角三角形中，.
9．答案：BD
解析：对A，设，由可得，即，化简可得，故A错误；
对B，过点A且斜率为的直线方程为，即，则圆的圆心到的距离为，故所求弦长为，故B正确；
对C，圆C圆心到圆心的距离为，又两圆的半径和为，故两圆相交，有两条公切线，故C错误；
对D，当直线l斜率为0时，圆C上有四个点到直线l距离为不合题意，设直线，则由题意C到l的距离等于，即，解得，故斜率直线斜率为，故D正确；
10．答案：BCD
解析：对于选项A：因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为，故A错误；
对于选项B：因为直线l与两坐标轴的交点分别为,，
所以l与两坐标轴围成的三角形面积为；
对于选项C：原点O到l的距离，故C正确；
对于选项D：设原点O关于l的对称点为，
则，解得，
所以原点O关于l的对称点为，故D正确；
11．答案：BD
解析：对于A，，故A错误；
对于B，，且向量是平面的法向量，
所以，即，即，故B正确；
对于C，因为，所以则P，A，B，C四点不共面，故C错误；
对于D，因为为空间的一个基底，所以，，不共面，
假设，，共面，则存在唯一实数，，使，
所以，无解，故，，不共面，故D正确；
12．答案：
解析：圆的圆心为，半径为1，
它关于直线的对称圆的圆心为，半径仍然为1，
圆的圆心为，半径为r，
，
由题意得，解得.
13．答案：
解析：根据题意得，，所以圆C的半径为4，圆C的方程为，如图，，则，
所以，即，故，
所以，在中，，当P、B、D共线时最大，最大为.
14．答案：
解析：因为，，所以，设圆的半径为R，
又，解得（负值舍去），
过点C作交于点E，过点D作交于点F，
则，，
所以，同理可得，，
将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中，上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，
其中上面球缺的高，上面圆锥的底面半径，高为，
下面球缺的高，下面圆锥的底面半径，高为，
则上面球冠的表面积，
下面球冠的表面积，球的表面积，
上面圆锥的侧面积，
下面圆锥的侧面积，
所以几何体的表面积
.
15．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）由题意，，
为圆柱的母线，则垂直圆柱下底面圆O，
直线l是平面与底面交线
，又因为，平面
平面，而平面，则.
（2）因为且，
所以为平面与底面二面角的平面角
又因为，所以.
过点M做垂直于直线l垂足为F，连接，
则，
作垂直于直径垂足为E.四边形为矩形，
∵，则底面圆O半径
又因为，所以
，，，
又，，
16．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）设圆M的方程为：，
根据题意得，
故所求圆M的方程为：；
（2）如图，
四边形的面积为，即
又,，所以，
而，即.
因此要求S的最小值，只需求的最小值即可，
的最小值即为点M到直线的距离
所以，
四边形面积的最小值为.
17．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因为四边形为菱形，所以，
又面，故以为x轴，为y轴，为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图，
因为，，，且M为中点，
则，，，，，，
故，，，
设面的法向量为，则，
令，则，，故，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为；
（2）由（1）可知，面的一个法向量为，
所以点A到平面的距离，
故点A到平面的距离为.
18．答案：(1)；
(2)；
(3)或
解析：（1）设的中点为D，则.
由圆的性质，得，所以，得.
所以线段的垂直平分线的方程是.
（2）设圆C的标准方程为，其中，半径为，
由（1）得直线的方程为，
由圆的性质，圆心在直线上，化简得，
所以圆心，，
所以圆C的标准方程为.
（3）由（1）设F为中点，则，得，
圆心C到直线l的距离，
当直线l的斜率不存在时，l的方程，此时，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设l的方程，即，
由题意得，解得；
故直线l的方程为，
即；
综上直线l的方程为或.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：因为四边形为平行四边形，
所以，而平面，平面，
故平面，由平面平面，
所以，而平面，平面，
故平面；
（2）由（1）知，而，故，
同理可证，由可得,,，
故，
设A点到平面的距离为d，
则；
又，，故，
设C点到平面的距离为h，则F点到平面的距离为，
故
,
故,
则，
故.