宁夏西吉中学2024−2025学年高二上学期开学考试 数学试卷（含解析）

这是一份宁夏西吉中学2024−2025学年高二上学期开学考试 数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数为虚数单位，则的共轭复数（ ）
A．B．
C．D．
3．已知向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．中，角的对边分别为，若，，，则（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
6．抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标有数字的正方体玩具．设事件为“向上一面点数为偶数”，事件为“向上一面点数为6的约数”，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．已知数据，，……，的均值为2，方差为3，那么数据的均值和方差分别为（ ）
A．2，3B．7，6C．7，12D．4，12
8．已知正方体内切球的体积是，那么该正方体的棱长等于（ ）
A．B．2C．4D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A=“出现点数为偶数”，事件B=“出现点数为3”，事件C=“出现点数为3的倍数”，事件D=“出现点数为奇数”，则以下选项正确的是（ ）
A．A与B互斥B．A与D互为对立事件
C．D．
10．下列命题正确的是（ ）
A．若向量共线，则必在同一条直线上
B．若为平面内任意三点，则
C．若点为的重心，则
D．已知向量，若，则
11．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则是钝角三角形
D．（为外接圆的半径）
三、填空题（本大题共3小题）
12．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 .
13．正方体中，直线与平面所成角的正弦值为 .
14．高一（1）班数学兴趣小组8名同学的数学竞赛成绩（单位：分）分别为：80，68，90，70，88，96，89，98，则该数学成绩的15%和50%分位数分别为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在条件：①，②，③，且，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：
中，内角、、所对边长分别是、、.若，，______.
(1)求；
(2)求的面积.
（注意：选择多个条件时，按你第一个选择结果给分.）
16．为了更好地培养国家需要的人才，某校拟开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组：，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；
(2)用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于8小时的学生中抽出6人，再随机选出2人作为该活动的形象大使，求这人都来自这组的概率．
17．如图，为正方体的棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与所成角的余弦值．
18．如图所示，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，分别是棱的中点，是的中点.

(1)证明：；
(2)证明：平面平面；
(3)求二面角的余弦值.
19．我们知道，对一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同则可以构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理，又称“富比尼原理”，是一种重要的数学思想.例如：如图甲，在中，D为的中点，则，两式相加得，因为D为的中点，所以，于是.请用“算两次”的方法解决下列问题：
（1）如图乙，在四边形中，E，F分别为的中点，证明： .
（2）如图丙，在四边形中，E，F分别在边上，且，，，，与的夹角为，求.
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为，，所以．
故选：A.
2．【答案】A
【分析】利用共轭复数的定义求解即可.
【详解】因为，所以.
故选：A
3．【答案】C
【分析】利用向量的夹角公式直接求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：C
4．【答案】D
【分析】平面向量的减法坐标运算，计算向量的模
【详解】向量，，
则.
故选：D
5．【答案】A
【分析】根据给定条件，利用正弦定理解三角形即可.
【详解】在中，由正弦定理得：
，
而，则在中有，
所以.
故选：A.
6．【答案】D
【分析】根据题意可知并事件所包含的情况，结合古典概型公式计算得答案；
【详解】由题意得，抛掷结果有6种可能，事件即为向上一面的点数为2或4或6，
事件即为向上一面的点数为1或2或3或6，
事件即为向上一面的点数为1或2或3或4或6，
所以．
故选：D.
7．【答案】C
【分析】利用平均数和方差的求法分别列式，求出平均数和方差．
【详解】因为数据的均值为2，所以，
所以新数据的平均数为：
；
则原数据的方差为：，
则新数据的方差为：
．
故选：C．
8．【答案】C
【分析】由正方体内切球的体积可以求出内切球的半径，从而得出正方体的棱长.
【详解】设正方体的棱长为，内切球的半径为，依题有，所以，
所以正方体的棱长.
故选：C
9．【答案】ABD
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念及古典概型公式求解.
【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子一次，样本空间，
则，，，.
AB选项：根据互斥与对立事件的概念可知，A与B互斥，A与D互为对立事件，故AB正确；
C选项：，故C错误；
D选项：，所以，故D正确.
故选：ABD.
10．【答案】BC
【分析】由向量共线的定义判断A，由向量运算性质判断B，由向量运算性质结合三角形重心的性质可判断C，由向量共线的坐标运算判断D.
【详解】对于A，若向量，共线，只需两个向量方向相同或相反即可，
则A，B，C，D不必在同一直线上，故A错误；
对于B，由向量线性运算性质知，故B正确；
对于C，若点为的重心，设中点为，则，
由重心性质知，所以，故C正确；
对于D，因为向量，，所以，
化简得，故D错误.
故选：BC.
11．【答案】ABD
【分析】根据正弦定理可判断A，由三角形内角和及诱导公式可判断B，由余弦定理可判断C，根据面积公式及正弦定理可判断D.
【详解】由正弦定理，可得，故A正确；
，故B正确；
因为，只能说明C为锐角，不一定是钝角三角形，故C错误；
由正弦定理得，（为外接圆的半径），所以，
所以，故D正确.
故选：ABD
12．【答案】
【分析】利用复数乘法求出，再利用纯虚数的意义求解即得.
【详解】依题意，，
由是纯虚数，得，
所以.
故答案为：
13．【答案】
【分析】在正方体中，面，所以是直线与平面所成角，,求解即可.
【详解】连接，在正方体中，面，
是直线与平面所成角，
设棱长为1，则，
直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.

