河南省许昌市长葛市第三实验高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析）

这是一份河南省许昌市长葛市第三实验高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则等于（ ）
A．B．
C．D．
4．四面体中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知 ，向量，，，且，，则的值为（ ）
A．－1B．1C．2D．3
6．空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，M为PC上一动点，，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（ ）
A．若∥，∥，则∥
B．若两两共面，则，，共面
C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．对于空间的任意一个向量，总存在实数x，y，z使得
10．已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．与夹角的余弦值为－D．
11．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．在正方体中，，则 ．
13．已知，则 .
14．若，，三点共线，则 .
四、解答题(本大题共5大题，共77分)
15．已知，.
(1)若()∥()，求x，y的值；
(2)若，且，求x的值.
16．如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，.
(1)用表示，并求EF的长；
(2)求与夹角的大小．
17．如图，在正方体中，分别是的中点．
(1)证明：；
(2)求与所成的角；
18．如图，正三棱柱中，底面边长为.
(1)设侧棱长为，求证：；
(2)设与的夹角为，求侧棱的长．
19．如图所示,ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点.
求证:（1）MN∥平面PAD;
（2）平面QMN∥平面PAD.
1．A
【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.
【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.
故选：A.
2．C
【分析】根据题意，结合直线的方向向量和平面分法向量的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为，
由，可得，所以A不正确，C正确；
对于B中，由，可得或，所以B、D都不正确；
故选：C.
3．D
【分析】根据空间向量的线性运算即可得到答案.
【详解】因为为与的交点，
所以
.
故选：D.
4．C
【分析】根据题意得
，由数量积公式计算即可.
【详解】由题知，，
所以
，
所以，解得，
故选：C
5．A
【分析】根据向量垂直、共线的坐标表示求出可得答案.
【详解】因为向量，，，
由，则，解得，
由，则，解得，
则.
故选：A.
6．C
【分析】先设，然后把向量，，分别用向量，，，表示，再把向量用向量，，表示出，对照已知的系数相等即可求解．
【详解】解：因为空间，，，四点共面，但任意三点不共线，
则可设，
又点在平面外，则
，
即，
则，
又，
所以，解得，，
故选：C．
7．B
【分析】直接根据空间向量的投影计算公式求出在上的投影，进行计算在上的投影向量.
【详解】因为，，所以.
因为，所以
故在上的投影向量为
故选：B
8．D
【分析】建立空间直角坐标系，利用即可求解.
【详解】分别以、、为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设， ，故，,，,
由可知，，即，
又因为为钝角，所以，
由,,可知，，
，整理得，
解得，
故选：D.
9．AC
【分析】对应A：根据共线向量的定义分析判断；对于BCD：根据空间向量基本定理分析判断.
【详解】对于选项A：因为是空间的三个单位向量，可知，，都是非零向量，
若∥，∥，则，故A正确；
对于选项B：若，，两两共面，可能为空间能作为基底的三个向量，
所以，，不一定共面，故B错误；
对于选项C：若，，是空间的一组基底，
假设，，共面，
则存在，使得，
可得，方程组无解，
假设不成立，所以，，不共面，也可以是空间的一组基底，故C正确；
对于选项D：对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得，需要不共面，故D错误.
故选：AC．
10．BCD
【分析】利用空间向量的坐标运算，对于A，结合向量平行的性质，即可求解，对于B，结合向量模公式，即可求解，对于C，结合向量的夹角公式，即可求解，对于D，结合向量垂直的性质，即可求解.
【详解】因为，，
所以，
因为，所以向量与不共线，故选项A不正确；
因为，，所以，故选项B正确；
因为，故选项C正确；
因为，所以，即，故选项D正确.
故选：BCD.
11．BD
【分析】利用空间向量共线可判断A；求出与同向的单位向量可判断B；求出和夹角的余弦值可判断C；求出平面的一个法向量可判断D.
【详解】对于A，，，因为，所以与不是共线向量，故A错误；
对于B，，与同向的单位向量是，故B正确；
对于C，，，，所以和夹角的余弦值是，故C错误；
对于D，，，设为平面的一个法向量，
则，，令，可得，
所以平面的一个法向量是，故D正确.
故选：BD.
12．
【分析】根据即可得出答案.
【详解】解：在正方体中，因为，，
所以．
故答案为：2.
13．2
【分析】由空间向量的坐标运算即可；
【详解】由题意可得，
故答案为：2
14．
【分析】由转化为坐标运算可得答案.
【详解】因为，，三点共线，
所以，即，
所以，解得，即.
故答案为：.
15．(1)，
(2)
【分析】（1）先求出和的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得；
（2）先根据向量垂直得，进而，再根据向量模的坐标表示计算可得.
【详解】（1）∵，，
∴，.
又()∥()，
∴，解得，.
（2）由，得，
∴，∴，即，∴，解得.
16．(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意结合空间向量的线线运算求，再根据向量的数量积运算求即可；
（2）根据题意结合空间向量的线线运算求，再根据向量的数量积运算可得，即可得结果.
【详解】（1）因为E，F分别为棱BC，AD的中点，且，，，
可得
，
因为正四面体ABCD的棱长为1，则，且，
可得
，
即，所以EF的长为.
（2）由题意得
，
因此
，
即，即与的夹角为.
17．(1)证明见解析
(2)90°
【分析】（1）根据正方体的性质可证明面，从而根据线面垂直的性质可得（2）取中点 ，连接，因为 是 的中点，由是平行四边形，可得，设与相交于点H，则是与所成的角，利用三角形全等可得与所成的角是；
【详解】（1）在中，平面，平面,
所以;
（2）取AB中点，连接，因为是CD的中点，所以平行且相等，
又因为,故,
即四边形是平行四边形，所以，
设与相交于点H，则是与所成的角或其补角，
因为E是的中点，则，故，
而,则,
则，即与所成的角是；
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据空间向量的线性运算表示与，结合向量数量积的运算律计算，即可得证；
（2）根据向量数量积的运算律表示数量积及模长，根据夹角可得模长.
【详解】（1）由已知得，，
平面，
，，
又是正三角形，
,
；
；
（2）由（1）得，
又，
，
，
解得，
即侧棱长为.
19．（1）见解析
（2）见解析
【分析】(1)如图以A为原点,以AB,AD,AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,
设B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),则C(b,d,0),，求出，因为平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0),， 所以·m=0,即⊥m.，利用直线与平面平行的判定定理，可证MN∥平面PAD.
(2)=(0,-d,0),⊥m,，又QN不在平面PAD内,又QN∥平面PAD.，即可得证.
【详解】(1) 证明:如图以A为原点,以AB,AD,AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,
设B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),则C(b,d,0),
因为M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点,
所以M,N,Q,
所以.
因为平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0),
所以·m=0,即⊥m.
因为MN不在平面PAD内,故MN∥平面PAD.
(2)=(0,-d,0),⊥m,
又QN不在平面PAD内,又QN∥平面PAD.
又因为MN∩QN=N,所以平面MNQ∥平面PAD
【点睛】本题空间向量的证明空间位置关系.是基础题.