福建省部分优质高中2024-2025学年高二上学期9月第一次阶段性质量检测 数学试卷

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2024~2025学年第一学期福建省部分优质高中高二年级第一次阶段性质量检测
数 学 试 卷
（考试时间：120分钟；总分：150分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．已知2b=a+c，则直线ax+by+c=0恒过定点（ ）
A．(1, -2) B．(1, 2) C．(-1, 2) D．(-1, -2)
2．已知两点A-3, 2，B2, 1，过点P0, -1的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ）
A．-∞,-1∪1,+∞ B．-1, 1 C．-∞,-15∪1,+∞ D．-15,1
3．下列命题中正确的是（ ）
A．点M3, 2, 1关于平面yOz对称的点的坐标是-3, 2, -1
B．若直线l的方向向量为e=1, -1, 2，平面α的法向量为m=6, 4, -1，则l⊥α
C．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为120∘，则直线l与平面α所成的角为30∘
D．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若OP=mOA-12OB+OC，则m=-12
4．已知a, b, c为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ）
A．a+b，c+b，a-c B．a+2b，b，a-c
C．2a+b，2c+b，a+b+c D．a+b，a+b+c，c
5．过点A1, 4的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．x-y+3=0 B．x+y-5=0
C．4x-y=0或x+y-5=0 D．4x-y=0或x-y+3=0
6．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，侧面A1ADD1是正方形，且∠A1AB=120°，∠DAB=60°，AB=2，若P是C1D与CD1的交点，则异面直线AP与DC的夹角的余弦值为（ ）
A．3714B．64C．74D．614
7．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ 0<λ<2，则点G到平面D1EF的距离为（ ）
A．33B．2C．22λ3D．255
8．平面几何中有定理：已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，且AC⊥BD，过点E分别作边AB，BC，CD，DA的垂线，垂足分别为P1，P2，P3，P4，则P1，P2，P3，P4在同一个圆上，记该圆为圆F. 若在此定理中，直线AB，BC，AC的方程分别为x-y=0，x+2y=0，x=2，点P43, 1，则圆F的方程为（ ）
A．x-22+y-142=2516 B．x-22+y-132=139
C．x-22+y+142=4116 D．x-22+y+132=259
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．已知向量a=1, -1, 0，b=-1, 0, 1，c=2, -3, 1，则（ ）
A．a-b=6 B．a+3b⋅b+c=7 C．a+4b⊥c D．a∥b-c
10．给出下列命题正确的是（ ）
A．直线l的方向向量为a=3, -1, 2，平面α的法向量为b=2, 1, -12，则l与α平行
B．直线m-1x+2m-1y=m-3m∈R恒过定点5, -2
C．已知直线a+2x+2ay-1=0与直线3ax-y+2=0垂直，则实数a的值是-43
D．已知A,B,C三点不共线，对于空间任意一点O，若OP=25OA+15OB+25OC，则P, A, B, C四点共面
11．如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为2，AB，AD，AA1两两所成夹角均为60∘，点E，F分别在棱BB1，DD1上，且BE=2B1E，D1F=2DF，则（ ）
A．A，E，C1，F四点共面 B．AA1在AC1方向上的投影向量为13AC1
C．EF=103 D．直线AC1与EF所成角的余弦值为1515
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．l1:x-y+3=0，与直线l2:2x+my-2=0平行，则直线l1与l2的距离为 .
13．已知a, b, c是空间向量的一个基底，a+b, a-b, c是空间向量的另一个基底，若向量p在基底a,b,c下的坐标为4, 2, 3，则向量p在基底a+b, a-b, c下的坐标为 ．
14．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设Ax1, y1，Bx2, y2，则A，B两点间的曼哈顿距离dA, B=x1-x2+y1-y2．已知M4, 6，点N在圆C:x2+y2+6x+4y=0上运动，若点P满足dM, P=2，则PN的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，且AA1=AB=2AD, E, F分别为C1D1, DD1的中点.
(1)证明：AF//平面A1EB.
(2)求平面A1B1B与平面A1BE夹角的余弦值.
16.（15分）已知△ABC的顶点A1, 2, AB边上的中线CM所在直线的方程为x+2y-1=0,∠ABC的平分线BH所在直线的方程为 y=x.
(1)求直线BC的方程和点C的坐标；
(2)求△ABC的面积．
17.（15分）设直线l1:2x-y+3=0和直线l2:x+y+3=0的交点为P.
(1)若直线l经过点P，且与直线x+2y+5=0垂直，求直线l的方程；
(2)若直线m与直线x+2y+5=0关于点P对称，求直线m的方程.
18.（17分）在空间几何体ABC-DEF中，四边形ABED,ADFC均为直角梯形，∠FCA=∠CAD=∠DAB=∠ABE=π2，AB=AC=CF=4, AD=5, BE=6．
(1)如图1，若∠CAB=π2，求直线FD与平面BEF所成角的正弦值；
(2)如图2，设∠CAB=θ0<θ<π2
（ⅰ）求证：平面BEF⊥平面DEF；
（ⅱ）若二面角E-BF-D的余弦值为3311，求csθ的值．
19.（17分）已知圆C经过坐标原点O和点G-2, 2，且圆心C在直线x+y-2=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）设PA、PB是圆C的两条切线，其中A,B为切点．
①若点P在直线x-y-2=0上运动，求证：直线AB经过定点；
②若点P在曲线y=14x2（其中x>4）上运动，记直线PA、PB与x轴的交点分别为 M、N， 求△PMN面积的最小值．2024~2025学年第一学期福建省部分优质高中高二年级第一次阶段性质量检测
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