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吉林省长春市实验中学2023-2024学年高二上学期第一次学段考试 数学试卷（含解析）
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这是一份吉林省长春市实验中学2023-2024学年高二上学期第一次学段考试 数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了直线的倾斜角为，已知A，B是圆C等内容，欢迎下载使用。
高二数学试卷
一､单选题
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.设A是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点M构成的图形是（ ）
A.圆 B.直线 C.平面 D.线段
3.若方程表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（ ）
A.0 B.5 C.9 D.
6.已知A，B是圆C：上的两个动点，且，若，则点P到直线AB距离的最大值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.7
7.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题
9.已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.不存在实数，使得
D.若，则
10.圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
11.下列说法错误的是（ ）
A.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B.直线的倾斜角的取值范围是
C.过两点的所有直线，其方程均可写为
D.已知，若直线与线段有公共点，则
12.在正方体中，.点P在正方体的面内（含边界）移动，则下列结论正确的是（ ）
A.当直线平面时，则直线与直线所成的大小可能为
B.当P是正方形的中心时，Q为线段上的动点，则的最小值为
C.若直线与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
D.当直线时，Q为线段中点，则三棱锥的体积为定值
三､填空题
13.已知空间向量，则__________.
14.已知直线与平行，则实数__________.
15.已知圆和点，若圆上存在两点使得，则实数的取值范围是__________.
16.如图，在正方体中，点在线段上运动时，下列命题正确的是.（将正确答案的序号都填上）
①三棱锥的体积不变
②直线与直线的所成角的取值范围为
③直线与平面所成角的大小不变
④二面角的大小不变
四､解答题
17.已知直线l：.
（1）求直线m：关于直线l对称的直线方程；
（2）求圆C：关于直线l对称的圆的方程.
18.如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.
19.在平面直角坐标系中，已知射线OA：，OB：.过点作直线分别交射线OA，OB于点A，B.
（1）当线段AB的中点为P时，求直线AB的方程；
（2）当的面积为时，求直线AB的方程.
20.已知圆，定点.
（1）光线自定点开始射到x轴上，经x轴发生镜面反射后到达圆C上的点N为止，求光线路程的最小值；
（2）若点A在圆C上转动，点P为线段的中点，求点P的轨迹方程.
21.图①是直角梯形，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.
（1）求证：平面平面；
（2）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.
22.有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形内一点，现在由于三角板中阴影部分受到损坏，为把损坏部分锯掉，可用经过点的一条直线，将三角板铝成，问：应该如何锯法，即直线斜率为多少时，可使三角板的面积最大？
长春市实验中学
2023-2024学年上学期第一次学段考试
高二数学试卷参考答案
1.B
【详解】直线的斜率，其倾斜角，则，
所以.故选：B
2.C
【详解】由题意，故点M位于过点且和垂直的平面内，
故点M构成的图形是经过点，且以为法向量的平面，故选：C
3.D
【详解】由方程可得，
所以当时表示圆，解得.故选：D.
4.C
【详解】对于选项A中，直线的直线的∴A错；
对于选项B中，直线的直线的，∴B错；
对于选项C中，直线的直线的∴C对；
对于选项D中，直线的直线的∴D错.故选：C.
5.D
【详解】因为，，
所以与不共线，又，，三向量不能构成空间向量的一组基底，
所以，，三向量共面，
所以存在唯一的实数对，使，即，解得.故选：D.
6.D
【详解】由题意可知：圆C：的圆心，半径，
则，
设到直线AB的距离分别为，
因为，解得，
分别过作，垂足分别为，再过C作，垂足为，
显然当位于直线的同侧时，点P到直线的距离较大，
则，
当且仅当，即直线与直线垂直时，等号成立，
所以点P到直线距离的最大值为7.故选：D.
7.D
【详解】在直四棱柱中，四边形为正方形，
以点为坐标原点，､､所在直线分别为､､轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则､､､，
所以，，，
所以，，
因此，异面直线与所成角的余弦值为.故选：D.
8.B
【详解】由得，
故由得，
由得，设，则，
即，即点C轨迹为一动圆，
设该动圆圆心为，则，
整理得，代入到中，
得：，即C轨迹的圆心在圆上，
故点到点距离的最大值为，故选：B
9.ACD
【详解】对于A项，由可得，解得，故A项正确；
对于B项，由可得，解得，故B项错误；
对于C项，假设存在实数，使得，则，所以不存在实数，使得，故C项正确；
对于D项，由可得，解得，所以，故D项正确.
故选：ACD.
