福建省福州第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考（10月）数学试题

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1．C
【分析】集合运算可得，即可求出结果
【详解】，
所以
故选：C
2．C
【分析】求出封城前的平衡需求量，可计算出解封后的需求量，利用需求量计算价格差距即为补贴金额.
【详解】封城前平衡需求量时的市场价格x为，平衡需求量为30，平衡价格为20，解封后若要使平衡需求量增加6万件，则，，则补贴金额为.
故选：C.
3．D
【详解】分析：表示不超过的最大整数，表示向下取整，带特殊值逐一排除．
详解：设，，，，，排除A、B，
设，，，排除C．故选D
点睛：比较大小，采用特殊值法是常见方法之一．
4．B
【解析】当时，无解，此时，无零点；
当时，根据为增函数，且可得函数的零点为的零点，根据零点存在性定理可得结果.
【详解】当时，，无解，此时，无零点；
当时，为增函数，且.
令，得，即，
令，则函数的零点就是的零点，
因为，
，
所以函数的零点所在区间为.
故选：B.
【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，考查了根据零点存在性定理判断零点所在的区间，考查了根据解析式判断函数的单调性，属于中档题.
5．C
【分析】由，求得的范围；再求得的单调性，讨论，时函数在的最小值，即可得到所求范围．
【详解】解：函数，
若，可得，
由是的最小值，
由于
可得在单调递增，在单调递减，
若，，则在处取得最小值，不符题意；
若，，则在处取得最小值，
且，解得，
综上可得的范围是，．
故选：．
【点睛】本题考查分段函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．
6．C
【分析】令 ，则得，再令即可得到奇偶性，再令则得到其周期性，最后根据其周期性和奇偶性则得到的值.
【详解】令 ， 得得 或 ，
当 时，令得 不合题意， 故 ， 所以 A错误 ；
令 得 ， 且的定义域为，故 为偶函数， 所以B错误 ；
令 ， 得 ， 所以 ，
所以 ， 则，则，
所以 的周期为 6 ， 所以 D错误 ；
令 ， 得 ， 因为
所以 ，所以 ， 故C正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值法得到其奇偶性和周期性，并依此性质求出函数值即可.
7．C
【分析】利用已知、方程、函数的对称性、周期性进行计算求解.
【详解】因为， ，
对于②式有：，由①+有：，
即，又关于对称，所以，
由④⑤有：，即，，
两式相减得：，即，即，
因为函数的定义域为，所以的周期为8，又，
所以，由④式有：，
所以，
由，有：，
所以，
由⑤式有：，又，所以，
由②式有：，
所以
，故A，B，D错误.
故选：C.
8．A
【分析】由题意可知，满足不等式的解中有且只有两个整数，即函数在直线上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，然后利用数形结合思想得出以及，由此可得出实数的取值范围.
【详解】由，得.
由题意可知，满足不等式的解中有且只有两个整数，
即函数在直线上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点.
如下图所示：

由图象可知，由于，该直线过定点.
要使得函数在直线上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，则有，即，解得，
又，所以，，因此，实数的取值范围是.
故选A.
【点睛】本题考查函数不等式的求解，解题的关键利用数形结合思想找到一些关键点来得出不等关系，考查数形结合思想的应用，属于难题.
9．AB
【解析】根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称命题的否定是，否定结论，即可知正确的选项.
【详解】A选项中，，但或，故A正确；
B选项中，当时有，而必有，故B正确；
C选项中，否定命题为“，使得”，故C错误；
D选项中，不一定有在处取得极值，而在处取得极值则，故D错误；
故选：AB
【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题.
10．BCD
【分析】对于A，令,可得；对于B，令，可得，即可判断；对于C，令得f1=0，再令即可判断；对于D，根据条件可得,继而，进一步分析可得函数周期为4，分析求值即可.
【详解】对于A，令，则，
因为，所以，则，
故A错误；
对于B，令，则，
则，故B正确；
对于C，令得，，
所以f1=0，
令得，，
则的图象关于点对称，故C正确；
对于D，由得，
又，所以，
则，，
所以，则函数的周期为，
又f1=0，，
则，
，
则f1+f2+f3+f4=0，
所以，
故D正确，
故选：BCD.
