内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗达拉特旗第一中学2024−2025学年高二上学期第一次学情诊断（9月） 数学试题（含解析）

这是一份内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗达拉特旗第一中学2024−2025学年高二上学期第一次学情诊断（9月） 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数z满足，则的虚部是（ ）
A．B．1C．D．i
2．若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是（ ）
A．10，12B．10，14C．4，3D．6，3
3．设，且，则（ ）
A．B．0C．3D．
4．设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ）
A．若，是对立事件，则
B．若，是互斥事件，，则
C．若，且，则，是独立事件
D．若，是独立事件，，则
5．已知，，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知在空间直角坐标系中，直线经过，两点，则点到直线的距离是（ ）
A．B．C．D．
7．已知平行六面体中，棱两两的夹角均为，，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
8．已知点均在球上，，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为
A．B．C．32D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知一组样本数据，，…，，下列说法正确的是（ ）
A．该样本数据的第60百分位数为
B．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数
C．剔除某个数据（，2，…，20）后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差
D．若，，…，的均值为2，方差为1，，，…，的均值为6，方差为2，则，，…，的方差为5
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在上单调递减
C．若，则
D．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向右平移个单位长度
11．如图，P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的有（ ）
A．当P在平面内运动时，四棱锥的体积不变
B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是
C．使得直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为π＋4
D．若F是棱的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面时，PF的最小值是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知甲袋中有2个白球、3个红球、5个黑球；乙袋中有4个白球、3个红球、3个黑球，各个球的大小与质地相同．若从两袋中各取一球，则2个球颜色不同的概率为 ．
13．过,两点的直线与过、两点的直线垂直，则 .
14．在平面直角坐标系中，，点是线段上的动点，设，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．的内角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)求及；
(2)若，求边上的高.
16．在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：

(1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数；
(2)求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
(3)由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．
17．已知，其中向量，
(1)求的最小正周期以及其在的单调增区间；
(2)在中，角的对边分别为，若，求角的值．
18．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．

(1)求证平面；
(2)求平面与平面的夹角余弦值；
(3)求点到平面的距离．
19．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点．
(1)求证：CD⊥平面PAD；
(2)若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
(3)设CG与平面AEF所成角为，求的范围.
参考答案
1．【答案】B
【分析】先由等式，反解出，再利用复数的除法运算法则，求出复数z即可.
【详解】由已知，得，
所以z的虚部为1.
故选：B.
2．【答案】A
【分析】根据平均数、方差的性质计算可得.
【详解】因为一组数据的平均数为4，方差为3，
所以数据的平均数为，方差为.
故选：A
3．【答案】D
【分析】由向量的共线与垂直条件求解的坐标，再由向量坐标运算及求模公式可得.
【详解】，
由，则有，解得，则.
由，则有，解得，，
所以，故，
则.
故选：D.
4．【答案】C
【分析】根据对立事件的概念判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B，根据独立事件的定义及概率公式判断C、D.
【详解】对于A：若，是对立事件，则，故A错误；
对于B：若，是互斥事件，且，，
则，故B错误；
对于C：因为，，则，，
又，所以，是独立事件，故C正确；
对于D：若，是独立事件，则，是独立事件，由，，
所以，故D错误；
故选：C
5．【答案】D
【分析】画出图象，结合斜率公式求得倾斜角的取值范围.
【详解】画出图象如下图所示，
，所以直线的倾斜角为，
，所以直线的倾斜角为，
结合图象可知，直线的倾斜角的取值范围是.
故选：D.

