广西柳州铁一中学2024−2025学年高二上学期9月月考 数学题（含解析）

这是一份广西柳州铁一中学2024−2025学年高二上学期9月月考 数学题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题）
1．已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，过作圆的切线,,切点为,使得，则椭圆的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
2．椭圆，（）的右顶点为，已知，若椭圆上存在点，满足，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
4．设分别是椭圆的左､右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A．4B．C．D．
5．加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为时，蒙日圆方程为.已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．若为正方形，则的边长为
C．椭圆的蒙日圆方程为
D．长方形的面积的最大值为
6．若椭圆：的蒙日圆为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．现将质点随机投入椭圆所对应的蒙日圆内，则质点落在椭圆外部的概率为？（附：椭圆的面积公式为）（ ）
A．B．C．D．
8．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为34，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．双曲线的蒙日圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题）
11．在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.过双曲线的蒙日圆上一点作的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若，则的周长为 .
12．椭圆C：的左、右焦点分别为，，点A在椭圆上，，直线交椭圆于点B，，则椭圆的离心率为 ．
13．已知椭圆的左､右焦点为，过作x轴垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 .
14．设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点为F1,F2．若椭圆上存在点P,使∠F1PF2=120°,则椭圆的离心率e的取值范围为 .
三、多选题（本大题共2小题）
15．如图，正方体的棱长为2，是的中点，是侧面内的一个动点（含边界），且平面，则下列结论正确的是（ ）

A．平面截正方体所得截面的面积为
B．动点的轨迹长度为
C．的最小值为
D．与平面所成角的正弦值的最大值为
16．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F在侧面CDD1C1上运动，且满足B1F//平面A1BE．以下命题正确的有（ ）
A．点F的轨迹长度为
B．直线与直线BC所成角可能为45°
C．平面A1BE与平面CDD1C1所成锐二面角的正切值为
D．过点E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大为
四、解答题（本大题共3小题）
17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，已知
(1)求角A；
(2)若，求的取值范围.
18．中，内角的对边分别为 ，记的面积为，且 .
(1)求角；
(2)若为的中点，且，求 的内切圆的半径.
19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A为锐角，的面积为S，且满足．
(1)若，求A；
(2)求的最大值．
参考答案
1．【答案】A
【详解】
试题分析：椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB，则两切线形成的角最小，若椭圆上存在满足条件的点P，则只需，即，，解得，，即，又，即椭圆的离心率的取值范围是；
考点：椭圆方程及性质
2．【答案】B
【分析】先求，再求点满足的轨迹方程，接着判断，最后求椭圆的离心率的取值范围.
【详解】解：因为椭圆，所以，
设点，因为，，，
所以点满足的轨迹方程：，即，
故当时，点存在，
故椭圆的离心率，又因为，
所以
故选：B
【点睛】本题考查求点的轨迹方程、求椭圆的离心率，是基础题
3．【答案】D
【分析】根据圆心到距离为，可得圆上的点到的距离最大值为，最小值为，再由，可得 ，从而得到答案.
【详解】圆的圆心，半径为，
因为圆心到距离为，
所以圆上的点到的距离最大值为，最小值为，
又因为，则以为直径的圆和圆有交点，
可得，
所以有，
故选：D
【点睛】本题主要考查了实数值取值范围的求法，注意圆的性质的合理运用，属于中档题.
4．【答案】B
【分析】分析题意，找到垂直关系，利用椭圆的定义表示边长，运用勾股定理消参，用倾斜角和斜率的关系得到答案即可.
【详解】
点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，
，设
，在Rt中，，
，解得，
在Rt中，
所以直线的斜率为，
故选：B.
5．【答案】B
【分析】根据椭圆方程可求得离心率，知A正确；根据蒙日圆方程定义可知C正确；结合长方形的对角线长和基本不等式可求得BD错误.
【详解】对于A，由椭圆方程知：，，则，
椭圆的离心率，A正确；
对于BC，由A知：椭圆对应的蒙日圆方程为：，
正方形是圆的内接正方形，正方形对角线长为圆的直径，
正方形的边长为，B错误，C正确；
对于D，设长方形的长和宽分别为，
长方形的对角线长为圆的直径，，
长方形的面积（当且仅当时取等号），
即长方形的面积的最大值为，D正确.
故选：B.
6．【答案】D
【分析】根据蒙日圆的概念，可知过椭圆右顶点和上顶点的切线的交点在蒙日圆上，坐标满足圆的方程，从而得到关于的方程进行求解.
【详解】如图，分别与椭圆相切，显然.

所以点在蒙日圆上，所以，
所以，即，所以椭圆的离心率.
故选：D.
7．【答案】D
【分析】求出蒙日圆面积，再求出椭圆面积，根据几何概率即可得到答案.
【详解】由题意知，蒙日圆的半径为，
所以，
根质点落在椭圆外部的概率为.
故选：D.
8．【答案】B
【分析】先由椭圆方程可得蒙日圆方程，再由两个圆仅有一个公共点可得圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值，进而可得的值.
【详解】由题意可知的蒙日圆方程为，
因为圆与圆仅有一个公共点，
所以两圆内切或外切，
故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值，
所以或，
由此解得.
故选：B.
9．【答案】A
【分析】根据题意先求蒙日圆的半径，再由可得直径，又利用基本不等式的求得的最大值，进而由面积的最大值为34可得的值.
【详解】由题意可知椭圆的蒙日圆的半径为，因为，
所以为蒙日圆的直径，所以，
所以，
因为，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为，
所以，则.
故选：A.
10．【答案】A
【分析】设Px0,y0和过点的双曲线切线方程为，再将其与双曲线方程联立，利用判别式等于0和和韦达定理即可得到答案.
【详解】不妨设Px0,y0，则过点的双曲线切线方程为存在且不为零，
联立，消去得，
所以，整理得
可知为关于的方程的两个根，且，
即，整理得，即点的轨迹方程为，
即双曲线的蒙日圆方程为，
半径为面积为.
故选：A.
11．【答案】/
【分析】结合双曲线方程求出与，由蒙日圆定义可得圆的方程，再由切线互相垂直可得为直径，解直角三角形可得.
【详解】由双曲线可知，.
则的蒙日圆圆心为，半径为，其蒙日圆方程为，
由已知可得，
所以为圆的直径，所以.
又，所以.
所以的周长为.
故答案为：.
12．【答案】（也可以）
【分析】可以利用条件三角形为等腰直角三角形，设出边长，找到边长与之间等量关系，然后把等量关系带入到勾股定理表达的等式中，即可求解离心率.
【详解】
由题意知三角形为等腰直角三角形，设，则，解得，，在三角形中，由勾股定理得，所以，．
故答案为：（也可以）
13．【答案】/
【分析】以为等腰直角三角形列方程组可得之间的关系式，进而求得椭圆的离心率.
【详解】椭圆的左､右焦点为，点P
由为等腰直角三角形可知，，即
可化为，故或（舍）
故答案为：
14．【答案】[32,1)
【详解】当P是椭圆的上、下顶点时,∠F1PF2最大,不妨设椭圆的上顶点为A,所以120°≤∠F1AF2