四川省雅安中学2024-2025学年高二上学期入学检测 数学试卷(含解析)
展开1.抛掷一枚质地均匀的骰子一次,事件1表示“骰子向上的点数为奇数”,事件2表示“骰子向上的点数为偶数”,事件3表示“骰子向上的点数大于3”,事件4表示“骰子向上的点数小于3”则( )
A.事件1与事件3互斥B.事件1与事件2互为对立事件
C.事件2与事件3互斥D.事件3与事件4互为对立事件
2.已知某运动员每次投篮命中的概率都为,现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数,指定表示命中,表示不命中;再以三个随机数为一组,代表三次投篮结果,经随机模拟产生了如下12组随机数: ,据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A.B.C.D.
3.从装有若干个红球和白球(除颜色外其余均相同)的黑色布袋中,随机不放回地摸球两次,每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为,“两个球都是白球”的概率为,则“两个球颜色不同”的概率为( )
A.B.C.D.
4.在空间直角坐标系中,点关于原点对称的点的坐标为( )
A.B.C.D.
5.甲、乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为0.7,被甲或乙解出的概率为0.94,则该题被乙独立解出的概率为( )
A.0.9B.0.8C.0.7D.0.6
6.已知空间向量,,若与垂直,则a等于( )
A.B.C.D.
7.某同学进行投篮训练,在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别p,,,该同学站在这三个不同的位置各投篮一次,恰好投中两次的概率为,则p的值为( )
A.B.C.D.
8.甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛,约定赛制如下:(1)累计负两场者被淘汰;(2)比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;(3)每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;(4)当一人被淘汰后,剩余两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签甲、乙首先比赛,丙首轮轮空,设每场比赛双方获胜概率都为,则丙最终获胜的概率为( )
A.B.C.D.
二、多选题
9.不透明的袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中3个红球、2个黄球.记为事件“从中任取1个球是红球”,为事件“在有放回随机抽样中,第二次取出1个球是红球”,则( )
A.B.
C.事件与是互斥事件D.事件与是相互独立事件
10.已知事件A,B,且,则( )
A.如果,那么 B.如果,那么
C.如果A与B相互独立,那么 D.如果A与B相互独立,那么
11.一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字,其中的各位数字中,,则( )
A.的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点
B.若的各位数字都是等可能地取值为0或1,则的概率大于的概率
C.若的各位数字都是等可能地取值为0或1,则中各位数字之和是4的概率为
D.若出现0的概率为,出现1的概率为,则启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为
三、填空题
12.已知四点共面且任意三点不共线,平面外一点,满足,则 .
13.随着阿根廷队的夺冠,2022年卡塔尔足球世界杯落下帷幕.根据足球比赛规则,两支球队先进行90分钟常规赛.若比分相同,则进行30分钟加时赛;如果在加时赛比分依旧相同,则进入5球点球大赛.若甲、乙两队在常规赛与加时赛中得分均相同,则甲、乙两队轮流进行5轮点球射门,进球得1分,不进球不得分.假设甲队每次进球的概率均为0.8,乙队每次进球的概率均为0.5,且在前两轮点球中,乙队领先一球,已知每轮点球大赛结果相互独立,则最终甲队获胜的概率为 .
14.冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等,其描述为:任一正整数,如果是奇数就乘以3再加1,如果是偶数就除以2,反复计算,最终都将会得到数字1.例如:给出正整数5,则进行这种反复运算的过程为,即按照这种运算规律进行5次运算后得到1.若从正整数6,7,8,9,10中任取2个数按照上述运算规律进行运算,则运算次数均为奇数的概率为 .
四、解答题
15.经调查某市三个地区存在严重的环境污染,严重影响本地区人员的生活.相关部门立即要求务必加强环境治理,通过三个地区所有人员的努力,在一年后,环境污染问题得到了明显改善.为了解市民对城市环保的满意程度,开展了一次问卷调查,并对三个地区进行分层抽样,共抽取40名市民进行询问打分,将最终得分按分段,并得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值,以及此次问卷调查分数的中位数;
(2)若分数在区间的市民视为对环保不满意的市民,从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查,求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率.
