四川省巴中市恩阳区2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)

这是一份四川省巴中市恩阳区2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列计算正确的是（ ）
A． =2B． = C． =x D． =x
2．下列二次根式中的取值范围是x≥3的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知：a=，b=，则a与b的关系为（ ）
A．a=b B．ab=1 C．ab=﹣1 D．a=﹣b
4．a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
5．方程（m+2）x|m|+4x+3m+1=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±2
6．我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2015年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1.4（1+x）=4.5 B．1.4（1+2x）=4.5
C．1.4（1+x）2=4.5 D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5
7．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
8．下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ）
A．1、2、2、3 B．1、2、3、4 C．1、2、2、4D．3、5、9、13
9．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABC C． = D． =
10．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等．网格中三个多边形（分别标记为①，②，③）的顶点均在格点上．被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为m，水平部分线段长度之和记为n，则这三个多边形中满足m=n的是（ ）
A．只有② B．只有③ C．②③ D．①②③

二、填空题（每小题3分，共30分）
11．已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b= ．
12．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2= ．
13．如果x2﹣4x+y2+6y++13=0，（xy）z= ．
14．x1、x2为方程x2﹣3x﹣2=0的两根，则以x1+1、x2+1为两根的一元二次方程为 ．
15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有 对．
16．已知α，β是方程x2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为 ．
17．若，则= ．
18．如图，在△ABC中，点G为△ABC的重心，连接CG并延长交AB于点D，已知GD=2，则CD= ．
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t= 时，△CPQ与△CBA相似．
20．如图，正三角形A1B1C1的面积为1，取△A1B1C1各边的中点A2、B2、C2，作第二个正三角形A2B2C2，再取△A2B2C2各边的中点A3、B3、C3，作第三个正三角形A3B3C3，…，则第4个正三角形A4B4C4的面积是 ；第n个正三角形AnBnCn的面积是 ．
三、解答题（共90分）
21．计算：
（1）+﹣﹣9 （2）|﹣2|+（π﹣3）0﹣÷+4×2﹣1
（3）（+1）（﹣1）+（﹣2）2．
22．解方程：
（1）x2﹣2x=0 （2）5x（x+1）﹣3（x﹣1）=0
（3）x2﹣10x+9=0 （4）3（x﹣1）2﹣27=0．
23．有一道练习题是：对于式子先化简，后求值．其中．
小明的解法如下：
==2a﹣（a﹣2）=a+2=．
小明的解法对吗？如果不对，请改正．
24．已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数．求m的值．
25．李先生乘出租车去某公司办事，下车时，打出的电子收费单为“里程11千米，应收29.10元”．该城市的出租车收费标准如下表所示，请求出起步价N（N＜12）．
26．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：
x2+x=﹣，…第一步
x2+x+（）2=﹣+（）2…第二步
（x+）2=…第三步
x+=（b2﹣4ac＞0）…第四步
x=…第五步
（1）嘉淇的解法从第 步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是 ．
（2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．
27．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．
（1）求证：AC•CD=CP•BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
28．一天晚上，身高1.6米的小明站在路灯下，发现自己的影子恰好是4块地砖的长（每块地砖为边长0.5米的正方形）．当他沿着影子的方向走了4块地砖时，发现自己的影子恰好是5块地砖的长，根据这个发现，他就算出了路灯的高度，你知道他是怎么算的吗？
29．某商店原来将进货价为8元的商品按10元售出，每天可销售200件．现在采用提高售价，减少进货量的方法来增加利润，已知每件商品涨价1元，每天的销售量就减少20件．设这种商品每个涨价x元．
（1）填空：原来每件商品的利润是 元，涨价后每件商品的实际利润是 元 （可用含x的代数式表示）；
（2）为了使每天获得700元的利润，售价应定为多少元？
（3）售价定为多少元时，每天利润最大，最大利润是多少元？

