新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县第一中学2024−2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析）

这是一份新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县第一中学2024−2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题）
1．如图，在长方体中，化简（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．若，，若，则（ ）
A．0B．2C．4D．
5．已知空间向量，若，则（ ）
A．5B．C．D．
6．已知向量，则平面的一个法向量（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数等于（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在正方体中，分别为的中点，则（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列关于空间直角坐标系中的一点的说法正确的有（ ）
A．线段的中点的坐标为
B．点关于轴对称的点的坐标为
C．点关于坐标原点对称的点的坐标为
D．点关于平面对称的点的坐标为
10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C．直线的方向向量，平面的法向量是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
11．在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（ ）
A．直线的一个方向向量为B．直线的一个方向向量为
C．平面的一个法向量为1,1,1D．平面的一个法向量为
三、填空题（本大题共3小题）
12．空间两点，间的距离是 .
13．已知四边形为平行四边形，且，，，则顶点的坐标为 .
14．图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知空间三点，设
(1)求；
(2)若向量与互相垂直，求实数k的值.
16．已知三棱锥中，平面ABC，，若，，，建立空间直角坐标系.
(1)求各顶点的坐标；
(2)若点Q是PC的中点，求点Q坐标；
(3)若点M在线段PC上移动，写出点M坐标.
17．如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．

(1)试用，，表示．
(2)求证：平面．
18．如图，在平行六面体中，，.

(1)求体对角线的长度；
(2)求证：四边形为正方形.
19．如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，.
(1)求两点间的距离；
(2)求证：平面；
(3)求证：平面平面.
参考答案
1．【答案】B
【分析】由空间向量的线性运算结合长方体的结构特征进行运算.
【详解】由长方体的结构特征，有，
则.
故选：B
2．【答案】D
【分析】向量数量积的坐标运算，就可以得到结果.
【详解】因为，，
故选：D
3．【答案】D
【分析】利用向量的坐标运算即可.
【详解】由题意可得.
故选：D.
4．【答案】D
【分析】利用空间向量共线的坐标运算求解.
【详解】，，若，则，解得.
故选：D.
5．【答案】C
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示列式求出，再根据空间向量的线性运算和模长公式可求出结果.
【详解】因为，所以，得，，
所以，
所以.
故选：C
6．【答案】A
【分析】根据法向量的定义逐项分析判断.
【详解】对于选项A：若，则，
可得，所以可以是平面的一个法向量，故A正确；
对于选项B：若，则，
可得与不垂直，所以不是平面的一个法向量，故B错误；
对于选项C：若，则，
可得与不垂直，所以不是平面的一个法向量，故C错误；
对于选项D：若，则，
可得与不垂直，所以不是平面的一个法向量，故D错误；
故选：A.
7．【答案】C
【分析】由线面平行的向量表示可得，再利用空间向量垂直的坐标表示即可列式求解.
【详解】因为，所以，所以，即，解得.
故选：C
8．【答案】C
【分析】以点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合法向量对选项逐一判断即可.
【详解】
以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则.，.
设平面的一个法向量为，则取，
因为与不平行，所以与平面不垂直，错误；
因为与不平行，所以与平面不垂直，B错误；
因为，且线在面外，所以平面，C正确；
因为，所以与平面不平行，D错误
9．【答案】AD
【分析】根据空间向量坐标运算依次判断选项即可.
【详解】由题意可知线段的中点的坐标为，所以A中说法正确；
点关于x轴对称的点的坐标为，所以B中说法错误；
点关于坐标原点对称的点的坐标为，所以C中说法错误；
点关于平面对称的点的坐标为，所以D中说法正确.
故选：AD.
10．【答案】AB
【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可.
【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确；
两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确；
直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误；
直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误．
故选：AB
11．【答案】AC
【分析】根据已知可得出点的坐标，进而求出相关向量的坐标，求出平面的法向量，即可得出答案.
【详解】由题意，，，，，.
对于A、B项，可知，
∴向量为直线的一个方向向量，故A正确，B不正确；
对于C项，设平面的法向量为，则.
又，，
所以有.
令，可得，则C正确；
对于D项，设平面的法向量为，则.
又，，
所以有.
令，得，故D不正确.
故选：AC.
12．【答案】
【分析】借助空间中两点间距离公式计算即可得.
【详解】.
故答案为：.
13．【答案】
【分析】根据相等向量的坐标相同即可求解
【详解】设，根据题意，得，
即，解得.
故答案为：
14．【答案】PM⊥AM
【分析】以点为原点建立空间直角坐标系如图所示，可得、、、、各点的坐标，从而得出、的坐标，计算出即可得到；
【详解】解：以点为原点，、、为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
可得，．
，，
由此可得，
即，可得．
故答案为：
15．【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先求出的坐标，再利用向量数量积的坐标公式计算即得；
（2）先求出和，再利用向量垂直的充要条件列出方程，代入化简计算即得k值.
【详解】（1）由题意，，则；
（2）由（1）可得
因向量与互相垂直，则得：，
解得，或.
16．【答案】(1)建系见解析，，，，；(2)；(3).
【详解】
（1）根据给定三棱锥的特征建立空间直角坐标系，写出顶点坐标作答.
（2）利用（1）的结论结合中点坐标公式计算作答.
（3）设出点M的纵坐标，直接写出其坐标作答.
(1)
在三棱锥中，平面ABC，，则射线两两垂直，
以点A为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
所以，，，.
(2)
由（1）知，点Q是PC中点，则.
(3)
由（1）知，点M在线段PC上移动，则点M的横坐标为0，设其纵坐标为t，
其竖坐标z，当M与A不重合时，，当M与A重合时，z=3满足上式，因此，
所以点.
17．【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据点M，N的位置用基底表示向量；
（2）证明向量与平面中的向量共线，即可证明平面．
【详解】（1）

因为，所以，
同理，，
所以；
（2）证明：因为，所以，即，
因为平面，平面，所以平面．
18．【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求出.
（2）利用平行六面体的结构特征，结合已知及正方形的判定推理即得.
【详解】（1）在平行六面体中，，
由，，
得，
所以.
（2）在平行六面体中，，则四边形为平行四边形，
由，，得是等边三角形，即，则为菱形；
又，则，即，
所以四边形为正方形.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合空间向量求解，进而求解；
（2）利用空间向量可得，进而得到，进而根据线面平行的判定定理即可证明；
（3）利用空间向量可得，进而得到平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明.
【详解】（1）由题可知，底面，，
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
即两点间的距离为.
（2）由（1）知，，
所以，即，即，
又平面平面，
所以平面.
（3）由（2）知，，，，
所以，，
则，即，
又，且平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.