浙江省四校2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题

这是一份浙江省四校2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题，共9页。试卷主要包含了已知，那么的大小关系是，命题“”的否定是，已知关于不等式的解集为，则，若数集具有性质等内容，欢迎下载使用。
命题人：浦江中学 徐德荣 校对人：浦江中学 于杭君
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场､座位号及准考证号（填涂）；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ）
A.3 B.4 C.7 D.8
3.已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知，那么的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
5.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
6.若命题“”为真命题，则实数可取的最小整数值是（ ）
A. B.0 C.1 D.3
7.已知关于不等式的解集为，则（ ）
A.
B.点在第二象限
C.的最大值为
D.关于的不等式的解集为
8.若数集具有性质：对任意的与中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（ ）
A.“权集”中一定有1 B.为“权集”
C.为“权集” D.为“权集”
二､多选题：本题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.
9.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二.五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ）
A.23 B.133 C.233 D.333
10.根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（ ）
A.自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积.
B.购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.用第一种方式购买比较经济.
C.某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，则这两年的平均增长率等于.
D.金店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店内购买20g黄金，店员先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.记顾客实际购得的黄金为，则.
11.若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A.有最大值为
B.有最小值为
C.有最小值为
D.有最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某学校举办秋季运动会时，高一某班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，借助韦恩图，可知同时参加田赛和径赛的有__________人.
13.甲､乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元.为使全程运输成本最小，汽车的速度是__________千米/时.
14.若一个三角形的三边长分别为，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式.已知的周长为，则的面积的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值.
16.（本题满分15分）已知集合､集合.
（1）若，求；
（2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围
17.（本题满分15分）
如图，为梯形，其中，设为对角线的交点.表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段，表示平行于两底且过点的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段.试研究线段与代数式之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？
18.（本题满分17分）已知二次函数
（1）若的解集为，解关于的不等式；
（2）若且，求的最小值；
（3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值.
19.（本题满分17分）已知集合为非空数集，定义：，（实数可以相同）
（1）若集合，直接写出集合；
（2）若集合，且，求证：；
（3）若集合，记为集合A中元素的个数，求的最大值.
2024学年第一学期高一年级10月四校联考
数学学科参考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二､多选题：本题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.
12.4 13.50 14.
14.由海伦公式及基本不等式求解即：，则周长，
故
等号成立时，，即，故答案为：
15.设，上底，
分别过点作下底的垂线，垂足分别为，则，
则下底，
该等腰梯形的面积，
所以，则，所用篱笆长为，
当且仅当，即时取等号.
所以，当等腰梯形的腰长为10m时，所用篱笆长度最小，其最小值为.
16.（1）由题意可知，
若.
（2）命题是命题的必要不充分条件，集合是集合.真子集，
当时，，解得，
当时，（等号不能同时成立），解得，
综上所述，实数的取值范围为
17.因为是梯形的中位线，所以；
因为梯形与梯形相似，所以，
所以；
因为，所以，所以，所以
，所以，
设梯形的面积分别为，高分别为，
则，
所以，所以，
所以；
由图可知，，即；
证明：显然因为，
所以，所以，
所以.
18.（1）由已知的解集为，且，所以是方程的
解，所以，所以，所以不等式可化为，所以，故不等式的解集为
（2）因为，所以
因为，所以，由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，即当且仅当时等号成立；
所以的最小值为；
（3）因为对任意，不等式恒成立，
所以，所以，
令，则，所以，
当且仅当时等号成立，
即当且仅当时等号成立，所以的最小值为8.
19.（1）因为集合，
所以由，可得，
，可得.
（2）由于集合，
则集合的元素在中，
且，而，故A中最大元素必在中，
而为7个元素中的最大者，故即，故，
故中的4个元素为，
且与重复，而，故即，
而，故，故或，
若，则，与题设矛盾；
故即
（3）设满足题意，其中，则，
，由容斥原理中最小的元素为0，最大的元素为，，即.
实际上当时满足题意，
证明如下：设，则，，依题意有，即故的最小值为674，于是当时，中元素最多，即时满足题意，综上所述，集合中元素的个数的最大值是1348.1
2
3
4
5
6
7
8
A
D
B
C
B
A
D
B
9
10
11
AC
AD
ABC