2016-2017学年四川省巴中市恩阳区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列计算正确的是（ ）
A． =2B． =C． =xD． =x
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】根据二次根式的乘除法，二次根式的性质，可得答案．
【解答】解：A、=2，故A正确；
B、=，故B错误；
C、=﹣x，故C错误；
D、=|x|，故D错误；
故选：A．

2．下列二次根式中的取值范围是x≥3的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数分别计算出x的取值范围，进而得到答案．
【解答】解：A、3﹣x≥0，解得x≤3，故此选项错误；
B、6+2x≥0，解得x≤﹣3，故此选项错误；
C、2x﹣6≥0，解得x≥3，故此选项正确；
D、x﹣3＞0，解得x＞3，故此选项错误；
故选：C．

3．已知：a=，b=，则a与b的关系为（ ）
A．a=bB．ab=1C．ab=﹣1D．a=﹣b
【考点】分母有理化．
【分析】将b化简得﹣（），可知a、b的关系．
【解答】解：b==﹣（），而a=，
所以a与b的关系为a=﹣b．
故选：D．

4．a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根D．有一根为0
【考点】根的判别式．
【分析】利用完全平方的展开式将（a﹣c）2展开，即可得出ac＜0，再结合方程ax2+bx+c=0根的判别式△=b2﹣4ac，即可得出△＞0，由此即可得出结论．
【解答】解：∵（a﹣c）2=a2+c2﹣2ac＞a2+c2，
∴ac＜0．
在方程ax2+bx+c=0中，
△=b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．
故选B．

5．方程（m+2）x|m|+4x+3m+1=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m=±2B．m=2C．m=﹣2D．m≠±2
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：由题意得：|m|=2且m+2≠0，
由解得得m=±2且m≠﹣2，
∴m=2．
故选B．

6．我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2015年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1.4（1+x）=4.5B．1.4（1+2x）=4.5
C．1.4（1+x）2=4.5D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据题意可得等量关系：2013年的快递业务量×（1+增长率）2=2015年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设2014年与2015年这两年的平均增长率为x，由题意得：
1.4（1+x）2=4.5，
故选：C．

7．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=n代入方程得出n2+mn+2n=0，方程两边都除以n得出m+n+2=0，求出即可．
【解答】解：∵n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，
代入得：n2+mn+2n=0，
∵n≠0，
∴方程两边都除以n得：n+m+2=0，
∴m+n=﹣2．
故选D．

8．下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ）
A．1、2、2、3B．1、2、3、4C．1、2、2、4D．3、5、9、13
【考点】比例线段．
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、1×3≠2×2，故选项错误；
B、1×4≠2×3，故选项错误；
C、1×4=2×2，故选项正确；
D、3×13≠5×9，故选项错误．
故选C．

9．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABCC． =D． =
【考点】相似三角形的判定．
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．

10．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等．网格中三个多边形（分别标记为①，②，③）的顶点均在格点上．被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为m，水平部分线段长度之和记为n，则这三个多边形中满足m=n的是（ ）
A．只有②B．只有③C．②③D．①②③
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
【分析】利用相似三角形的判定和性质分别求出各多边形竖直部分线段长度之和与水平部分线段长度之和，再比较即可．
【解答】解：假设每个小正方形的边长为1，
①：m=1+2+1=4，n=2+4=6，
则m≠n；
②在△ACN中，BM∥CN，
∴=，
∴BM=，
在△AGF中，DM∥NE∥FG，
∴=， =，
得DM=，NE=，
∴m=2+=2.5，n=+1++=2.5，
∴m=n；
③由②得：BE=，CF=，
∴m=2+2++1+=6，n=4+2=6，
∴m=n，
则这三个多边形中满足m=n的是②和③；
故选C．

二、填空题（每小题3分，共30分）
11．已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b= 11 ．
【考点】估算无理数的大小．
【分析】根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a，b的值，即可得出答案．
【解答】解：∵，a、b为两个连续的整数，
∴＜＜，
∴a=5，b=6，
∴a+b=11．
故答案为：11．

