福建省连城县第一中学2024−2025学年高二上学期8月月考数学试卷（含解析）

这是一份福建省连城县第一中学2024−2025学年高二上学期8月月考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则（ ）
A．8B．9C．D．
4．已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．设，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．以上都不对
8．英国数学家布鲁克·泰勒（Brk Taylr，1685.8~1731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，若取，则，此时称该式为函数在处的阶泰勒公式.计算器正是利用这一公式将，，，，等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如，，则运用上面的想法求的近似值为（ ）
A．0.50B．C．D．0.56
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为单调递增函数
C．的值域为D．方程最多有两个解
11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数的定义域为 ．
13．已知不等式的解集是,则不等式的解集是
.
14．已知函数在其定义域内为偶函数，且，则= .
四、解答题 $ -x\mathrm{ ＞ }0,f\left ( { x } \right ) =f\left ( { -x } \right ) $（本大题共5小题）
15．已知()是偶函数，当时，．
(1) 求的解析式；
(2) 若不等式在时都成立，求m的取值范围．
16．为鼓励消费，某商场开展积分奖励活动，消费满100元的顾客可拋掷骰子两次，若两次点数之和等于7，则获得5个积分：若点数之和不等于7，则获得2个积分．
(1)记两次点数之和等于7为事件A，第一次点数是奇数为事件B，证明：事件A，B是独立事件；
(2)现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X的分布列和期望．
17．已知函数，的图象在处的切线为．
(1)设，求的最小值；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
18．在五面体中，平面，平面．
(1)求证：；
(2)若，，点D到平面的距离为，求二面角的大小．
19．悬链线在建筑领域有很多应用.当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之其倒置时也是一种稳定状态.链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为，相应的反链函数表达式为.
(1)证明：曲线是轴对称图形；
(2)若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，证明：；
(3)已知函数，其中.若对任意的恒成立，求的最大值.
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据并集的定义即可得解.
【详解】因为，
所以.
故选A.
2．【答案】B
【分析】由题意可得出，即可解得实数的取值范围.
【详解】因为命题“，”为假命题，则，解得.
故选B.
3．【答案】C
【分析】根据指数、对数运算以及函数的概念求得正确答案.
【详解】令，可得，则.
故选C.
4．【答案】B
【分析】依题意可得，再利用基本不等式计算可得.
【详解】由，得，又，，
所以，
当且仅当，，即,时，等号成立，所以的最小值为3．
故选．
5．【答案】A
【分析】利用对数函数的单调性可得，利用指数幂运算可知，再利用幂函数的单调性可得，由此得解.
【详解】因为在上单调递减，所以，即，
因为在上单调递增，
又，即，所以，即，故，
所以.
故选A.
6．【答案】B
【分析】根据给定条件，作出函数与图象，利用图象交点个数作答.
【详解】由，得，所以函数的零点即为函数与的图象交点横坐标，
在同一坐标系内作出函数与的图象，如图，

观察图象知，函数与的图象有唯一公共点，
所以函数的零点个数为1.
故选B.
7．【答案】C
【解析】根据题意得，再分别求函数的最小值即可得答案.
【详解】因为，所以，所以．
当时，，所以只需满足：，解得；
当时，．满足题意．
当时，，所以只需满足：，解得．
综上，．
故选C．
【方法总结】不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，.
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．
8．【答案】B
【分析】先化简，根据题意得到的泰勒展开式，求得的值，即可求解.
【详解】由三角恒等变换的公式，化简得，
又由，
可得，所以.
故选B.
9．【答案】BD
【分析】通过举反例和不等式的性质即可判断.
【详解】对于A：当时,,故A错误；
对于B：得，则，故B正确；
对于C：，此时，故C错误；
对于D：由,所以,
所以两边同除得，故D正确.
故选BD.
10．【答案】ACD
【分析】根据给定的分段函数，计算判断AB；分段求出函数值集合判断C；结合函数图象判断D作答.
【详解】对于A：显然，，则，故A正确；
对于B：显然，，有，故B错误；
对于C：当时，，当时，，所以的值域为，故C正确；
对于D：如图，当时，方程无解；当时，方程有两个解，