14．【答案】70；88.5
【分析】把数据按从小到大排列后,根据百分位数的求法即可解得.
【详解】解析：把数据按照从小到大的顺序排列为：68，70，80，88，89，90，96，98，
因为8×15%＝1.2，所以该数学成绩的15%分位数为70，8×50%＝4，所以该数学成绩的50%分位数为
故答案为:70；88.5
15．【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选择条件①：由正弦定理结合三角恒等变换化简得出，求出的取值范围，即可得出的值；
选择条件②：利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
选择条件③：利用平面向量共线的坐标表示可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】（1）解：选择条件①：由正弦定理知，，
，，
，
，
化简得，
，则，，
即，
，则，则，即；
选择条件②：，，
由余弦定理知，，；
选择条件③：，，且，，
由正弦定理知，，则，
、，则，，则，故.
（2）解：由三角形的面积公式可得.
故的面积为.
16．【答案】(1)，平均数为
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程求出，再根据平均数公式计算平均数；
（2）首先求出，各组抽取的人数，再利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得.
【详解】（1）依题意可得，
解得.
又，
即估计全校学生周平均阅读时间的平均数为小时.
（2）由频率分布直方图可知和两组的频数的比为
所以利用分层抽样的方法抽取人，这两组被抽取的人数分别为，，
记中的人为，，，，中的人为，，
从这人中随机选出人，则样本空间
共15个样本点；
设事件：选出的人都来自，
则共个样本点，
所以.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据中位线可得，即可由线面平行的判定求证，
（2）由线线平行可得即为直线与所成角，即可由余弦定理求解.
【详解】（1）连接与交于点，连接．
显然为的中点，所以．
又因为平面平面，所以平面．
（2）由（1）可知即为直线与所成角，
在中,
,
由余弦定理得．
18．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由正三角形性质得，利用直棱柱及线面垂直的性质定理得，从而利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质定理证明即可；
（2）先利用线面平行的判定定理证得平面和平面，然后利用面面平行的判定定理证明即可；
（3）作与交于点.利用线面垂直的性质定理及二面角平面角的定义作出平面角，然后在直角三角形中求解即可.
【详解】（1）由题意，分别是棱的中点，CD，，
所以四边形为平行四边形，又，所以为正三角形，
又是的中点，所以，因为平面，平面，
所以，又，平面，所以平面，
又平面，故.
（2）因为，又平面，平面，所以平面，
同理平面，又平面，
所以平面平面.
（3）作与交于点.

由（1）知，又，平面，
所以平面，而平面，所以，
故是二面角的平面角.
由，得，解得.
由于平面平面，所以.
在中，，
所以，
即二面角的余弦值为.
19．【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）分别在四边形、四边形中表示向量，两式相加再结合相反向量的和为，即可求证；
（2）利用已知条件中的“算两次”原理将用和表示，再利用数量积的定义运算即可求解.
【详解】（1）证明：在四边形中，，①
在四边形中，，②
由①+②，得.
因为E，F分别为的中点，所以，
于是.
（2）解：在四边形中，①，
在四边形中，②，
由，，得，
由，得.
所以
.