12．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2= 16 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】利用根与系数的关系可得出α+β和αβ，且α2+β2=（α+β）2﹣2αβ，代入计算即可．
【解答】解：
∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，
∴α+β=﹣2，αβ=﹣6，
∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣2）2﹣2×（﹣6）=4+12=16，
故答案为：16．

13．如果x2﹣4x+y2+6y++13=0，（xy）z= ．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
【分析】已知等式变形后，利用非负数的性质求出x与y的值，即可确定出所求式子的值．
【解答】解：∵x2﹣4x+y2+6y++13=0，
∴（x﹣2）2+（y+3）2+=0，
∴x﹣2=0，y+3=0，z+2=0，
∴x=2，y=﹣3，z=﹣2，
∴（xy）z=[2×（﹣3）]﹣2=．
故答案为．

14．x1、x2为方程x2﹣3x﹣2=0的两根，则以x1+1、x2+1为两根的一元二次方程为 x2﹣5x+2=0 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据题意可得x1+x2=3，x1x2=﹣2，然后求得（x1+1）（x2+1）和x1+1+x2+1的值即可求得答案．
【解答】解：x1、x2为方程x2﹣3x﹣2=0的两根，
∴x1+x2=3，x1x2=﹣2，
∴x1+1+x2+1=3+2=5，
（x1+1）（x2+1）=x1+x2+x1x2+1=3﹣2+1=2，
∴则以x1+1、x2+1为两根的一元二次方程为：x2﹣5x+2=0，
故答案为：x2﹣5x+2=0．

15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有 4 对．
【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AD∥BC，然后由平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABG∽△FHG，△ABE∽△DHE∽△CHB，
∴图中的相似三角形共有4对．
故答案为：4．

16．已知α，β是方程x2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为 4 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】α，β是方程x2+2006x+1=0的两个根，由方程根的意义及根与系数关系，可得出四个等式：α2+2006α+1=0，β2+2006β+1=0，α+β=﹣2006，α•β=1，再根据（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）=4α•β代值即可．
【解答】解：∵α，β是方程x2+2006x+1=0的两个根，
∴α2+2006α+1=0，β2+2006β+1=0．且α•β=1．
由此可得：1+2008α+α2=2α，1+2008β+β2=2β．
∴（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）=4α•β=4．
故答案为4．

17．若，则= 0.5 ．
【考点】比例的性质．
【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可．
【解答】解：由，得a=0.5b，c=0.5d，e=0.5f，
所以==0.5，
故答案为：0.5．

18．如图，在△ABC中，点G为△ABC的重心，连接CG并延长交AB于点D，已知GD=2，则CD= 6 ．
【考点】三角形的重心．
【分析】根据三角形的重心的概念和性质得到CG=2GD=4，计算即可．
【解答】解：∵点G为△ABC的重心，
∴CG=2GD=4，
∴CD=CG+DG=6，
故答案为：6．

19．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t= 4.8或 时，△CPQ与△CBA相似．
【考点】相似三角形的判定；勾股定理．
【分析】分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以， =，
即=，
解得t=4.8；
CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以， =，
即=，
解得t=．
综上所述，当t=4.8或时，△CPQ与△CBA相似．
故答案为4.8或．

20．如图，正三角形A1B1C1的面积为1，取△A1B1C1各边的中点A2、B2、C2，作第二个正三角形A2B2C2，再取△A2B2C2各边的中点A3、B3、C3，作第三个正三角形A3B3C3，…，则第4个正三角形A4B4C4的面积是 ；第n个正三角形AnBnCn的面积是 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】先根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出正三角形A4B4C4的面积，根据规律推出第n个正三角形AnBnCn的面积．
【解答】解：因为正三角形△A1B1C1的面积为1，而△A2B2C2与△A1B1C1相似，并且相似比是1：2，
所以面积的比是1：4，则正△A2B2C2的面积是1×；
因而正△A3B3C3与正△A2B2C2的面积的比也是1：4，面积是（）2；
第4个正三角形A4B4C4的面积是=；
依此类推△AnBnCn与△An﹣1Bn﹣1Cn﹣1的面积的比是1：4，第n个三角形的面积是（）n﹣1=．
故答案为：，．