10.AD
【详解】圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，圆心在直线上，
设圆心坐标为，则由，解得或，
圆的标准方程为或.故选：AD.
11.ACD
【详解】对于A，当时，两直线分别为和，此时两直线垂直，充分性成立；
若两直线垂直，则，解得：或，必要性不成立；
“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，A错误；
对于B，由直线得：，
直线的斜率，即，
又，，B正确；
对于C，平行于坐标轴的直线，即或时，直线方程不能写为，C错误；
对于D，由得：，直线恒过定点；
，，
结合图象可知：，，D正确.
故选：AC.
12.BCD
【详解】对于A，如下图，连接､､，
由正方体性质知：，，
由面，面，则面，同理可证面，
又，面，故面面，
由面，面面，且P在正方体的面内，
所以，要使直线平面，则面，即，又为等边三角形，
故在上运动时，直线与直线成角为，故A错误；
对于B，将平面与平面展开，得到如下所示图形，
当P正方形的中心时，即为与的交点，做，连接，与交于点，则此时最小，即为，
且，，则，
故B正确；
对于C，由面，显然､与面夹角为，
所以，要直线与平面所成角为，则P轨迹是以为圆心为半径的圆，
如下图示：
所以，轨迹长度为，故C正确；
对于D，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则可得，设，
则，，
当直线时，可得，即，
所以点在上运动，则的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，
故D正确；故选：BCD
13.
【详解】因为，所以.
故答案为：
14.0或
【详解】因为直线与平行，
所以，解得或，经检验，此时两直线平行.
故答案为：0或
15.
【详解】对于上任意一点，当均为圆的切线时最大，
由题意，，即，此时为满足题设条件的临界点，
如上图，若与重合，则，为圆的切线，此时，
综上，在临界点之间移动过程中，有，
即，
解得，可得.故答案为：
16.①②④
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
①：连接，设该正方体的棱长为，
因为平面，平面，
所以平面，因此点到平面的距离相等，
故，因此本序号说法正确；
②：因为，
所以（或其补角）就是直线与直线的所成的角，
由正方形的性质可知：当与或重合时，
这时直线与直线的所成的角为，
当是中点时，直线与直线的所成的角为，因此本序号说法正确；
③：建立如图所示的空间直角坐标系：
，
设，设
，
，
设平面的法向量为，所以有，
因为，
设直线与平面所成角为，
显然不是定值，因此本序号说法不正确；
④：设平面的法向量为，
所以有，
因为为定值，
所以二面角的大小不变，因此本序号说法正确，故答案为：①②④
17.（1）（2）
【详解】（1）设为所求直线上的任一点，P关于直线l的对称点为
则，解得
∵在直线上，
∴，即
故直线m关于l的对称直线的方程为.
（2）设圆心关于直线l的对称点为，则M为所求圆的圆心
由，解得，∴，所以所求圆的方程为
18.（1）证明见解析（2）
【详解】（1）证明：∵底面，，
故以为原点，分别为轴､轴､轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则､､､､､，
所以，，，
则，，即，，
又，所以平面
（2）由（1）知，，，
设平面的一个法向量为，则，，
即，令，可得，
设平面的一个法向量为，则，，
即，令，可得，，
所以平面与平面锐二面角的大小为
19.（1）（2）
【详解】（1）由题意设，则线段的中点为，
因为线段的中点为，所以，解得：，
所以，则直线的斜率.
所以直线的方程为，即.
故直线的方程为.
（2）设，
因为三点共线，所以，或，
解得：或.
所以的面积为，
显然不符合题意；
解得.所以，则直线的斜率.
所以直线的方程为，即.故直线的方程为.
20.（1）（2）
【详解】（1）由圆可得圆心，半径为1，
点关于轴对称点为，
光线从到经过的路程，即为点与点的直线距离，
其最小值为，
所以光线路程的最小值为；
（2）设点，
因为点，线段的中点为，可得，解得，
又因为在圆上，可得，即，
即点的轨迹方程为
21.（1）证明见解析（2）存在，直线与平面所成角的正弦值为
【详解】（1）在图①中，连接，交于，
四边形是边长为2的菱形，；
在图（2）中，相交直线均与垂直，是二面角的平面角，
，
平面平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴可建立如图②所示空间直角坐标系，则，
，设，则，
设平面的一个法向量，
则，令，解得：；
点到平面的距离，解得：或（舍），
直线与平面所成角的正弦值为.
22.，
【详解】依题意，直线MN过点且斜率存在，则MN的方程为，
，，
直线OA的方程为，直线AB的方程为，
由知：且，可得或，
由知：且，可得，
，故，，
，
∴，且.