11．AB
【分析】由，赋值，可得，故A正确；进而可得是对称中心，故B正确；作出函数图象，可得CD不正确.
【详解】在中，令，得，又函数是R上的奇函数，所以，，故是一个周期为4的奇函数，因是的对称中心，所以也是函数的图象的一个对称中心，故A、B正确；
作出函数的部分图象如图所示，易知函数在上不具单调性，故C不正确；
函数在上有7个零点，故D不正确.
故选：AB
【点睛】本题考查了函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题目.
12．-1
【解析】利用函数为奇函数，由奇函数的定义即可求解.
【详解】若函数为奇函数，则，
即，
即对任意的恒成立，则，
得.
故答案为：-1
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，需掌握奇偶性的定义，属于基础题.
13．
【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可求解.
【详解】原式=
=
．
故答案为：.
14．
【分析】设，
，将两个点集用平面区域表示，因为，故表示的平面区域在的内部，根据这一条件得出的最大值．
【详解】解：设，
，
显然点集表示以原点为圆心，5为半径的圆及圆的内部，
点集是二元一次不等式组表示的平面区域，
如图所示，
作图可知，边界交圆于点，
边界恒过原点，
要求的最大值，故直线必须单调递减，
因为，
所以当过图中B点时，取得最大，
联立方程组，解得，
故，即．
【点睛】本题表面上考查了集合的运算问题，实质是考查了二元一次不等组表示的平面区域和二元二次不等式对应平面区域的画法，还考查了动态分析问题的能力，属于中等偏难题．
15．（1）①A ； ②B；（2）③A ； ④A ； ⑤B．
【分析】依题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得解；
【详解】解：因为，
（1）因为，所以，
因为，所以
（2）因为时，有，
而且，所以在上的最大值为．
又因为时，有，
而且，所以在0,+∞上的最大值为1．
综上，的最大值为．
16．(1)
(2)当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150.
【分析】（1）根据矩形面积即可求解，
（2）根据基本不等式即可求解.
【详解】（1）则，，
所以
（2），
当且仅当，即时等号成立，
故当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性求得当时的解析式，即可得到结果；
（2）根据定义证明函数在上单调递增，然后再结合是定义在上的奇函数，化简不等式，求解即可得到结果.
【详解】（1）设，则，因为时，，
所以
又因为是定义在上的奇函数，
即
所以当时，
综上，的表达式为
（2）由（1）可知，，
设在上任取两个自变量，令
则
因为，则，所以
所以函数在上单调递增.
即，
由是定义在上的奇函数，可得
即，由函数在上单调递增，
可得恒成立，
当时，即，满足；
当时，即，解得
综上，的取值范围为
18．（1）（答案不唯一）（2）证明见解析
【解析】（1）找到一组符合条件的值即可；
（2）由可得,整理可得,两边同除可得,再由可得,两边同时加可得,即可得证.
【详解】解析:（1）（答案不唯一）
（2）证明:由题意可知,,因为,所以.
所以,即.
因为,所以,
因为,所以,
所以.
【点睛】考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.
19．（1），，，．（2）；证明见解析．（3）证明见解析．
【解析】（1）根据好集合的定义列举即可得到结果；
（2）设，其中，由知；由可知或，分别讨论两种情况可的结果；
（3）记，则，设，由归纳推理可求得，从而得到，从而得到，可知存在元素满足题意.
【详解】（1），，，．
（2）设，其中，
则由题意：，故，即，
考虑，可知：，或，
若，则考虑，
，，则，
，但此时，，不满足题意；
若，此时，满足题意，
，其中为相异正整数．
（3）记，则，
首先，，设，其中，
分别考虑和其他任一元素，由题意可得：也在中，
而，，
，
对于，考虑，，其和大于，故其差，
特别的，，，
由，且，，
以此类推：，
，此时，
故中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍．