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河南省驻马店市新蔡县新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析）
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这是一份河南省驻马店市新蔡县新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知直线经过点，且法向量，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知直线与直线平行，则实数（ ）
A．B．1C．或1D．
3．“”是“两条直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知直线，直线，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
6．已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（ ）
A．θB．C．D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知直线，下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．当时，关于轴的对称直线为
C．直线一定经过第四象限
D．点到直线的最大距离为
10．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围是
B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为
D．经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示．
11．若实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．直线（a2＋1）x－2ay＋1＝0的倾斜角的取值范围是 ．
13．古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设，，动点M满足，则动点M的轨迹方程为 ．
14．直线过点且倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线l的点法式方程是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知坐标平面内三点，，.
(1)求直线，，的斜率和倾斜角；
(2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围.
16．若直线l的一般式方程为，直线l经过点，求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值，并求此时a的值．
17．已知点，．
(1)设，若直线与直线垂直，求的值；
(2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程．
18．已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)点P在圆C上运动，求的取值范围．
19．已知直线，点．求：
(1)点关于直线的对称点的坐标；
(2)直线关于直线的对称直线的方程；
(3)直线关于点对称的直线的方程．
1．C
【分析】根据直线的法向量求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】由题意知直线 的法向量是，可得其斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
故选：C
2．C
【分析】由直线平行的充要条件列式运算即可求解.
【详解】已知直线与直线平行，
则当且仅当，解得或.
故选：C.
3．A
【分析】根据直线平行的等价条件求出，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】因为两条直线平行，
所以直线斜率相等或斜率不存在，
当两直线斜率不存在时，即，两直线为x=1，成立；
当两直线斜率存在时，即，解得，两直线为成立，
综上或.
所以“”是“两条直线平行”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
4．D
【分析】根据题意结合垂直关系可得直线的斜率，进而可得倾斜角.
【详解】因为直线的斜率，
且，可知直线的斜率
所以的倾斜角为．
故选：D．
5．C
【分析】利用直线垂直的性质与基本不等式可求最小值.
【详解】因为，故即，
故，当且仅当时等号成立，
故的最小值为，
故选：C.
6．A
【分析】首先确定圆心坐标，再求出两圆心的中点坐标与斜率，即可得到直线的斜率，再由点斜式计算可得.
【详解】圆的圆心为，
圆的圆心为，
所以、的中点坐标为，又，
则，所以直线的方程为，即.
故选：A
7．A
【分析】根据顶点坐标可得重心与外心的坐标，进而得欧拉线方程.
【详解】由重心坐标公式可得：重心，即.
由，，可知外心在的垂直平分线上，
所以设外心，因为，
所以，
解得，即：，
则，
故欧拉线方程为：，
即：，
故选：A.
8．C
【分析】利用直线与直线对称，得到倾斜角之间的关系，然后对选项进行逐个分析判断即可.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
因为直线和直线关于直线对称，
所以直线和直线也关于直线对称 ，
所以或，
对于A，当时，，所以A正确，
对于B，当时，，所以B正确，
对于C，若，则不成立，且也不成立，所以C错误，
对于D，当时，，所以D正确.
故选：C
9．BD
【分析】A.由判断；B.由时，直线方程为判断；C.由时，直线方程为判断；D.点到定点的距离判断.
【详解】对于A，直线，所以直线过定点，故A错误；
对于B.当时，直线方程为，关于轴的对称直线为，故B正确；
对于C，当时，直线方程为，直线不经过第四象限，故C错误；
对于D，如图所示：
设，由图象知：，点到直线的最大距离为，故D正确；
故选：BD
10．AD
【分析】对于A：根据可求倾斜角的取值范围；对于B：根据两直线垂直的条件求出的值即可判断；对于C：分截距是否为0两种情况求解可判断；对于D：对斜率为0、斜率不存在特殊情况讨论可以确定所求直线均可用表示.
【详解】对于A：直线的倾斜角为，则，
因为，所以，故A正确.
对于B：当时，直线与直线斜率分别为，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立，
若“直线与直线互相垂直”，则，
故或，所以得不到，故必要性不成立，故B错误.