6．【答案】C
【分析】由题意先求出直线的方向向量，然后依次求得，则到直线的距离为，求解即可.
【详解】由题意可知直线的方向向量为：，
又，则，
，
点到直线的距离为：.
故选：C.
7．【答案】D
【分析】依题意分别为基底表示出，求出，，再结合数量积运算律求出，根据向量夹角计算公式可得结果.
【详解】根据题意以为基底表示出可得：
，，
又棱两两的夹角均为，不妨取，则；
所以；
；
又
；
所以，
因此异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D
8．【答案】A
【分析】
设是的外心，则三棱锥体积最大时，平面，球心在上．由此可计算球半径．
【详解】
如图，设是的外心，则三棱锥体积最大时，平面，球心
在上．
∵，∴，即，
∴．
又，∴，．
∵平面，∴，设球半径为，
则由得，解得，
∴球体积为．
故选A．
【点睛】
本题考查球的体积，关键是确定球心位置求出球的半径．
9．【答案】BC
【分析】由百分位数的定义即可判断A；由极差的定义即可判断C，由频率分布直方图中中位数、平均数的求法画出图形即可判断B；由方差计算公式即可判断D.
【详解】对于A，由，所以样本数据的第60百分位数为，故A错误；
对于B，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图，
由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，故B正确；
对于C，剔除某个数据（，2，…，20）后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差，故C正确；
对于D，由，则，
所以则，，…，的方差为，故D错误.
故选：BC.
10．【答案】BC
【分析】对于A，直接代入检验即可；对于B，由余弦函数,复合函数单调性即可判断；对于C，由诱导公式即可判断；对于D，由平移变换法则验算即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，当时，，且在上单调递减，
可知在上单调递减，故B正确；
对于C，若，
则，故C正确；
对于D，把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，
所得函数图象对应的函数表达式为，故D错误.
故选BC.
11．【答案】AC
【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，所以体积不变；B选项，找到异面直线所成角即可判断；C选项，找到P的轨迹，计算即可；D选项，找到P的轨迹，计算即可.
【详解】底面正方形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，
故四棱锥的体积不变，故A正确；
与所成的角即为与AC所成的角，
当P在端点A，C时，所成的角最小，为，
当P在AC的中点时，所成的角最大，为，故B错误；
由于P在正方体表面上，P的轨迹为对角线，
以及在平面内以为圆心、2为半径的圆弧，
（由于，所以在中，，
即直线AP与平面所成的角为45°，
又由于平面平面，所以直线AP与平面ABCD所成的角为45°）
如图①，故P的轨迹长度为，故C正确；
分别取的中点，
由正方体的性质可知六点共面，且为正六边形，
由中位线定理，，平面，所以平面，
同理平面，且，平面，
所以平面平面，
所以FP所在的平面为如图②所示的正六边形，
当P为BC的中点时，FP的长最小，为，故D错误．
故选：AC.
12．【答案】/0.68
【分析】找出基本事件总数和满足条件的基本事件数，根据古典概型公式求解即可.
【详解】由题，甲袋中共有10个球，乙袋中共有10个球，
则从两袋中各取一球，基本事件总数为，
取出的2个球颜色不同，可能为：（甲白，乙红），（甲白，乙黑），（甲红，乙白），（甲红，乙黑），（甲黑，乙白），（甲黑，乙红），
则2个球颜色不同的基本事件数为，
所以，
故答案为：
13．【答案】0或5
【分析】先分别求出两条直线的方向向量，进而用向量的垂直关系即可求解.
【详解】两直线的方向向量分别为、，
故，解得或，
当时，,，、符合题意；
当时，,，、符合题意.
综上可知，或.
故答案为：或.
14．【答案】
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为点为线段上的动点，则，
所以，
所以，
所以，
其中，且为锐角，则，
所以当时，的最大值为.
15．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）正弦边角关系及和角正弦公式得，结合三角形内角的性质求，再应用二倍角公式有，进而确定大小；
（2）应用余弦定理及求得、，正弦定理求，即可求边上的高.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
所以，又，
所以，又，则.
因为，即，又，所以，
因为，所以.
（2）由（1）及余弦定理，得.
将，代入，得，
解得或（舍去），则.
因为，所以，
设边上的高为，则.
16．【答案】(1)4
(2)；平均数为71；中位数为
(3)
【分析】（1）先分别求出的频率，进而由10乘以抽样比可求答案；
（2）根据频率的性质，利用各小长方形的面积和等于1可求；利用各组中值与频率可估计平均数；先确定中位数所在的小长方形，再设中位数为，进而利用面积等于0.5即可求解；
（3）独立事件的乘法公式即可求解.
【详解】（1）从图中可知组距为，则的频率分别为,
从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人时,
成绩不高于50分的人数为（人）.
（2）由图可知，解得.
使用组中值与频率可估计平均数为
.
因为且，
所以中位数在内，
设估计的中位数为，则，得.
（3）记甲、乙、丙获优秀等级分别为事件、、，则
三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率等于
.
17．【答案】(1)和
(2)
【分析】（1）先根据平面向量的数量积坐标公式计算后再结合正弦函数的周期及增区间求解，最后根据已知区间得出单调增区间；
（2）根据已知函数值求出，再应用正弦定理求出，进而求出角.
【详解】（1） ，
最小正周期 ，
其增区间满足 ，
即，
令，有，令k=1，有，
故在上的单调增区间为和；
（2）时，有，
而中，，故，即，
由正弦定理，得或（舍）,
所以.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证；
（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；
（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.
【详解】（1）取中点，连接，，
由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，
则有、，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，
故平面；
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、、、，
则有、、，
设平面与平面的法向量分别为、，
则有，，
分别取，则有、、，，
即、，
则，
故平面与平面的夹角余弦值为；
（3）由，平面的法向量为，
则有，
即点到平面的距离为.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)直线在平面内，理由见解析
(3)
【分析】（1）由⊥平面可得，结合利用线面垂直判定定理可证；
（2）由代入坐标建立方程组，由方程组有解可得直线在平面内；
（3）由点G是线段PB上的一点．设，进而得坐标，求平面的一个法向量，由向量方法表示出，再利用换元法求函数值域可得.
【详解】（1）因为⊥平面，平面，所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面.
（2）在底面中，过作，交于，
由题意可知，又平面，
则以为坐标原点，分别以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系.
则A0,0,0，，，，
、、、.
，，，
若平面，则且，使得，
则有，解得，故.
所以直线平面.
（3）由（2）可知，.
设，
则，
设平面的法向量为，
则，即，
令，有，故.
故
，
令，则
，
而，，
故.