三、解答题（共90分）
21．计算：
（1）+﹣﹣9
（2）|﹣2|+（π﹣3）0﹣÷+4×2﹣1
（3）（+1）（﹣1）+（﹣2）2．
【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】结合零指数幂、负整数指数幂以及二次根式的混合运算的运算法则进行求解即可．
【解答】解：（1）原式=2+3﹣2﹣3
=．
（2）原式=2+1﹣2÷+4×
=2+1﹣2+2
=3．
（3）原式=2﹣1+（7﹣4）
=．

22．解方程：
（1）x2﹣2x=0
（2）5x（x+1）﹣3（x﹣1）=0
（3）x2﹣10x+9=0
（4）3（x﹣1）2﹣27=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】（1）提取公因式x后分解因式即可得；
（2）整理成一般式后，利用十字相乘法求解可得；
（3）十字相乘法分解因式后可得；
（4）利用直接开平方法求解可得．
【解答】解：（1）x（x﹣2）=0，
∴x=0或x﹣2=0，
解得：x=0或x=2；
（2）整理成一般式得：5x2+2x+3=0，
因式分解可得：（x﹣1）（5x﹣3）=0，
∴x﹣1=0或5x﹣3=0，
解得：x=1或x=；
（3）左边因式分解可得：（x﹣1）（x﹣9）=0，
∴x﹣1=0或x﹣9=0，
解得：x=1或x=9；
（4）3（x﹣1）2=27，
（x﹣1）2=9，
x﹣1=3或x﹣1=﹣3，
解得：x=4或x=﹣2．

23．有一道练习题是：对于式子先化简，后求值．其中．
小明的解法如下：
==2a﹣（a﹣2）=a+2=．
小明的解法对吗？如果不对，请改正．
【考点】二次根式的化简求值．
【分析】根据二次根式的性质得到原式==2a﹣|a﹣2|，由于a=，即a﹣2＜0，则原式=2a+a﹣2=3a﹣2，然后把a的值代入计算．
【解答】解：小明的解法不对．改正如下：
==2a﹣|a﹣2|，
∵a=，
∴a﹣2＜0，
∴原式=2a+a﹣2=3a﹣2，
把a=代入得原式=3﹣2．

24．已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数．求m的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数m的取值范围；
（2）利用根与系数的关系，不等式7+4x1x2＞x12+x22，即（x1+x2）2﹣6x1x2﹣7＜0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=．代入整理后的不等式，即可求得m的值．
【解答】解：（1）∵a=2，b=﹣2，c=m+1．
∴△=（﹣2）2﹣4×2×（m+1）=﹣4﹣8m．
当﹣4﹣8m≥0，即m≤﹣时．方程有两个实数根．
（2）整理不等式7+4x1x2＞x12+x22，得
（x1+x2）2﹣6x1x2﹣7＜0．
由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=．
代入整理后的不等式得1﹣3（m+1）﹣7＜0，解得m＞﹣3．
又∵m≤﹣，且m为整数．
∴m的值为﹣2，﹣1．

25．李先生乘出租车去某公司办事，下车时，打出的电子收费单为“里程11千米，应收29.10元”．该城市的出租车收费标准如下表所示，请求出起步价N（N＜12）．
【考点】分式方程的应用．
【分析】表格中的含义是：当行车里程不超过3公里时，价格是N元，当行车里程超过了3公里而不超过6公里时，除付10元外，超过的部分每公里再付元；若行车里程超过6公里，除了需付以上两项费用外，超过6公里的部分，每公里再付元．根据题意列出方程即可求解．
【解答】解：依题意，得N+（6﹣3）×+（11﹣6）×=29.10，
整理，得N2﹣29.1N+191=0，
解得N1=19.1，N2=10．
由于N＜12，所以N=10．
答：起步价是10元．