16.甲乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4)完游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.
(1)设分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲乙二人抽到的牌的所有情况;
(2)若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少?
(3)甲乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,反之,则乙胜,你认为此游戏是否公平,说明你的理由.
17.杭州2022年第19届亚运会(The 19th Asian Games Hangzhu 2022)将于2023年9月23日至10月8日举办.本届亚运会共设40个竞赛大项,包括31个奥运项目和9个非奥运项目.同时,在保持40个大项目不变的前提下,增设了电子竞技项目.与传统的淘汰赛不同,近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.
传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利,而在双败赛制下,每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局,因此更有容错率.假设最终进入到半决赛有四支队伍,淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛,胜者进入到总决赛,总决赛的胜者即为最终的冠军.双败赛制下,两两分组,胜者进入到胜者组,败者进入到败者组,胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛,败者进入到败者组.之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰,胜者将跟胜者组的败者对决,其中的胜者进入总决赛,最后总决赛的胜者即为冠军.双败赛制下会发现一个有意思的事情,在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军,但是其它的队伍却有一次失败的机会,近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数,因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平,是否真的如此呢?
这里我们简单研究一下两个赛制.假设四支队伍分别为,其中对阵其他三个队伍获胜概率均为,另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为.最初分组时同组,同组.
(1)若,在淘汰赛赛制下,获得冠军的概率分别为多少?
(2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率(用表示),并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响,是否如很多人质疑的“对强者不公平”?
18. 如图示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1) 求证: PA//平面EDB;
(2) 求证: PB⊥平面EFD;
(3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
19.在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为,收到0的概率为;发送1时,收到0的概率为,收到1的概率为.现有两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码(例如,若收到1,则译码为1,若收到0,则译码为0);三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到,则译码为1,若依次收到,则译码为1).
(1)已知.
①若采用单次传输方案,重复发送信号0两次,求至少收到一次0的概率;
②若采用单次传输方案,依次发送,证明:事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立.
(2)若发送1,采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率,求的取值范围.
参考答案:
1.B【详解】由题可知,事件1可表示为:,事件2可表示为:,
事件3可表示为:,事件4可表示为:,因为,所以事件1与事件3不互斥,A错误;因为为不可能事件,为必然事件,
所以事件1与事件2互为对立事件,B正确;因为,所以事件2与事件3不互斥,C错误;因为为不可能事件,不为必然事件,所以事件3与事件4不互为对立事件,D错误;选:B.
2.A【详解】依题意在组随机数中三次投篮恰有两次命中的有:,,共个,
所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率.故选:A
3.C【详解】设“两个球都是红球”为事件A,“两个球都是白球”为事件B,“两个球颜色不同”为事件C,
则,,且.因为A,B,C两两互斥,所以.故选:C.
4.所以点关于原点对称的点的坐标为.故选:D
5.B【详解】设乙独立解出该题的概率为,由题意可得,∴.故选:B.
6.B
【详解】因为,,所以,
因为与垂直,所以,所以,
解得,所以,所以.
故选:B
7.A【详解】在甲、乙、丙处投中分别记为事件A,B,C,则,可知恰好投中两次为事件,故恰好投中两次的概率,解得.故选:A.
8.B【详解】根据赛制,最小比赛4场,最多比赛5场,比赛结束,注意丙轮空时,甲乙比赛结果对下面丙获胜概率没有影响(或者用表示),若比赛4场,丙最终获胜,则丙3场全胜,概率为,
若比赛5场,丙最终获胜,则从第二场开始的4场比赛按照丙的胜负轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为,所以丙获胜的概率为.故选:B.
9.AD【详解】根据题意可知:两次取球相当于两次独立重复实验,所以事件与是相互独立事件,且,故选:.
10.ABD【详解】A:由,则,正确;B:由,则,正确;C:如果A与B相互独立,则,,错误;D:由C分析及事件关系知:,正确.故选:ABD.