设，，
当时，，
∵，
，，，则，即，
在是增函数，
当时，，即时，
高二数学试卷
一､单选题
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.设A是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点M构成的图形是（ ）
A.圆 B.直线 C.平面 D.线段
3.若方程表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（ ）
A.0 B.5 C.9 D.
6.已知A，B是圆C：上的两个动点，且，若，则点P到直线AB距离的最大值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.7
7.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题
9.已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.不存在实数，使得
D.若，则
10.圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
11.下列说法错误的是（ ）
A.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B.直线的倾斜角的取值范围是
C.过两点的所有直线，其方程均可写为
D.已知，若直线与线段有公共点，则
12.在正方体中，.点P在正方体的面内（含边界）移动，则下列结论正确的是（ ）
A.当直线平面时，则直线与直线所成的大小可能为
B.当P是正方形的中心时，Q为线段上的动点，则的最小值为
C.若直线与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
D.当直线时，Q为线段中点，则三棱锥的体积为定值
三､填空题
13.已知空间向量，则__________.
14.已知直线与平行，则实数__________.
15.已知圆和点，若圆上存在两点使得，则实数的取值范围是__________.
16.如图，在正方体中，点在线段上运动时，下列命题正确的是.（将正确答案的序号都填上）
①三棱锥的体积不变
②直线与直线的所成角的取值范围为
③直线与平面所成角的大小不变
④二面角的大小不变
四､解答题
17.已知直线l：.
（1）求直线m：关于直线l对称的直线方程；
（2）求圆C：关于直线l对称的圆的方程.
18.如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.
19.在平面直角坐标系中，已知射线OA：，OB：.过点作直线分别交射线OA，OB于点A，B.
（1）当线段AB的中点为P时，求直线AB的方程；
（2）当的面积为时，求直线AB的方程.
20.已知圆，定点.
（1）光线自定点开始射到x轴上，经x轴发生镜面反射后到达圆C上的点N为止，求光线路程的最小值；
（2）若点A在圆C上转动，点P为线段的中点，求点P的轨迹方程.
21.图①是直角梯形，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.
（1）求证：平面平面；
（2）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.
22.有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形内一点，现在由于三角板中阴影部分受到损坏，为把损坏部分锯掉，可用经过点的一条直线，将三角板铝成，问：应该如何锯法，即直线斜率为多少时，可使三角板的面积最大？
长春市实验中学
2023-2024学年上学期第一次学段考试
高二数学试卷参考答案
1.B
【详解】直线的斜率，其倾斜角，则，
所以.故选：B
2.C
【详解】由题意，故点M位于过点且和垂直的平面内，
故点M构成的图形是经过点，且以为法向量的平面，故选：C
3.D
【详解】由方程可得，
所以当时表示圆，解得.故选：D.
4.C
【详解】对于选项A中，直线的直线的∴A错；
对于选项B中，直线的直线的，∴B错；
对于选项C中，直线的直线的∴C对；
对于选项D中，直线的直线的∴D错.故选：C.
5.D
【详解】因为，，
所以与不共线，又，，三向量不能构成空间向量的一组基底，
所以，，三向量共面，
所以存在唯一的实数对，使，即，解得.故选：D.
6.D
【详解】由题意可知：圆C：的圆心，半径，
则，
设到直线AB的距离分别为，
因为，解得，
分别过作，垂足分别为，再过C作，垂足为，
显然当位于直线的同侧时，点P到直线的距离较大，
则，
当且仅当，即直线与直线垂直时，等号成立，
所以点P到直线距离的最大值为7.故选：D.
7.D
【详解】在直四棱柱中，四边形为正方形，
以点为坐标原点，､､所在直线分别为､､轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则､､､，
所以，，，
所以，，
因此，异面直线与所成角的余弦值为.故选：D.
8.B
【详解】由得，
故由得，
由得，设，则，
即，即点C轨迹为一动圆，
设该动圆圆心为，则，
整理得，代入到中，
得：，即C轨迹的圆心在圆上，
故点到点距离的最大值为，故选：B
9.ACD
【详解】对于A项，由可得，解得，故A项正确；
对于B项，由可得，解得，故B项错误；
对于C项，假设存在实数，使得，则，所以不存在实数，使得，故C项正确；
对于D项，由可得，解得，所以，故D项正确.
故选：ACD.
10.AD
【详解】圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，圆心在直线上，
设圆心坐标为，则由，解得或，
圆的标准方程为或.故选：AD.
