湖南省衡阳市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

这是一份湖南省衡阳市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题，共7页。
A．1B．2C．3D．4
2．（5分）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．（5分）若，，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．随值变化而变化
4．（5分）满足条件的集合个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．（5分）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）下面命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．一个四边形的对角线互相垂直是该四边形为菱形的充要条件
B．，使方程有唯一根，则
C．使，则
D．的最大值为25
8．（5分）对于任意，恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
二.多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．是的必要不充分条件
C．的最小值为
D．，且，则的最小值为4
10．（6分）设，，若，则实数的值可以为（ ）
A．0B．C．1D．2
11．（6分）《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，是半圆的直径，点是上一点（不同于，，），点在半圆上，且，于点.设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（ ）
A．B．C．D．
三.填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）已知，，则的取值范围是__________.
13．（5分）周末不忙，来趟衡阳，某校高一一班的58名同学国庆假期自愿报名参加游园活动，据统计其中38人参观酃湖公园，48人参观了石鼓书院，48人参观了船山书院，32人既参观了酃湖公园又参观了石鼓书院，40人既参观了石鼓书院又参观了船山书院，30人既参观了酃湖公园又参观了船山书院，24人三个地方都参观过，则三个地方都没参观的同学有__________人.
14．（5分）记实数中的最大数为，最小为，若，，均为正数，则__________.
四.解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）已知不等式的解集为，不等式的解集为.
（1）求.
（2）若不等式的解集为，求，的值.
16．（15分）已知集合，，且.
（1）若命题，是真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题，是假命题，求实数的取值范围.
17．（15分）（1）已知，，比较与的大小.
（2）已知，，，均为正实数，且，求证：.
18．（17分）某华为平板电脑体验店预计2024年10月到2025年9月全年可以销售450台平板，已知该平板电脑的进价为3000元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入台，则每批需付运费200元，储存购入的平板电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入50台，则全年需付运费和保管费6800元.
（1）求全年所付运费和保管费之和关于的函数；
（2）若全年只有5600元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当的安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量：如果不够用，最少还需补多少？
19．（17分）对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
（Ⅰ）判断集合是否是“和谐集”，并说明理由；
（Ⅱ）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
（Ⅲ）若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值！
一中2024年高一上第一次月考数学
参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1-4：BDAC5-8：ACCD
8．【解答】对于任意，恒成立，则
而，当且仅当时取等号，所以
故选：D.
二.多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9．ACD10．ABC11．BC
11．【解答】解：
，可得半径
在中，由射影定理可知：，
，
，
（），故B正确，
同理，在中，由射影定理可知：，即，
，即，
，C正确，
对于A、D选项，图中的线段无法判断
故选：BC.
三.填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．13．214．9
14．【解答】设，则，
依题意整理得
所以，得
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为9.
四.解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）【解答】
解：（1）解得，即，
解得，即
（2）由的解集为，
，3是方程的两个根，
，，
，
16．（15分）【解答】
解：（1）由为真命题可得，且
则，解得.
即实数的范围为；
（2），是假命题
，是真命题，即
解得，
即的范围为.
17．（15分）【解答】
（1）解：由
当时，
当时，，即
当且时，，即
（2）
当且仅当即时等号成立
18．（17分）【解答】
解：（1）设保管费与电脑总价值的比例系数为，
则
当时，，解得，
所以；
（2）由（1），，
当且仅当，即时，等号成立，
所以每批应购入平板电脑30台，全年运费和保管费最少，为6000元，此时还需补400元.
19．（17分）【解答】
解：（Ⅰ）对于正整数集合，
如果去掉其中任意一个元素之后，
剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，
且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”，
对于，去掉2后，不满足题中条件，故不是“和谐集”，
（Ⅱ）证明：设中所有元素之和为，
由题可知，均为偶数，
因此的奇偶性相同，
①若为奇数，则为奇数，易得为奇数，
②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合也是“和谐集”，
若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“和谐集”，由①知为奇数.
综上，集合中元素个数为奇数；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知集合中元素个数为奇数，
当时，显然任意集合不是“和谐集”.
当时，不妨设，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有①，或者②；将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有③，或者④，
由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾；
由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾.
因此当时，集合一定不是“和谐集”.
当时，设，
因为，，，，，，，
所以集合是“和谐集”.
集合中元素个数的最小值是7.