河北省石家庄北华中学2023-2024学年高二上学期10月月考 数学试题（含解析）

这是一份河北省石家庄北华中学2023-2024学年高二上学期10月月考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔.，若，且，则，当时，，则的值为，在五边形中，下列运算结果为的是，已知等内容，欢迎下载使用。

高二数学试题
考试时间：120分钟
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），页数在试卷下端；考试结束后，将答题纸（答题卡）上交，本卷留存.
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将考号、科目等填涂正确.
2．答题时请按要求用笔.
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设函数，则下列结论正确的是
A．的一个周期为B．的图象关于直线对称
C．的一个零点是D．在单调递增
2．（ ）
A．B．C．D．1
3．已知，则（ ）
A．B．1C．D．5
4．钟表的分针在一个半小时内转了（ ）
A．180°B．C．542°D．
5．已知点是第三象限的点，则的终边位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．若，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．当时，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是
A．B．
C．D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．在五边形中(如图)，下列运算结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知（，，）的图象如图，则（ ）
A．B．
C．D．时，取最小值
11．(多选)下列各三角函数值符号为负的有（ ）
A．B．
C．D．
12．设函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．在内有个极值点
C．的图象关于直线对称
D．将的图象向右平移个单位，可得的图象
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.
13．在半径为1的圆中，的圆心角所对的弧的长度为 ．
14．已知，则 .
15．函数的定义域是________．
16．已知，，则的值是 ．
四、解答题：本题共8小题，17，18题7分，19题8分，20，21，22，23题10分，24题12分，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．如图，EF，CH将正方形ABCD分成四个单位正方形(边长为1个单位长度).在以图中各点为端点的所有向量中，除向量外，与平行的向量有哪些?与平行且是单位向量的有哪些?

