山东省泰安第二中学2024−2025学年高二上学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份山东省泰安第二中学2024−2025学年高二上学期开学考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．空间任意四个点A，B，C，D，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ）
A．，共线B．，共线
C．，，共面D．，，不共面
3．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．3B．C．D．
6．空间四边形中，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（ ）﹒
A．平面PACB．C．D．平面平面PBC
8．如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题（本大题共1小题）
9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
三、单选题（本大题共1小题）
10．设是任意三个非零向量且互不共线，下列各式不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
四、多选题（本大题共1小题）
11．如图，在平行六面体中，，，．若，，则（ ）
A．B．
C．A，P，三点共线D．A，P，M，D四点共面
五、填空题（本大题共3小题）
12．若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ．
13．已知三点不共线，为平面外一点，若由向量确定的点与共面，那么
14．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的 ．(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”)
六、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在四面体OABC中，设，，，G为的重心，以为空间基底表示向量，．

16．如图，四棱锥中，平面分别为线段 的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面
17．如图，在长方体中，，，E，F分别为，的中点.计算：
(1)；
(2)；
(3).
18．如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点．
(1)求的值；
(2)证明：C，E，F，G四点共面．
19．如图所示，已知平行六面体的底面是菱形，且．

(1)求证：；
(2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明．
参考答案
1．【答案】D
【分析】利用空间向量加法的三角形法则和向量减法的定义即可求出答案.
【详解】易知，.
故选：D.
2．【答案】C
【分析】根据共面向量定理可作出判断
【详解】由题知，，是空间两个不共线的向量，，
由共线向量定理知，A，B，C三点共线，
由共面向量定理知，，，共面.
故选：C
3．【答案】B
【分析】直接根据图形的性质分解向量即可.
【详解】由题意.
故选：B.
4．【答案】B
【分析】借助向量模长与数量积的关系及夹角公式计算即可得.
【详解】，
，
则，
因为，所以，
即与的夹角是.
故选：B.
5．【答案】D
【分析】利用投影向量的公式列出方程，求出.
【详解】由题意得，故，所以.
故选：D
6．【答案】D
【分析】利用，以及的数量积的定义化简的值，
【详解】解：，
所以
所以，
故选：D．
7．【答案】C
【分析】结合空间中点、线、面的位置关系，对选项逐个分析判断即可.
【详解】对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而底面圆面，则，
又由圆的性质可知，且，平面，
则平面，所以A正确；
对于B，由A可知平面，又平面，所以，又，且，平面，所以平面，而平面，所以，所以B正确；
对于C，假设成立，由平面，且平面，所以，而，且平面，所以平面，由A可知平面，所以，显然不成立，故假设错误，即C不正确；
对于D，由B可知，平面，因为平面，所以平面平面，所以D正确.
故选：C.
【点睛】本题考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生的推理能力与空间想象能力，属于中档题.
8．【答案】C
【分析】先取正方形的中心，连接，由知为异面直线与所成的角，再在中求的正弦即可.
【详解】连，相交于点，连、，

因为为的中点，为的中点，有，可得或其补角为异面直线与所成的角，
不妨设正方形中，，则，由平面，可得，
则，，
因为，为的中点，所以，．
故选：C.
【点睛】方法点睛：
求空间角的常用方法：
（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.
9．【答案】ABD
【分析】根据空间向量基底的概念可得解.
【详解】由已知，，不共面，则，，不共面，A选项正确；
设，即方程无解，
所以，，不共面，B选项正确；
设，即，解得： ，
即，所以，，共面，C选项错误；
设，显然三个向量不共面，D选项正确；
故选：ABD.
10．【答案】D
【分析】根据数量积的计算公式计算可判断A；利用向量和数量积计算结合没有意义判断B；是与共线的向量，是与共线的向量，可判断C；根据数量积的计算公式计算可判断D.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，而没有意义，故B错误；
对于C：是与共线的向量，又不一定为0，故不一定为，
是与共线的向量，又不一定为0，故不一定为，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：D.
11．【答案】BD
【分析】根据空间向量运算判断AB选项的正确性，根据三点共线、四点共面的知识判断CD选项的正确性.
【详解】，A选项错误.
，B选项正确.
则是的中点，
，
，
则不存在实数使，所以C选项错误.
，
由于直线，所以四点共面，所以D选项正确.
故选：BD
12．【答案】
【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案.
【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量，
，
.
故答案为：
13．【答案】
【分析】
14．【答案】外心
【详解】过P作平面，连接，由于，则，则，点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心.
15．【答案】，．
【分析】利用三角形重心的性质和向量的三角形法则即可得出．
【详解】由G为的重心，知E为AC的中点，
所以，
．
16．【答案】（1）证明见详解（2）证明见详解
【解析】（1）设交点为，连接，则可根据是中位线求证，进而得证；
（2）由线段关系可证，又由平面可得，进而可得，再结合四边形是菱形可得，即可求证；
【详解】（1）
设交点为，连接，又，
又，所以四边形是菱形，则是中点，
又为中点，是中位线，，
平面，平面，平面；
（2）由（1）可知四边形是菱形，，又平面可得，
为中点可得，又，四边形为平行四边形，，
，，平面，又平面，
平面平面
【点睛】本题考查线面平行面面垂直的证明，属于中档题
17．【答案】(1)16
(2)0
(3)2
【分析】（1）将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得解；
（2）将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得解；
（3）将用表示，再根据数量积的运算律即可得解.
【详解】（1）如图，
设，，，
则，，，.
.
（2）
.
（3）
.
18．【答案】(1)6
(2)证明见解析
【详解】（1）解：在直四棱柱中，，
易得，，，两两垂直.
故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
,
，，，．
，．
．
（2）证明：由（1）得：．
令，即 ，解得，
．
故C，E，F，G四点共面．
19．【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据已知条件可以构造空间向量，利用空间向量的数量积为0得到垂直关系；
（2）根据线面垂直的性质知，要使平面，只需且，根据数量积的定义可知需证明，，结合向量的加减运算和数量积的定义，即可求出与的关系；
【详解】（1）证明：设，，，则，
底面是菱形，有，且两两所成角相等，设为，
则，
∴，即.
（2）要使平面，只需且.
欲使，则可证明，即，
也就是，
即，
由于，显然当时，上式成立.
同理可得，当时，.
因此，当时，能使平面.