对于C：截距为0时，设直线方程为，又直线过点，
所以可得，所以直线方程为，
当截距不为0时，调直线方程为，又直线过点，
所以可得，所以直线方程为，
所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C错误；
.对于D：经过平面内任意相异两点的直线：
当斜率等于0时，，方程为，能用方程表示；
当斜率不存在时，，方程为，能用方程表示；
当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为，
也能用方程表示，故D正确.
故选：AD.
11．ABC
【分析】对于A，设，利用点到直线距离公式求得的最值即可；对于B，直接利用重要不等式得出的范围即可；
【详解】
如图：是以2,0为圆心，为半径的圆.
对于A，设，则直线与圆有公共点，
所以，解得，所以，故A正确；
对于B，由知，，当且仅当或时取“”，故B正确；
对于C，表示圆上一点与坐标原点连线的斜率，
由图象知圆上的点与坐标原点连线的倾斜角的范围是，
故，即，故C正确；
对于D，取，满足，但，故D错误.
故选：ABC.
12．[，]
【详解】
解析：由题意知，若a＝0，则倾斜角为θ＝，若a≠0，则斜率k＝＝＋.①当a>0时，＋≥2＝1（当且仅当a＝1时，取“＝”），②当a<0时，－（＋）≤－2＝－1（当且仅当a＝－1时，取“＝”），k∈（－∞，－1]∪[1，＋∞），故θ∈[，）∪（，].综上，倾斜角的取值范围为[，].
13．
【分析】首先设Mx,y，代入两点间的距离求MA和，最后整理方程.
【详解】设Mx,y，由，得，
可得：，即，
整理得，故动点的轨迹方程为.
故答案为：.
14．
【分析】由正切的二倍角公式求得直线的斜率，然后由点斜式得直线方程转化为点法式方程．
【详解】设直线的倾斜角是，则，
，
所以所求直线方程为，即．
故答案为：．
15．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由斜率公式计算出斜率，然后可得倾斜角；
（2）根据点移动时，直线夹在直线和直线之间，运动时不可能与轴垂直，由此可得斜率范围．
【详解】（1）解：因为，，，
由斜率公式，可得，
再由直线倾斜角的定义得：
直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为.
（2）如图所示，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点，
即在线段上，此时的斜率由增大到，
所以的取值范围为.
16．，．
【分析】根据直线经过点得，然后利用基本不等式可得答案.
【详解】由直线的一般式方程，
可知直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
所以直线在轴和轴上的截距之和为．
直线经过点，得．
因此．
因为，
当且仅当时取等号，所以，
此时．
17．(1)
(2)或
【分析】（1）根据直线垂直即可求解；
（2）先对用正弦定理，得到的正弦值，对用正弦定理，得到，设出交点求解二次方程即可求解.
【详解】（1）直线的斜率为，因为直线与直线垂直，
所以，所以；
（2）
如图点为过点且与直线夹角的余弦值为的直线与直线的交点，
点为直线与轴的交点，点为直线与直线的交点，
点为过点作轴的垂线交直线的交点，，，
设夹角为，因为，所以，
因为，，
所以在中，，所以，
因为，所以在中，，
所以，所以，易知，
设交点坐标为，所以，
所以或，所以交点坐标为或，
所以直线方程为或，
即或.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用圆的对称性先确定圆心，再求半径即可；
（2）设P坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可.
【详解】（1）圆经过，两点，得圆心在的中垂线上，
又圆心C在直线上，联立直线方程有，得，
即圆心坐标为，
又，
故圆C的标准方程为．
（2）设，易知，
则（*），
因为点P在圆C上运动，则，
故（*）式可化简为，，
由得的取值范围为．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用两对称点的连线与对称直线垂直及两对称点的中点落在对称直线上，列出方程，解得即可；
（2）在直线上任取一点，利用（1）的做法求得对称点，再求出与的交点，由经过，两点，利用点斜式即可求得直线的方程；
（3）任取上一点，求得其对称点，代入直线的方程即可求得直线的方程.
【详解】（1）设，由得，
则，解得，故.
（2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上，
设对称点为，则，解得，即，
设与的交点为，则由，解得，即N4,3，
又经过点N4,3，故，
所以直线的方程为，即.
