广东省东莞市东莞外国语学校2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析）

这是一份广东省东莞市东莞外国语学校2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每题5分，共40分）
1．设集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有女员工39人，男员工21人，女员工的平均体重为50kg，标准差为6，男员工的平均体重为70kg，标准差为4．则所抽取的所有员工的体重的方差为（ ）
A．29B．120C．100D．112
4．二项式展开式中，含项的系数为（ ）
A．20B．C．D．80
5．函数，经过点，则关于的不等式解集为（ ）
A．B．
C．D．
6．若函数是定义在上的奇函数，，则（ ）
A．2B．0C．60D．62
7．如图，在两行三列的网格中放入标有数字的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有（ ）
A．96种B．64种C．32种D．16种
8．已知实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每题6分，共18分，部分选对得部分分，错选得0分）
9．已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
10．从某加工厂生产的产品中抽取200件作为样本，将它们进行某项质量指标值测量，并把测量结果x用频率分布直方图进行统计（如图）.若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则关于该样本的下列统计量的叙述正确的是（ ）
A．指标值在区间的产品约有48件
B．指标值的平均数的估计值是200
C．指标值的第60百分位数是200
D．指标值的方差估计值是150
11．已知函数，的定义域为，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若存在使在上单调递增，在上单调递减，则的极小值点为
D．若为偶函数，则满足题意的唯一，满足题意的不唯一
三、填空题（每题5分，共15分）
12．已知随机变量服从正态分布，且，则 .(精确到小数点后第五位)
13．已知是定义在R上的奇函数，当时，，当时，，则
14．设，对任意实数x，用fx表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 .
四、解答题
15．已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
16．随着中国科技的迅猛发展和进步，中国民用无人机行业技术实力和国际竞争力不断提升，市场规模持续增长.为了适应市场需求，我国某无人机制造公司研发了一种新型民用无人机，为测试其性能，对其飞行距离与核心零件损坏数进行了统计，数据如下：
(1)据关系建立y关于x的回归模型 求y关于x的回归方程（精确到0.1，精确到1）.
(2)为了检验核心零件报废是否与保养有关，该公司进行第二次测试，从所有同型号民用无人机中随机选取100台进行等距离测试，对其中60台进行测试前核心零件保养，测试结束后，有20台无人机核心零件报废，其中保养过的占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为核心零件的报废与保养有关?
附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘原理估计公式 ，
参考数据：
17．甲､乙两人准备进行台球比赛，比赛规定：一局中赢球的一方作为下一局的开球方.若甲开球，则本局甲赢的概率为，若乙开球，则本局甲赢的概率为，每局比赛的结果相互独立，且没有平局，经抽签决定，第1局由甲开球.
(1)求第3局甲开球的概率；
(2)设前4局中，甲开球的次数为，求的分布列及期望.
18．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
19．无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是．
(1)写出这个数列的前7项；
(2)如果且，求m，n的值；
(3)记，，求一个正整数n，满足．
飞行距离x（千千米）
56
63
71
79
90
102
110
117
核心零件损坏数y （个）
61
73
90
105
119
136
149
163
保养
未保养
合计
报废
20
未报废
合计
60
100
0. 25
0. 1
0. 05
0.025
0. 01
0. 001
1.323
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
1．A
【分析】先解一元二次不等式再根据集合间的关系求参．
【详解】，；
由可以推出，所以，
a的取值范围是．
故选：A.
2．D
【分析】利用命题否定的定义求解即可.
【详解】由命题否定的定义得命题“，
”的否定是，，故D正确.
故选：D
3．B
【分析】求出样本平均数，再根据分层抽样方差计算公式求出样本的方差.
【详解】依题意，样本中所有员工的体重的平均值为，
则样本中所有员工的体重的方差.
故选：B
4．A
【分析】利用展开式的意义可求含项的系数.
【详解】表示5个因式的乘积，
要得到含项，需有1个因式取，其余的4个因式都取，系数为，
或者需有2个因式取项，需有2个因式取，其余的1个因式都取，系数为，
故含项的系数为．
故选：A.
5．B
【分析】根据图象经过点得到解析式，再判断函数单调性及奇偶性，由此求解不等式即可.
【详解】由函数的图象经过点，得，
则，
所以函数在上单调递减，在0,+∞上单调递减，
所以在R上单调递减，
又，即函数是奇函数，
不等式，
则，即，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：B.
6．A
【分析】根据题意得出函数的周期性、对称性，进一步得出即可得解.
【详解】由题意，所以的周期为4，
且关于直线对称，
而，
所以.
故选：A.
7．B
【分析】分3步完成，每步中用排列求出排法数，再利用分步计数原理即可求出结果.
【详解】根据题意，分3步进行，
第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中间的数字只能为两组数1，4或2，3中的一组，共有种排法；
第二步，排第一步中剩余的一组数，共有种排法；
第三步，排数字5和6，共有种排法；
由分步计数原理知，共有不同的排法种数为.
故选：B.
8．A
【分析】化简变形后可设，知其在上单调递增，若，则，对求导可得到极值点也是最值点，故可得结果.
【详解】由已知有，即，即，
因为，令，，易知在上单调递增，
因，所以，故，即.
所以，令，可得，
又因在上小于零，故y在单调递减，
在上大于零，故y在单调递增，
故当时，y取极小值也是最小值为e.
故选：A
9．ABD
【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案.
【详解】对于A：∵，，.
∴，.
当且仅当，即，，取“”，∴A正确；
对于B：，由（1）知，∴.