11.ACD【详解】对于A,由于的各位数字中,都可能为0或1,则的所有实验结果构成的样本空间中有个样本点,正确;对于B,若的各位数字都是等可能地取值0或1,则,所以的概率等于的概率,错误;
对于C,若的各位数字都是等可能地取值为0或1,如果中各位数字之和是4,即5个数字中有4和“1”和1个“0”,可能情况有:,共有5种等可能情况,其概率,正确;
对于D,由于,数字中恰有2个0,即在四个数中恰好有2个0,2个1,
可能情况有:,共有6种情况,
启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为,正确;故选:ACD.
12.
【详解】四点共面且任意三点不共线,,
, 故答案为:
13.0.304【详解】甲队在每轮点球比赛获胜的概率为,甲队在每轮点球比赛平局的概率为.由题可知最终甲队获胜,则后三轮比赛只能有两种情况:
①甲获胜两轮,剩下一轮甲乙平局,最终甲队获胜的概率为;
②甲获胜三轮,该情况下最终甲队获胜的概率为,综上,甲队获胜的概率为0.24+0.064=0.304.
故答案为:0.304
14.【详解】按照题中运算规律,正整数6的运算过程为,运算次数为;正整数7的部分运算过程为,
当运算到10时,运算次数为10,由正整数的运算过程可知,正整数7总的运算次数为;
正整数8的运算次数为;正整数9的部分运算过程为,当运算到7时,运算次数为3,
由正整数7的运算过程可知,正整数9总的运算次数为;
正整数10的运算次数为6;故正整数6,7,8,9,10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数,
从正整数6,7,8,9,10中任取2个数的方法总数为:,共种,其中的运算次数均为奇数的方法总数为:,共种,故运算次数均为奇数的概率为.故答案为:
15.【详解】(1)由题意可得,解得,
由,可得此次问卷调查分数的中位数在上,设为,则,解得,所以此次问卷调查分数的中位数为(分);
(2)的市民有人,记为a,b,的市民有人,记为1,2,3,4,则从中抽取两人的基本事件有:共15种,其中两人来自不同的组的基本事件有8种,则所求概率为.
16.【详解】(1)解:甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用字母表示,红桃2,红桃3,红桃4分别用2,3,4表示),可得基本事件的空间为:(2,3)、(2,4)、(2,)、(3,2)、(3,4)、(3,)、
(4,2)、(4,3)、(4,)、(,2)、(,3)、(,4),共12种不同情况,
(2)解:由题意,甲抽到3,乙抽到的牌只能是2,4,,所以乙抽到的牌的数字大于3的概率为.
(3)解:根据题意,甲抽到的牌比乙大的有(3,2)、(4,2)、(4,3)、(,2)、(,3),
共有5种情况,所以甲胜的概率,乙获胜的概率为,因为,所以此游戏不公平.
17.【详解】(1)记拿到冠军分别为事件淘汰赛赛制下,只需要连赢两场即可拿到冠军,因此,对于想拿到冠军,首先得战胜,然后战胜中的胜者,
因此.
(2)记两种寒制下获得冠军的概率分别为,则.
而双败赛制下,获得冠军有三种可能性:
(1)直接连赢三局;(2)从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛;(3)直接掉入败者组拿到冠军.
因此,,.
则不论哪种赛制下,获得冠军的概率均小于,.
若,双败赛制下,队伍获得冠军的概率更大,其他队伍获得冠军的概率会变小,
若,双败赛制下,以伍获得冠军的概率更小,其他队伍获得冠军的概率会变大,
综上可知:双败赛制下,会使得强者拿到冠军概率变大,弱者拿到冠军的概率变低,更加有利于筛选出“强者”,人们“对强者不公平”的质疑是不对的.
19.【详解】(1)①记事件为“至少收到一次0”,则.
②证明:记事件为“第三次收到的信号为1”,则.记事件为“三次收到的数字之和为2”,
则.因为,
所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立.
(2)记事件为“采用三次传输方案时译码为0”,则.
记事件为“采用单次传输方案时译码为0”,则.
根据题意可得,即,
因为,所以,
解得,故的取值范围为
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