26．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：
x2+x=﹣，…第一步
x2+x+（）2=﹣+（）2…第二步
（x+）2=…第三步
x+=（b2﹣4ac＞0）…第四步
x=…第五步
（1）嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是 x= ．
（2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．
【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）观察嘉淇的解法找出出错的步骤，写出求根公式即可；
（2）利用配方法求出方程的解即可．
【解答】解：（1）嘉淇的解法从第四步开始出现错误；当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是x=；
故答案为：四；x=；
（2）x2﹣2x=24，
配方得：x2﹣2x+1=24+1，即（x﹣1）2=25，
开方得：x﹣1=±5，
解得：x1=6，x2=﹣4．

27．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．
（1）求证：AC•CD=CP•BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；
（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．
【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴=，
∴AB•CD=CP•BP．
∵AB=AC，
∴AC•CD=CP•BP；
（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．
∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．
∵∠B=∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴=．
∵AB=10，BC=12，
∴=，
∴BP=．

28．一天晚上，身高1.6米的小明站在路灯下，发现自己的影子恰好是4块地砖的长（每块地砖为边长0.5米的正方形）．当他沿着影子的方向走了4块地砖时，发现自己的影子恰好是5块地砖的长，根据这个发现，他就算出了路灯的高度，你知道他是怎么算的吗？
【考点】相似三角形的应用；中心投影．
【分析】如图，AC=4×0.5m=2m，CE=5×0.5m=2.5m，AB=CD=1.6m，先证明△CAB∽△COP，利用相似比得到=①，再证明△ECD∽△EOP得到=②，然后解关于OP和AO的方程组求出OP即可．
【解答】解：如图，AC=4×0.5m=2m，CE=5×0.5m=2.5m，AB=CD=1.6m，
∵AB∥OP，
∴△CAB∽△COP，
∴=，即=①，
∵CD∥OP，
∴△ECD∽△EOP，
∴=，即=②，
由①②得=，解得AO=8，
∴=，解得OP=8．
答：路灯的高度为8m．

29．某商店原来将进货价为8元的商品按10元售出，每天可销售200件．现在采用提高售价，减少进货量的方法来增加利润，已知每件商品涨价1元，每天的销售量就减少20件．设这种商品每个涨价x元．
（1）填空：原来每件商品的利润是 2 元，涨价后每件商品的实际利润是 （2+x） 元 （可用含x的代数式表示）；
（2）为了使每天获得700元的利润，售价应定为多少元？
（3）售价定为多少元时，每天利润最大，最大利润是多少元？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据利润=售价﹣进价表示出商品的利润即可；
（2）设应将售价提为x元时，才能使得所赚的利润最大为y元，根据题意可得：y=（10+x﹣8），令y=700，解出x的值即可；
（3）根据总利润w=单件利润×销售量列出函数表达式，运用二次函数性质解答即可．
【解答】解：
（1）原来每件商品的利润是2元；涨价后每件商品的实际利润是2+x元；
故答案为：2，（2+x）；
（2）根据题意，得 （2+x）=700．
整理，得x2﹣8x+15=0，
解这个方程得x1=3 x2=5，
所以10+3=13，10+5=15．
答：售价应定为13元或15元；
（3）设利润为w，由题意得，每天利润为w=（2+x）．
w=（2+x）=﹣20x2+160x+400，
=﹣20（x﹣4）2+720．
所以当涨价4元（即售价为14元）时，每天利润最大，最大利润为720元．

2017年2月25日里程（千米）
0＜x≤3
3＜x≤6
x＞6
价格
N元
元/千米
元/千米
里程（千米）
0＜x≤3
3＜x≤6
x＞6
价格
N元
元/千米
元/千米