（3）设为上任意一点，
则关于点的对称点为，
因为在直线上，所以，
即直线的方程为.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知直线经过点，且法向量，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知直线与直线平行，则实数（ ）
A．B．1C．或1D．
3．“”是“两条直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知直线，直线，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
6．已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（ ）
A．θB．C．D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知直线，下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．当时，关于轴的对称直线为
C．直线一定经过第四象限
D．点到直线的最大距离为
10．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围是
B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为
D．经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示．
11．若实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．直线（a2＋1）x－2ay＋1＝0的倾斜角的取值范围是 ．
13．古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设，，动点M满足，则动点M的轨迹方程为 ．
14．直线过点且倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线l的点法式方程是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知坐标平面内三点，，.
(1)求直线，，的斜率和倾斜角；
(2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围.
16．若直线l的一般式方程为，直线l经过点，求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值，并求此时a的值．
17．已知点，．
(1)设，若直线与直线垂直，求的值；
(2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程．
18．已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)点P在圆C上运动，求的取值范围．
19．已知直线，点．求：
(1)点关于直线的对称点的坐标；
(2)直线关于直线的对称直线的方程；
(3)直线关于点对称的直线的方程．
1．C
【分析】根据直线的法向量求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】由题意知直线 的法向量是，可得其斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
故选：C
2．C
【分析】由直线平行的充要条件列式运算即可求解.
【详解】已知直线与直线平行，
则当且仅当，解得或.
故选：C.
3．A
【分析】根据直线平行的等价条件求出，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】因为两条直线平行，
所以直线斜率相等或斜率不存在，
当两直线斜率不存在时，即，两直线为x=1，成立；
当两直线斜率存在时，即，解得，两直线为成立，
综上或.
所以“”是“两条直线平行”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
4．D
【分析】根据题意结合垂直关系可得直线的斜率，进而可得倾斜角.
【详解】因为直线的斜率，
且，可知直线的斜率
所以的倾斜角为．
故选：D．
5．C
【分析】利用直线垂直的性质与基本不等式可求最小值.
【详解】因为，故即，
故，当且仅当时等号成立，
故的最小值为，
故选：C.
6．A
【分析】首先确定圆心坐标，再求出两圆心的中点坐标与斜率，即可得到直线的斜率，再由点斜式计算可得.
【详解】圆的圆心为，
圆的圆心为，
所以、的中点坐标为，又，
则，所以直线的方程为，即.
故选：A
7．A
【分析】根据顶点坐标可得重心与外心的坐标，进而得欧拉线方程.
【详解】由重心坐标公式可得：重心，即.
由，，可知外心在的垂直平分线上，
所以设外心，因为，
所以，
解得，即：，
则，
故欧拉线方程为：，
即：，
故选：A.
8．C
【分析】利用直线与直线对称，得到倾斜角之间的关系，然后对选项进行逐个分析判断即可.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
因为直线和直线关于直线对称，
所以直线和直线也关于直线对称 ，
所以或，
对于A，当时，，所以A正确，
对于B，当时，，所以B正确，
对于C，若，则不成立，且也不成立，所以C错误，
对于D，当时，，所以D正确.
故选：C
9．BD
【分析】A.由判断；B.由时，直线方程为判断；C.由时，直线方程为判断；D.点到定点的距离判断.
【详解】对于A，直线，所以直线过定点，故A错误；
对于B.当时，直线方程为，关于轴的对称直线为，故B正确；
对于C，当时，直线方程为，直线不经过第四象限，故C错误；
对于D，如图所示：
设，由图象知：，点到直线的最大距离为，故D正确；
故选：BD
10．AD
【分析】对于A：根据可求倾斜角的取值范围；对于B：根据两直线垂直的条件求出的值即可判断；对于C：分截距是否为0两种情况求解可判断；对于D：对斜率为0、斜率不存在特殊情况讨论可以确定所求直线均可用表示.
【详解】对于A：直线的倾斜角为，则，
因为，所以，故A正确.
对于B：当时，直线与直线斜率分别为，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立，
若“直线与直线互相垂直”，则，
故或，所以得不到，故必要性不成立，故B错误.