∴.∴B正确；
对于C：.
∴，∴C错误；
对于D：，
当且仅当，即，取“”，∴D正确.
故选：ABD.
10．ABD
【分析】根据给定的频率分布直方图，利用各组的频率结合频数及百分位数的意义计算判断AC；利用频率分布直方图求估算平均数、方差的方法计算判断BD作答.
【详解】指标值的样本频率是，指标值在区间的产品约有件，A正确；
抽取的产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为：
，
，BD正确；
由直方图得，从第一组至第七组的频率依次是0.02，0.09，0.22，0.33，0.24，0.08，0.02，
所以指标值的第60百分位数m在内，，解得，C错误.
故选：ABD
11．ABD
【分析】代入求得判断A；利用函数的周期判断B；利用已知条件和函数的周期性判断C；根据函数的奇偶性结合已知条件求出，判断D.
【详解】对A，因为为偶函数，所以是奇函数，所以，又，所以，故A对；
对B，由，，得，
所以，所以，，
又，所以是周期为4的函数，也是周期为4的函数，
所以，故B对；
对C，在上单调递增，在上单调递减，
由，y=fx的图象关于对称且，
由A可得，故在上单调递增，在上单调递减，
可知在单调递减，在单调递增，
又的周期为4， 所以在单调递增，
所以在单调递减，在单调递减，
又，所以0是的极大值点，是周期为4的函数，
所以则的极大值点为，故C错；
对D，若为偶函数，由于是奇函数，，则，
即，所以，，所以唯一，不唯一，故D对.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分利用导数与函数单调性和极值的关系，并结合函数的奇偶性和周期性分析.
12．0.15865
【分析】根据正态分布的对称性结合题意求解即可.
【详解】由于服从正态分布，所以正态曲线的对称轴为直线，
所以，
故．
故答案为：0.15865.
13．
【分析】根据奇函数定义可求得的解析式，从而可求得，，进而可得答案.
【详解】令，则，所以．
因为是定义在R上的奇函数，所以f−x=−fx，
所以，所以，，
所以.
故答案为：
14．
【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
15．(1)极小值，无极大值
(2)
【分析】（1）利用求导判断函数单调性，即可求得极值；
（2）由恒成立，转化为恒成立，继而结合求导得出的最小值即可.
【详解】（1）当时，，定义域为0,+∞，
则，
当时，f'x<0，当时，f'x>0，
则在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
所以有极小值，无极大值.
（2）因为恒成立，得，，
令，，则，
当，，当时，，
即函数在上递减，在上递增，
因此，则，
所以的取值范围为.
16．(1)；
(2)表格见解析，核心零件是否报废与是否保养有关.
【分析】（1）根据给定数据，利用最小二乘法求出回归直线方程.
（2）完善，求出的观测值并与临界值比对即可得解.
【详解】（1）依题意，，
，
所以y 关于 x的线性回归方程为.
（2）依题意，报废机核心零件中保养过的有台，未保养的有台，
则列联表如下：
零假设：核心零件是否报废与保养无关，
则，根据小概率值的独立性检验，
推断不成立，即认为核心零件报废与是否保养有关，此推断的错误概率不大于0.01.
17．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）设第局甲胜为事件，则第3局甲开球为事件，结合条件概率公式计算即可.
（2）由的取值，根据对应的事件，求相应的概率，得分布列，由公式求解期望.
【详解】（1）设第局甲胜为事件，则第局乙胜为事件，其中
则“第3局甲开球”为事件，
.
（2）依题意，
，
，
，
，
的分布列为
则.
18．（1）（2）
【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.
【详解】（1），，.
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即,
切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为．
（2）［方法一］：通性通法
,，且.
设,则
∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，
当时，,∴,∴成立.
当时， ，，,
∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
当时， ∴不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
［方法二］【最优解】：同构
由得，即，而，所以．
令，则，所以在R上单调递增．
由，可知，所以，所以．
令，则．
所以当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以，则，即．
所以a的取值范围为．
［方法三］：换元同构
由题意知，令，所以，所以．
于是．
由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有．
令，所以．
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以当时，取得最大值为．所以．
［方法四］：
因为定义域为，且，所以，即．
令，则，所以在区间内单调递增．
因为，所以时，有，即．
下面证明当时，恒成立．
令，只需证当时，恒成立．
因为，所以在区间内单调递增，则．
因此要证明时，恒成立，只需证明即可．
由，得．
上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立．
当时，因为，显然不满足恒成立．
所以a的取值范围为．
【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；
方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；
方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出；
方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可．
19．(1)，，，，，，；
(2)；
(3)（答案不唯一，满足即可）
【分析】（1）根据数列an的定义，逐一求解；
（2）根据数列an的定义，分和分别求解；
（3）根据数列an的定义，写出的值，即可求解.
【详解】（1）根据题意，，，
，，，
，．
（2）由已知，m，n均为奇数，不妨设．
当时，因为，所以，故；
当时，因为，而n为奇数，，所以．
又m为奇数，，所以存在，使得为奇数．
所以．
而，所以，即，，无解．
所以．
（3）显然，n不能为偶数，否则，不满足．
所以，n为正奇数．
又，所以．
设或，．
当时，，不满足；
当时，，即．
所以，取，时，
即．
【点睛】关键点点睛：第（3）问中，发现当时，满足，从而设，，验证满足条件.
保养
未保养
合计
报废
6
14
20
未报废
54
26
80
合计
60
40
100
1
2
3
4