18．已知，为锐角，，，求的值.
19．求的最大值、最小值，并指出取到最值时x的值.
20．已知向量的夹角为，且，.
求：（1）；（2）．
21．已知函数（其中为常数）.当时，的最大值为4.
(1)求的值；
(2)在中，若，请判断的形状.
22．已知f（x）sin（2x）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值，并写出取最大值时自变量x的集合；
（3）求函数f（x）在x∈[0，]上的最值．
23．已知函数，且．
(1)求的值；
(2)求函数在区间上的最大值及相应的值．
24．已知向量，，令.
（1）若，求的值；
（2）是否存在实数，使，若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.
1．B
【分析】根据周期公式计算可知，选项A错误；根据的余弦值可知，选项B正确且选项C错误；根据区间的长度大于半个周期可知，选项D错误.
【详解】因为，所以选项A错误；
因为，所以选项B正确；
因为，所以选项C错误；
的最小正周期为，在内不可能是单调的，选项D错误.
故选：B.
【点睛】本题考查了余弦函数的周期性，对称轴，零点和单调性，属于基础题.
2．C
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得；
【详解】解：
故选：C
3．D
【分析】利用三角函数诱导公式和齐次式弦化切即可解答。
【详解】由题意，则．
故选：D﹒
4．D
【分析】根据分针旋转的圈数和方向求解.
【详解】分针是每小时顺时针旋转一圈（- ），所以根据任意角的定义：1个半小时旋转了 ；
故选：D.
5．C
【分析】由三角函数在各个象限的符号即可求解.
【详解】∵点是第三象限的点，∴，，
由可得，的终边位于第二象限或第三象限或x轴的非正半轴；
由可得，的终边位于第一象限或第三象限，
综上所述，的终边位于第三象限．
故选:C
6．C
【分析】由可得，然后结合以及即可求解.
【详解】因为，所以，
因为，即，
所以可得，
因为，， 所以，
所以，
所以，
故选：C.
7．D
【分析】先求得的取值范围，再由同角三角函数的平方关系可得的值，最后由诱导公式，得出答案.
【详解】解：由，所以，
由，所以，则，
所以.
故选：D.
8．C
【分析】利用平移变换可求解析式.
【详解】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
可得函数；
再将所得的图象向左平移个单位，
得到的图像对应的解析式是的图像，
故选:C．
9．AB
【分析】对各选项按向量加法、减法运算法则进行向量加减运算即可判断作答.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，B不正确；
对于D，， D不正确.
故选：AB
10．AB
【分析】根据题意得，且函数过点，，再待定系数求函数解析式，并讨论函数最值.
【详解】对于A选项，由图可知：，故A正确；
对于B选项，解法一：由，解得：，由于函数图象过点，
所以，所以，解得：
由于，所以,故B选项正确；
解法二：图象是由的图象向左平移而得，
∴，故，故B选项正确；
对于C选项，由于函数图象过点，故，故C选项错误；
对于D选项，由于，所以时，，不取最小值，故D选项错误．
故选：AB
【点睛】本题考查利用三角函数图象求函数解析式，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键在于由图象得，且函数过点，，进而待定系数求解.
11．BD
【分析】对于选项ABC，通过三角函数值在各象限的符号，逐一判断即可得出是否满足条件，选项D是特殊角的三角函数，可以直接求出函数值，从而进行判断.
【详解】选项A，因为角是第一象限角，所以，故选项A不满足题设条件；
选项B，因为角是第二象限角，所以，故选项B满足题设条件；
选项C，因为，所以角是第二象限角，所以，故选项C不满足题设条件；
选项D，因为，故选项D满足题设条件；
故选：BD.
12．BC
【分析】利用代入检验法可知AC正误；利用整体对应的方式可确定当时，的极值点位置，知B正确；根据三角函数平移变换知D错误.
【详解】对于A，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，A错误；
对于B，当时，，
则当或或或或或时，取得极值，
在内有个极值点，B正确；
对于C，当时，，图象关于对称，C正确；
对于D，将向右平移个单位可得：，D错误.
故选：BC.
13．
【分析】根据给定条件，利用弧长计算公式求解作答.
【详解】在半径为1的圆中，的圆心角所对的弧的长度为.
故答案为：
14．
【分析】将代入，通过两角和的正弦公式计算即可.
【详解】解：因为，
则
.
故答案为：.
【点睛】本题考查两角和的正弦公式，是基础题.
15．[－4，－）（0，）
【分析】根据偶次开方的被开方数为非负且对数函数的真数大于0可以得到：16﹣x2≥0，sinx＞0，进而求出x的取值范围得到答案．
【详解】∵16﹣x2≥0，sinx＞0，
∴﹣4≤x≤4，2kπ＜x＜π+2kπ，∴﹣4≤x＜﹣π，或0＜x＜π，
故答案为[﹣4，﹣π）∪（0，π）．
【点睛】本题主要考查求函数定义域的问题，这里要注意①偶次开方的被开方数为非负，②对数函数的真数大于0．
16．
【分析】根据和差角公式即可求解.
【详解】由可得，由于，
所以，故，
故
，
故答案为：
17．答案见解析
【分析】结合图形，由平行向量的定义及单位向量的定义即可得出结论.
【详解】根据平行向量的定义，由图可知，
与平行的向量有：，，，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，
其中的单位向量有：，，， ， ， ， ， ， ， ， .
18．
【解析】由同角公式可得，，再根据，以及两角差的余弦公式计算可得.
【详解】，为锐角，
，.
又，
.
又，
，
，
.
【点睛】本题考查了同角公式，考查了两角差的余弦公式，属于基础题.
19．当时，；当时，.
【分析】结合正弦函数的图象与性质，即可求解.
【详解】由题意，函数，
当时，即时，函数取得最大值；
当时，即时，函数取得最小值.
20．（1）；（2）．
【分析】（1）根据数量积的运算律直接求解即可得到结果；（2）首先根据数量积的运算律求得，开平方得到结果.
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查平面向量数量积运算、利用向量数量积求解向量的模长的问题；求解模长的关键是能够通过平方运算和数量积的运算律求得模长的平方，进而得到模长.
21．（1）（2）钝角三角形
【分析】（1）根据，求得，由已知可得；
（2）由可得，可得为钝角三角形.
【详解】（1）当时，，，
所以，所以，解得.
（2）由（1）可知，
所以，即，
因为，所以，
所以，解得.
所以为钝角三角形.
【点睛】本题考查了根据余弦函数的最值求参数，考查了判断三角形的形状，属于中档题.
22．（1）最小正周期为（2）x∈{x|x＝kπ，k∈Z}，f（x）取到最大值（3）f（x）的最小值为，最大值为
【分析】（1）根据周期与解析式的关系，即可求解；
（2）由正弦函数的最值与自变量关系，即可得结果；
（3）根据整体思想，转化为求正弦函数的最值.
【详解】（1）周期为T；
（2）当2x2kπ，k∈Z，
即x∈{x|x＝kπ，k∈Z}，f（x）取到最大值；
（3）x∈[0，]时，2x∈[]，
根据正弦函数的性质f（x）∈[，]，
当x时，f（x）取到最小值，
当x时，f（x）取到最大值．
【点睛】本题考查三角函数的性质，三角函数的最值，熟练掌握正弦函数图像和性质是解题的关键，属于基础题.
23．(1)
(2)时，取最大值2
【分析】（1）由，可得，结合即可求解；
（2）结合三角函数的图象及性质即可求解.
【详解】（1）由，
即，
因为，所以.
（2）由（1）知，
因为，则，
所以当，即时，取最大值2.
24．（1）；（2）不存在，理由见解析.
【分析】（1）利用平面向量的数量积运算化简函数为再由，两边平方求解；
（2）由得到，利用诱导公式求解.
【详解】（1），
，
，
由，平方得，
∴.
（2）由得
，
∴，
又，
∴
但是当时，无意义，所以不存在满足条件的实数.
【点睛】关键点点睛：本题关键是通过平面向量的数量积，转化为三角函数问题