对于C：截距为0时，设直线方程为，又直线过点，
所以可得，所以直线方程为，
当截距不为0时，调直线方程为，又直线过点，
所以可得，所以直线方程为，
所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C错误；
.对于D：经过平面内任意相异两点的直线：
当斜率等于0时，，方程为，能用方程表示；
当斜率不存在时，，方程为，能用方程表示；
当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为，
也能用方程表示，故D正确.
故选：AD.
11．ABC
【分析】对于A，设，利用点到直线距离公式求得的最值即可；对于B，直接利用重要不等式得出的范围即可；
【详解】
如图：是以2,0为圆心，为半径的圆.
对于A，设，则直线与圆有公共点，
所以，解得，所以，故A正确；
对于B，由知，，当且仅当或时取“”，故B正确；
对于C，表示圆上一点与坐标原点连线的斜率，
由图象知圆上的点与坐标原点连线的倾斜角的范围是，
故，即，故C正确；
对于D，取，满足，但，故D错误.
故选：ABC.
12．[，]
【详解】
解析：由题意知，若a＝0，则倾斜角为θ＝，若a≠0，则斜率k＝＝＋.①当a>0时，＋≥2＝1（当且仅当a＝1时，取“＝”），②当a<0时，－（＋）≤－2＝－1（当且仅当a＝－1时，取“＝”），k∈（－∞，－1]∪[1，＋∞），故θ∈[，）∪（，].综上，倾斜角的取值范围为[，].
13．
【分析】首先设Mx,y，代入两点间的距离求MA和，最后整理方程.
【详解】设Mx,y，由，得，
可得：，即，
整理得，故动点的轨迹方程为.
故答案为：.
14．
【分析】由正切的二倍角公式求得直线的斜率，然后由点斜式得直线方程转化为点法式方程．
【详解】设直线的倾斜角是，则，
，
所以所求直线方程为，即．
故答案为：．
15．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由斜率公式计算出斜率，然后可得倾斜角；
（2）根据点移动时，直线夹在直线和直线之间，运动时不可能与轴垂直，由此可得斜率范围．
【详解】（1）解：因为，，，
由斜率公式，可得，
再由直线倾斜角的定义得：
直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为.
（2）如图所示，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点，
即在线段上，此时的斜率由增大到，
所以的取值范围为.
16．，．
【分析】根据直线经过点得，然后利用基本不等式可得答案.
【详解】由直线的一般式方程，
可知直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
所以直线在轴和轴上的截距之和为．
直线经过点，得．
因此．
因为，
当且仅当时取等号，所以，
此时．
17．(1)
(2)或
【分析】（1）根据直线垂直即可求解；
（2）先对用正弦定理，得到的正弦值，对用正弦定理，得到，设出交点求解二次方程即可求解.
【详解】（1）直线的斜率为，因为直线与直线垂直，
所以，所以；
（2）
如图点为过点且与直线夹角的余弦值为的直线与直线的交点，
点为直线与轴的交点，点为直线与直线的交点，
点为过点作轴的垂线交直线的交点，，，
设夹角为，因为，所以，
因为，，
所以在中，，所以，
因为，所以在中，，
所以，所以，易知，
设交点坐标为，所以，
所以或，所以交点坐标为或，
所以直线方程为或，
即或.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用圆的对称性先确定圆心，再求半径即可；
（2）设P坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可.
【详解】（1）圆经过，两点，得圆心在的中垂线上，
又圆心C在直线上，联立直线方程有，得，
即圆心坐标为，
又，
故圆C的标准方程为．
（2）设，易知，
则（*），
因为点P在圆C上运动，则，
故（*）式可化简为，，
由得的取值范围为．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用两对称点的连线与对称直线垂直及两对称点的中点落在对称直线上，列出方程，解得即可；
（2）在直线上任取一点，利用（1）的做法求得对称点，再求出与的交点，由经过，两点，利用点斜式即可求得直线的方程；
（3）任取上一点，求得其对称点，代入直线的方程即可求得直线的方程.
【详解】（1）设，由得，
则，解得，故.
（2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上，
设对称点为，则，解得，即，
设与的交点为，则由，解得，即N4,3，
又经过点N4,3，故，
所以直线的方程为，即.
（3）设为上任意一点，
则关于点的对称点为，
因为在直线上，所以，
即直线的方程为.
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