当时，方程有一个解，所以方程最多有两个解，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证各选项.
【详解】方法一：对称性和周期性的关系研究.
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
方法二：特殊值，构造函数法.
由方法一，知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，B，C正确.
故选BC.
12．【答案】
【分析】根据根式以及分式的性质即可求解.
【详解】的定义域满足且，解得且.
故定义域为.
13．【答案】
【分析】先根据方程的解求出，再解不等式即可.
【详解】由题知方程的两根分别为，
所以，解得，
所以不等式即,解得.
故解集为.
14．【答案】
【分析】由偶函数的性质和可得，，可求出，计算，求解即可.
【详解】因为的定义域为R，且为偶函数，
所以，即，即.
所以.
又因为，即，所以.
因为，
所=.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】(1)函数为偶函数，利用即可求得；
(2)分离参数后，再借助极值原理去解决.
本题注意到的范围，因为为正，所以分离参数时，不等号的方向不变，再求最值，最后得出的取值范围.
【详解】（1）设，则，
因为为偶函数，所以.
所以；
(2) 由题意得在时都成立，
即在时都成立，
即在时都成立，
当时，，
则．
【方法总结】函数的奇偶性常见问题：
（1）利用函数的奇偶性求值；
（2）利用函数的奇偶性分析函数的图象，借助单调性解不等式；
（3）利用函数的奇偶性求函数的解析式；解决不等式恒成立问题首选方法是分离参数借助极值原理去解决，当然也有很多恒成立问题需要对参数进行讨论才能解决.
16．【答案】(1)证明见详解
(2)分布列见详解，
【分析】（1）根据古典概型分别计算，由，的关系证明；
（2）根据次独立重复试验模型求出概率，列出分布列，得出期望.
【详解】（1）因为两次点数之和等于7有以下基本事件：共6个，
所以，又．
而第一次点数是奇数且两次点数之和等于7的基本事件是共3个，
所以，
故，所以事件A，B是独立事件．
（2）设三位参与这个活动的顾客共获得的积分为X，则X可取6，9，12，15，
，，
，，
所以分布列为：
所以.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据导数的几何意义求出，再利用导数判断函数单调性进而求解最小值；
（2）先将恒成立问题转化为，利用导数判断函数单调性进而求出函数最小值即可.
【详解】（1），由题意知，
所以，，
令，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
故，即的最小值为0.
（2）令，则，，
由（1）可知当时，
所以当时，，函数在单调递减；
当时，，函数在单调递增.
所以，
故.
18．【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）由平面，平面，得，由线面平行的判定定理可得平面，再由线面平行的性质定理，即可得出答案．
（2）利用等体积法可得为等腰直角三角形，所以,建立坐标系，利用向量垂直可得,求解两平面的法向量，进而可得求解．
【详解】（1）证明：因为平面，平面，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面平面，平面，
所以．
（2）因为平面，，所以平面，又平面，
所以,
又因为平面，平面，
所以，
又，平面，所以平面，
因为，则，
所以,
故为等腰直角三角形，所以,
如图以为坐标原点，所在的直线分别为，，轴建系，
设，则，
故
因为，所以，故，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
因为，，
所以，即，
令，则，
因为，，
所以，即，
令，则，
设成的角为，由图可知为钝角，
所以，故.
19．【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
(3)7
【分析】（1）将函数化简得，根据偶函数的性质即可判断此函数图象关于轴对称；
（2）根据函数的单调性可大致判断函数和的图象，且为偶函数，结合图象可判断，且，再解不等式即可；
（3）观察函数特征，不妨设，当时，得，从而对恒成立，再解不等式即可.
【详解】（1），
令，则，
所以为偶函数，
故曲线是轴对称图形，且对称轴为.
（2）令，得，
当；当，
所以在处取得极小值1，当趋近正无穷时，趋近正无穷，
当趋近负无穷时，趋近负无穷，
恒成立，所以在R上单调递增，
当趋近正无穷时，趋近正无穷，
当趋近负无穷时，趋近负无穷，
所以的大致图象如图所示，
不妨设，
由为偶函数可得，
与图象有三个交点，显然，令，
整理得，解得或（舍去），
所以，即，
又因为，所以；
（3）设，两边平方得，所以，
则，所以，
因为单调递增，
所以当，，即，
由，得，即，
该不等式组在和时同时满足，即，
上述不等式组两边同乘-1得，
当；当；
当；当；
经验证，时满足题意.
综上所述：的最大值为7.
【思路导引】本题第三问函数的形式上比较复杂，对于形式比较复杂的函数，一般要考虑是否是复合函数，而通常情况下是其它函数与二次函数的复合，转化为二次函数以后再用二次函数相关知识去解决问题；另外对于函数值域问题，虽然方法较多，最基础的方法是利用函数单调性求值域.
6
9
12
15