11.ACD
【详解】对于A，当时，两直线分别为和，此时两直线垂直，充分性成立；
若两直线垂直，则，解得：或，必要性不成立；
“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，A错误；
对于B，由直线得：，
直线的斜率，即，
又，，B正确；
对于C，平行于坐标轴的直线，即或时，直线方程不能写为，C错误；
对于D，由得：，直线恒过定点；
，，
结合图象可知：，，D正确.
故选：AC.
12.BCD
【详解】对于A，如下图，连接､､，
由正方体性质知：，，
由面，面，则面，同理可证面，
又，面，故面面，
由面，面面，且P在正方体的面内，
所以，要使直线平面，则面，即，又为等边三角形，
故在上运动时，直线与直线成角为，故A错误；
对于B，将平面与平面展开，得到如下所示图形，
当P正方形的中心时，即为与的交点，做，连接，与交于点，则此时最小，即为，
且，，则，
故B正确；
对于C，由面，显然､与面夹角为，
所以，要直线与平面所成角为，则P轨迹是以为圆心为半径的圆，
如下图示：
所以，轨迹长度为，故C正确；
对于D，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则可得，设，
则，，
当直线时，可得，即，
所以点在上运动，则的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，
故D正确；故选：BCD
13.
【详解】因为，所以.
故答案为：
14.0或
【详解】因为直线与平行，
所以，解得或，经检验，此时两直线平行.
故答案为：0或
15.
【详解】对于上任意一点，当均为圆的切线时最大，
由题意，，即，此时为满足题设条件的临界点，
如上图，若与重合，则，为圆的切线，此时，
综上，在临界点之间移动过程中，有，
即，
解得，可得.故答案为：
16.①②④
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
①：连接，设该正方体的棱长为，
因为平面，平面，
所以平面，因此点到平面的距离相等，
故，因此本序号说法正确；
②：因为，
所以（或其补角）就是直线与直线的所成的角，
由正方形的性质可知：当与或重合时，
这时直线与直线的所成的角为，
当是中点时，直线与直线的所成的角为，因此本序号说法正确；
③：建立如图所示的空间直角坐标系：
，
设，设
，
，
设平面的法向量为，所以有，
因为，
设直线与平面所成角为，
显然不是定值，因此本序号说法不正确；
④：设平面的法向量为，
所以有，
因为为定值，
所以二面角的大小不变，因此本序号说法正确，故答案为：①②④
17.（1）（2）
【详解】（1）设为所求直线上的任一点，P关于直线l的对称点为
则，解得
∵在直线上，
∴，即
故直线m关于l的对称直线的方程为.
（2）设圆心关于直线l的对称点为，则M为所求圆的圆心
由，解得，∴，所以所求圆的方程为
18.（1）证明见解析（2）
【详解】（1）证明：∵底面，，
故以为原点，分别为轴､轴､轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则､､､､､，
所以，，，
则，，即，，
又，所以平面
（2）由（1）知，，，
设平面的一个法向量为，则，，
即，令，可得，
设平面的一个法向量为，则，，
即，令，可得，，
所以平面与平面锐二面角的大小为
19.（1）（2）
【详解】（1）由题意设，则线段的中点为，
因为线段的中点为，所以，解得：，
所以，则直线的斜率.
所以直线的方程为，即.
故直线的方程为.
（2）设，
因为三点共线，所以，或，
解得：或.
所以的面积为，
显然不符合题意；
解得.所以，则直线的斜率.
所以直线的方程为，即.故直线的方程为.
20.（1）（2）
【详解】（1）由圆可得圆心，半径为1，
点关于轴对称点为，
光线从到经过的路程，即为点与点的直线距离，
其最小值为，
所以光线路程的最小值为；
（2）设点，
因为点，线段的中点为，可得，解得，
又因为在圆上，可得，即，
即点的轨迹方程为
21.（1）证明见解析（2）存在，直线与平面所成角的正弦值为
【详解】（1）在图①中，连接，交于，
四边形是边长为2的菱形，；
在图（2）中，相交直线均与垂直，是二面角的平面角，
，
平面平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴可建立如图②所示空间直角坐标系，则，
，设，则，
设平面的一个法向量，
则，令，解得：；
点到平面的距离，解得：或（舍），
直线与平面所成角的正弦值为.
22.，
【详解】依题意，直线MN过点且斜率存在，则MN的方程为，
，，
直线OA的方程为，直线AB的方程为，
由知：且，可得或，
由知：且，可得，
，故，，
，
∴，且.
设，，
当时，，
∵，
，，，则，即，
在是增函数，
当时，，即时，
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